2011- МУ для магистров MathCAD_укр

Рис. 25 Розрахунок балки в MathCAD (приклад 2)

Приклад 3. Розрахувати балку при наступній схемі навантаження:

40

P		P
R1 q	m	R2

m

x

a

b

b

a

L

Рис. 26. Схема навантаження балки (приклад 3)

41

Рис. 27 Розрахунок балки в MathCAD (приклад 3)

42

ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНОЇ РОБОТИ 5

Таблиця 5

Схеми навантаження

1				P	3P
		m
			q		m
					m

a	b	b

L

2	q	P	P	2P
		m		m

x

		a
		b
		L
3	4P	m		3P
	3m		q	m

x

a	b	b	a
		L

43

Вихідні дані

Варіант	Схема	а, м		b, м	L, м		q,	P, кН	m,
	навантаження						кН/м		кНм
1.	1	2		5	-	10		10	10
2.	2	2		4	11	-8		7	11
3.	3	4		4	-	-7		4	-12
4.	1	5		0,75	-	-4		3	22
5.	2	4		6	10	1		2	3
6.	3	5		4	-	-2		3	4
7.	1	6		5	-	3		-4	5
8.	2	1		8	16	4		5	-6
9.	3	1		5	-	5		-6	-7
10.	1	3		8	-	-6		-7	-8
11.	2	4		8	9	7		8	9
12.	3	4		5	-	8		9	-12
13.	1	10		3	-	9		11	13
14.	2	4		9	11	-8		-7	6
15.	3	4		4	-	7		-8	9
16.	1	2		2	-	6		7	6
17.	2	7		8	9	7		-8	-9
18.	3	4		5	-	7		-8	-7
19.	1	5		3	-	6		-5	-4
20.	2	3		6	8	4		-5	-6
21.	3	5		5	-	5		-5	8
22.	1	11		11	-	30		20	25
23.	2	2		10	12	31		21	-26
24.	3	4		8	-	32		-23	-24
25.	1	10		2	-	33		-43	-45
26.	2	11		11,5	18	10		-45	-54
27.	3	3		3	-	-33		-3	3
28.	1	11		1	-	-11		-11	-111
29.	2	2		22	24	-22		22	22
30.	3	4		4	-	5		-5	15
			44

ПРАКТИЧНА РОБОТА 6

РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ЛІ НІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

Ціль роботи: Навчитися складати математичні моделі задач лінійного

програмування та розв’язувати їх в системі MathCAD.

Потрібно:

1.Скласти математичну модель задачі;

2.Накласти обмеження на невідомий план;

3.Розв’язати задачу лінійного програмування і зробити висновки.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Загальна задача лінійного програмування (ЗЛП) полягає у визначенні оп-

тимального (максимального або мінімального) значення лінійної функції Z (x1, x2, …, xn) – функції цілі.

n
Z C j x j max min			(6.1)
j 1
на невідомі якої накладено лінійні обмеження:
n
Aij	x j Bi	i 1,2,...m	(6.2)
j 1
x j 0	j 1,2,...n; n m		(6.3)

де Aij, Cj, Bi – відомі постійні значення;

< = > – один зі знаків відношення <, =, >.

Точку Х=(x1, x2, …, xn), що задовольняє усім обмеженням (6.2) – (6.3) на-

зивають припустимим рішенням або планом задачі ЛП.

План Х0=(x01, x02, …, x0n) при якому цільова функція приймає максималь-

не або мінімальне значення, називають оптимальним.

Не кожна задача лінійного програмування має оптимальний план. Це по-

в'язане з тим, що множина рішень системи обмежень (6.2) – (6.3) може бути по-

рожньою, тобто система обмежень виявиться несумісною, або функція цілі Z

необмеженою на множині обмежень.

45

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ

Приклад 1:

Задача про розподіл ресурсів

Завод будівельних матеріалів виготовляє продукцію трьох видів: А, В, С,

використовуючи при цьому три види сировини: S1, S2, S3. Норми витрат сиро-

вини, її запаси та прибуток від реалізації однієї тони продукції кожного виду наведено в таблиці.

Таблиця 6

		Норма витрат сировини			Запас
	Сировина, т	на одну тону продукції
					сировини, т
		А	В	С
	S1	0,31	0,52	0,48	43
	S2	0,19	0,45	0,25	33
	S3	0,35	0,16	0,11	22
	Прибуток від реалізації	32	46	41
	однієї тони, грн.
	План випуску	х1	х2	х3

Рішення:

1. Складемо математичну модель задачі:

Припустимо, що завод випускає продукцію першого виду в кількості х1,

другого – х2, третього – х3. Тоді функція цілі, що виражає сумарний прибуток від реалізації всіх трьох видів, виглядає наступним чином:

Z=32·x1+46·x2+41·x3 max

На невідомий план випуску х1, х2, х3 накладаються обмеження, що пов’язані з відомими запасами сировини. Обмеження можна записати у вигляді системи нерівностей:

0.31 x1 0.52 x2 0.48 x3 43 0.19 x1 0.45 x2 0.25 x3 33 0.35 x1 0.16 x2 0.11 x3 22 x1, x2, x3 0

2. Рішення задачі в системі MathCAD:

46

Рис. 28. Рішення задачі при розподіл ресурсів

Приклад 2:

Транспортна задача.

Продукцію трьох заводів необхідно доставити трьом споживачам. Відомі об’єми продукції, що існують на кожному заводі – ai (i=1, 2, 3), потреби кожно-

го споживача – bj (j=1, 2, 3) та вартість транспортування Cij одиниці вантажу від i-го заводу к j-му споживачу. Необхідно знайти план перевезень, тобто кіль-

кість Xij – вантажу, що перевезено від кожного i-го заводу до кожного j-го спо-

живача, при якому витрати на всі перевезення будуть мінімальними. Всі дані задачі зведено в таблицю.

47

					Таблиця 7
Запаси, ai, т		230		350	270
Потреба, bj, т				Cij, грн.
300		1		8	1
320		4		6	9
230		7		2	5
Рішення:
1. Накреслимо схему можливих перевезень (рис. 29).
		ai
230		350			270
	х13	Х21	х23	х31
х11	х12	х22		х32	х33
300		320			230
		bj
Рис. 29. Схема можливих перевезень

2. Складемо математичну модель задачі.

Відповідно умови задачі оптимальним є план, що задовольняє наступним

умовам:

1). Вся продукція з заводу повинна бути вивезеною:

X11 X12 X13 230;

X21 X22 X23 350;

X31 X32 X33 270

2). Всі споживачі повинні бути задоволені:

X11 X12 X13 300;

X21 X22 X23 320;

X31 X32 X33 230

3). Зустрічні перевезення неприпустимі.

48

Xij 0

i 1,2,3; j 1,2,3

4). Сумарні транспортні витрати повинні бути мінімальними:

3 3

Cij Xij min

i 1 j 1

3. Рішення задачі в системі MathCAD:

Рис. 30. Рішення транспортної задачі в MathCAD

Приклад 3:

Задача про завантаження обладнання.

Є три землерийні машини виду М1, М2, М3. Необхідно виконати три види землерийних робіт (А, В, С) в кількості: А – 5500 м3; В – 4200 м3; С – 7510 м3.

Дані про продуктивність машин та вартості робіт наведено в таблиці.

49