РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ 3. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ СКЛАДІВ

БУДІВЕЛЬНИХ МАТЕРІАЛІВ

Короткі теоретичні відомості

ОРТОГОНАЛЬНЕ ПЛАНУВАННЯ

При описанні області, близької до екстремуму, частіше за інших застосовують поліноми другого порядку, що пов'язано в першу чергу з тим, що поліноми другого порядку легко піддаються систематизації і дослідженню на екстремум. При цьому число дослідів N має бути не менше числа визначуваних коефіцієнтів в рівнянні регресії другого порядку для k чинників:

k	k	k
y x1 ,..., xk b0 bi xi	bij xi x j	bij xi2	(8)
i 1	i , j 1	i 1
	i j

Для опису поверхні відклику поліномами другого порядку незалежні параметри мають набувати не менше трьох різних значень.

З метою скорочення числа дослідів використовують композиційні (послідовні) плани. Композиційний план складається з експериментів ПФЕ 2k ( k 5 ), до яких додають експеримент в центрі плану і в 2k зоряних точках, розташованих на осях фіктивного простору, координати яких: ( , 0, …, 0), (0, , 0, …, 0), …, (0, …, 0, ), де - відстань від центру плану до зоряної точки – "зоряного плеча". Загальна кількість дослідів розраховується за формулою [Ошибка!

Источник ссылки не найден.]:

N N0 2k n0 ,

(9)

де n0 - кількість дослідів в центрі плану, k - число чинників, N0 - число дослідів повного факторного експерименту 2k.

Композиційні плани легко приводяться до ортогональних вибором зоряного плеча . Довжину "зоряного плеча" можна обчислити за формулою:

		N0 N N0		.	(10)
		2

Значення "Зоряного плеча" залежить від числа повних повторень експерименту в центрі плану (N=9).

У таблиці 2 подається композиційний план другого порядку для двох факторів. Для того, щоб матриця планування мала властивість ортогональності, необхідно ввести стовпці з коригованими значеннями рівня x , які обчислюються за формулою [Ошибка! Источник ссылки не найден.]:

28

xi	2	2		xi2	(11)
		xi		N

Таблиця 2

Композиційний план другого порядку для двох факторів

Номер		Фактори			Фактори
досліду	в натуральному масштабі			в умовних одиницях			y
	z1		z2	x1		x2
1	z1min		z2min	-1		-1	y1
2	z1max		z2min	+1		-1	y2
3	z1min		z2max	-1		+1	y3
4	z1max		z2max	+1		+1	y4
5	z10		z20	0		0	y5
6	z1		z20	+1		0	y6
7	z1		z20	-1		0	y7
8	z10		z2	0		+1	y8
9	z10		z2	0		-1	y9

Матрицю розрахунків коефіцієнтів рівняння наведено в таблиці 3, в якій стовпці 2-7 є ортогональною матрицею планування, стовпець 8 – значення відклику системи; перших чотири досліди – це матриця повного факторного експерименту 22.Експериментальні дані повинні бути однорідними і нормально розподіленими.

Відповідно до даних таблиці 2 розраховують коефіцієнти рівняння регресії. Значення коефіцієнтів рівняння регресії характеризують вклад кожного фактора в значення функції відклику.

															Таблиця 3
	Матриця розрахунку коефіцієнтів двохфакторної моделі
Номер	x		x		x				2			2	x x			y
досліду		0		1		2	x1			x2			1	2
1	2		3		4		5			6			7			8
1	+1		-1		-1		+0,33			+0,33			+1			y1
2	+1		+1		-1		+0,33			+0,33			-1			y2
3	+1		-1		+1		+0,33			+0,33			-1			y3
4	+1		+1		+1		+0,33			+0,33			+1			y4
5	+1		0		0		-0,67			-0,67			0			y5
6	+1		+1		0		+0,33			-0,67			0			y6
7	+1		-1		0		+0,33			-0,67			0			y7
8	+1		0		+1		-0,67			+0,33			0			y8
9	+1		0		-1		-0,67			+0,33			0			y9
	9		6		6		2			2			4

29

Коефіцієнти розраховуються за такими формулами [4]:

y

x1 y

x2 y

x1

2

b1

6

, b2

6

, b11

2

,

x2

y

x1 x2 y

x0 y

(12)

2

b22

2

, b12

4

, b0

9

0,67 b11 0,67 b22

РОЗРАХУНОК АКТИВНОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ В MATHCAD

Приклад розрахунку активного експерименту при ортогональному плануванні за допомогою MathCAD

1. Введення початкових даних активного експерименту (рис. 7)

Рис. 7 – Введення початкових даних

2. Розрахунок коефіцієнтів регресії (рис. 8) :

30

Рис. 8 – Розрахунок коефіцієнтів регресії

3. Побудова поверхні і ліній рівня (рис.9) за допомогою рівняння регресії, отриманого на підставі ортогонального планування:

Рис. 9 – Побудова ліній рівного рівня

31

Після того, як отримано рівняння регресії при активному експерименті перевіряється значущість коефіцієнтів за допомогою критерію Ст’юдента [2] і адекватність отриманої регресії за допомогою критерію Фішера [2]. У разі незначущості коефіцієнтів їх можна виключити з рівняння регресії при подальшому дослідженні математичної моделі.

ДВОРІВНЕВІ ПЛАНИ БАГАТОФАКТОРНИХ ЕКСПЕРИМЕНТІВ.

У багатофакторному експерименті можна враховувати тільки залежність виходу від кожного з факторів, а можна враховувати також залежність виходу від взаємодії декількох факторів. Якщо враховується взаємодія всіх факторів, то багатофакторний експеримент називається повним.

Найпростішим планом багатофакторного повного експерименту являється план, в якому досліджувані фактори змінюються лише на двох рівнях: верх-

ньому Ci і нижньому Ci . Такий план називається дворівневим і позначається

ПФЕ 2n, тобто повний факторний експеримент дворівневий, n- факторний. Центр експерименту

				C C
		Ci 0		i	i				(13)
				2
інтервал варіювання
		C C	C C			C		C
		i i							(14)
					i 0		i 0
i		2		i				i

У безрозмірному виразі верхній рівень фактора прийме значення +1, нижній -1:

x		С C	i 0
		i
		i
i
x		С C	i 0
		i
		i
i

Сi Ci 0 1

Сi Ci 0

Сi Ci 0 1

Сi 0 Сi

План ПФЕ 2n можна подати у вигляді таблиці.

Приклад. Побудувати план ПФЕ22 для дослідження впливу температури в діапазоні 30 - 42 градуси Цельсія і величини pH в діапазоні від 5 до 7.

Знайдемо центр експерименту

			C C						42 30
C				1		1						36
	10			2						2
					C	C				7 5		6
	C				2	2
		20				2				2

та інтервал варіювання

32

			C C		42	30
			1 1				6
	1		2		2

			C C		7	5
			2 2				1
	2		2		2

Таблиця 4

Варіант реалізації плану ПФЕ 2n

i	X1i	X2i	X1i*X2i
1	-	-	+
2	-	+	-
3	+	-	-
4	+	+	+
Ci0	36	6
i	6	1

Стовпці 2 і 3 відбивають вплив окремих чинників. Стовпець 4 відбиває міжфакторну взаємодію.

Заповнення другого і третього стовпця пояснень не потребує. Четвертий стовпець заповнюється за правилом перемножування вмісту другого і третього стовпців: Якщо другий і третій стовпець мають однаковий знак, то в четвертому стовпці ставиться «+», інакше «-».

План повного двохфакторного експерименту ПФЕ22 дає можливість обчислити чотири коефіцієнти рівняння регресії :

y a1 a2 x1 a3 x2 a4 x1 x2 .

План повного трьохфакторного експерименту дає можливість вичислити вісім коефіцієнтів рівняння регресії

y a1 a2 x1 a3 x2 a4 x3 a5 x1 x2 a6 x1 x3 a7 x2 x3 a8 x1 x2 x3

і так далі.

33