4

1 Элементы теории аналитических функций

1.1 Функции комплексного переменного

Множество точек D комплексной плоскости называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному множеству. Связное открытое множество точек комплексной плоскости называется областью. Область D называется односвязной, если любая непрерывная замкнутая самонепересекающаяся кривая, проведенная в D , ограничивает некоторую область G , целиком принадлежащую D . В простых случаях можно задавать область в комплексной плоскости, накладывая некоторые ограничения на комплексную переменную.

Пример 1. Записать с помощью неравенств область, которая является внутренностью эллипса с фокусами в точках 1 i , 3 i и большой полуосью, равной 3.

Решение

Заметим, что точка z является внутренней точкой эллипса тогда, и только тогда, когда сумма расстояний от неё до фокусов будет меньше большой оси. Следовательно, наша область может быть записана в виде

неравенства		z 1 i					z 3 i		6 .
Говорят, что в области D определена функция w комплексного пе-
ременного		z , если					каждому значению комплексной переменной

z x iy D по определённому правилу поставлено в соответствие значе-

ние	переменной	w u iv ,	и	символически	записывают
f z w u x, y iv x, y , где v x, y Im f z , u x, y Re f z . С гео-
метрической точки зрения функцию			f z	можно рассматривать как отоб-

ражение области D плоскости z на некоторое множество G плоскостиw . При этом говорят, что w – образ точки z , а точка z – прообраз точки w при отображении, осуществляемом функцией w f z .

Пример 2. При отображении, осуществляемом функцией					w z2 ,
найти образы прямых x 2, y 1.
Решение						w :
Выделим	действительную и		мнимую	части функции
w x iy 2 x2	y2	i 2 y , т. е. u x2	y2 , v 2xy . Когда точка z		пробе-
гает в плоскости z		прямую x 2 , то её образ w в плоскости w			пробе-
гает линию u 4 y2 , v 4 y ( y ) или,				исключая параметр		y ,

5

u 4 v2 . Это уравнение определяет в плоскости

w параболу. Анало-

16

v2

гично прямая y 1

перейдёт при нашем отображении в параболу u

1

4

(рисунок 1).

y

v

x	u

Рисунок 1

1.2 Аналитические функции

Если w f z – однозначная функция, заданная в области D , то её производной в точке z D называется предел

	lim	w	lim	f z z f z	f z dw	,
		z		z
	z 0		z 0		dz

когда z любым образом стремится к нулю.

Однозначная в области D функция w f z , имеющая непрерывную производную в любой точке области, называется аналитической

функцией	на	этой	области.	Для	того,	чтобы	функция
f z u x, y iv x, y			была аналитической в области			D плоскости z ,

необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого порядка функций u и v были непрерывны в D и выполнялись условия Коши-

Римана

u		v	;	u		v .	(1)
x		y		y		x

6

Функции u и v называются сопряжёнными друг к другу на D . При выполнении условий (1) производная f z может быть записана в виде

u

v

v

u

u

u

v

v

f

z

x

i x y i y x i y y

i x .

(2)

Пример 3. Найти область аналитичности функции

f z e2 z

и вы-

числить f z .

Решение

z e2 z e2 x cos 2 y isin 2 y , т. е.

Имеем f

u x, y e2 x cos2 y , v x, y e2 x sin 2 y .

Следовательно,

u 2e2 x cos2 y ; u

2e2 x sin 2 y ; v

2e2 x sin 2 y ;

v

2e2 x cos 2 y .

x

y

x

y

Значит, условия (1) выполняются во всей плоскости, и по формуле (2) имеем

f z e2 z 2e2 x cos2 y i 2e2 x sin 2 y 2e2 x cos 2 y isin 2 y 2e2 z .

Действительная и мнимая части аналитической в области D функции f z u x, y iv x, y являются гармоническими в этой области функ-

циями, т. е. справедливы равенства:

	u	2u		2u	0 ; v	2v		2v	0 .
		x2		y2		x2		y2

Аналитическая в области D функция определяется с точностью до постоянной заданием своей действительной или мнимой части. Например,

если u x, y – действительная часть аналитической в области D функции f z , то

v x, y Im f z	x, y
		uydx uxdy ,	(3)
	x0 , y0

где x0 , y0 – фиксированная точка в области D , рассматриваемой как об-

ласть определения вещественной функции двух переменных, а путь интегрирования целиком лежит в области D .

7

Пример 4. Проверить, что функция u x2 y2 5x y 2 является

действительнойчастьюнекоторойаналитическойфункции f z инайти				f z .
Решение
Так как 2u	2u 2 2 0 , то u x, y – гармоническая на всей
x2	y2
плоскости функция. Следовательно, по формуле (3) имеем
	v x, y	x, y	2 y 1 dx 2x 5 dy .
		x0 , y0

Если в качестве пути интегрирования взять ломаную со звеньями, параллельными осям координат, то

x	y
v x, y	2 y0 1 dx 2x 5 dy 2 y0 1 x x0	2x 5 y y0
x0	y0
	2xy x 5y 5y0 x0 2x0 y0 ;
	v x, y 2xy x 5y C .
	f z x2 y2 5x y 2 i 2xy x 5y C
x2 2ixy y2 5 x iy ix y 2 Ci z2 5z iz 2 Ci ;
	f z z2 5z iz 2 Ci .
1.3 Конформные отображения
Если	аналитическая в области D функция f z однолистна в этой
области, т. е. для любых z1 z2 из D f z1 f z2 ,		то она называется ре-

гулярной в этой области.

Отображение, задаваемое регулярной в области D функцией, обладает следующими свойствами:

1) всякую область Q D отображение f z переводит в область Q на плоскости w , причём граница области Q переходит в границу области Q с сохранением направления обхода. Последнее означает, что если точка z пробегает границу так, что Q остаётся слева, то точка f z пробегает границу области Q так, что Q тоже остаётся слева;

2) всякая гладкая кривая из области D отображается в гладкую

				8
кривую
		в области D ;				f z0
3) пусть			f z0 0 для	z0 D , тогда				геометрически равен
коэффициенту растяжения в точке z0 при отображении f z ;

4) аргумент производной arg f z0 геометрически равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z0 к любой кривой, проходящей через точку z0 , чтобы получить касательную в точке w0 f z0 к образу этой кривой при отображении w f z .

Отображение, обладающее свойствами 3 и 4, называется конформным в точке z0 . Следовательно, регулярная функция, производная которой

не обращается в нуль, осуществляет конформное отображение. Более того,

отображение области

D , задаваемое функцией

w f z тогда, и только

тогда, является конформным во всех точках области, когда

f z –

регу-

лярная в данной области функция и f z 0 всюду в D .

Пример 5. Найти область конформности отображения w z2

в пря-

моугольнике Q x, y

0 x 2,0 y 1

и найти образ Q при этом отоб-

ражении.

Решение

Так как z2 2z , то w z2 аналитична всюду на Q . Пусть z1

z2 , а

z2 z

2 из Q . Тогда z2

z2 0 , т. е. z z

2

z

z

2

0

или

z

z

2

, что

1

2

1

2

1

1

1

невозможно для области Q . Следовательно, функция

w z2

регулярна

всюду на Q .

Так как z2 2z 0

только для

z 0 ,

то конформность нашего

отображения нарушается только в точке z 0 .

Найдём теперь образ границы множества Q при отображении, зада-

ваемом

функцией

w z2 .

Согласно

примеру

2

u x, y x2

y2 ,

v x, y 2xy . Когда точка z

пробегает

прямые

x 2 (0 y 1) и

y 1

(0 x 2), то образ

w z2

пробегает

параболы

u 4 v2

(0 v 4 ),

v2

16

u

1

(0 v 4 ) (рисунок 2). А когда точка z

пробегает прямые

x 0

4

(0 y 1) и y 0 (0 x 2), то её образ w z2

пробегает прямую

v 0

( 1 u 2 ). Учитывая направление обхода границы множества Q и её об-

раза при нашем отображении, заключим, что кривосторонний треугольник ABC на плоскости w является искомым образом треугольника Q.

9

y						v

x		u

Рисунок 2

Замечание – Так как конформность рассмотренного отображения нарушена в точке z 0 , то теперь ясно, почему прямые x 0 и y 0 ортого-

нальны, а их образы – нет.

Примером отображения, конформного во всей комплексной плоскости z, является отображение, осуществляемое линейной функцией w az b ( a 0 ). В самом деле w a 0 всюду на плоскости z. Указан-

ное отображение представляет собой композицию растяжения w1 a z , поворота w2 ei arg a w1 и параллельного переноса w3 w2 b .

Пример 6. Построить линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами 0, 2 , 1 i в плоскости z на треугольник с вершинами 0, 1, i в плоскости w.

Решение

Для удобства совместим плоскости z и w. Заметим, что треугольник с вершинами 0, 2 , 1 i подобен треугольнику с вершинами 0, 1, i , причём

коэффициент подобия k						2 . Совершим последовательные преобразова-
ния: а)	w e3 i 4 z –				поворот вокруг начала координат на угол			3
	1						4
против часовой стрелки; б)						w2	2 w1 – гомотетия (сжатие) с коэффици-
ентом	k	1	; в)	w w 1 – параллельный перенос на вектор, изобра-
	2			3	2

жающий число 1 (рисунок 3). В результате треугольник с вершинами 0, 2 , 1 i отображается на треугольник с вершинами 0, 1, i , а осуществляющая это отображение целая линейная функция имеет вид:

10

3 i 4

2

2

1 i z 1.

w w3 w2 w1 2e

z 1

2

i

z 1

2

2

y

v

	x				u

Рисунок 3

Другим важным примером конформного отображения расширенной плоскости z является отображение, осуществляемое дробно-линейной

функцией w czaz db , ad bc 0 , c 0 . При этом бесконечно удалённая

точка z отображается в точку w ac , а точка z dc переходит в бес-

конечно удалённую точку w . Дробно-линейное отображение обладает следующими свойствами:

1)каждая прямая и каждая окружность плоскости z отображаются в прямую или окружность плоскости w;

2)дробно-линейное отображение однозначно определяется заданием

образов трёх точек z1 w1 , z2 w2 ,

z3

w3 :

w w1

w3 w2

z z1

z3

z2

,

(4)

w w

z

z

w

w

z z

2

2

3

1

3

1

причём, если одна из точек z1 ,

z2 ,

z3

либо w1 ,

w2 ,

w3 является бесконечно

удалённой, то в формуле (4) все отношения, содержащие эту точку, следует заменить единицей.

Пример 7. Найти дробно-линейное отображение, преобразующее окружность C1, проходящую через точки 0, 1, i в окружность C2, проходящую через точки i , 0, 1, и переводящее точки 0, 1, i соответственно в точки i , 0, 1. Выяснить, во что преобразуется круг, ограниченный окружностью C1.

11

Решение

Используя формулу (4), имеем

				w i		1		z		1 i	,
				w 1		i		z i		1
откуда	w	iz i		. Так как направление обхода окружности С1 при
		2i 1 z 1

нашем отображении меняется на противоположное (рисунок 4), то круг, ограниченный окружностью С1, переходит во внешность круга, ограниченного окружностью С2.

						v
y

x		u

Рисунок 4

Пример 8. Найти образ окружности z 2i 1 при дробно-линейном

iz 2 3i

отображении, заданном функцией w z 1 2i .

Решение

Заметим, что точка z 1 2i , которая переводится нашим отображением в бесконечно удалённую точку w , лежит на данной окружности. Следовательно, по свойству 1 дробно-линейного отображения образом нашей окружности будет прямая. Для построения этой прямой достаточно указать две точки, через которые она проходит, а ими являются образы двух любых точек, лежащих на окружности. Например, w i 3 ,

w 3i 4 7i .