19

3 Варианты заданий

Вариант 1

1 При помощи функции w z3 отобразить на плоскость w линию

y x .

2 Проверить выполнимость условий Коши-Римана для функции
w f z u iv	и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-
данной точке	z0 при отображении w f z , если	u 3x2 y y3 ,

v 3xy2 x3 , z0 1 i .

3 На какую область в плоскости w отображает функция w iz 1 треугольник, ограниченный линиями x 0 , y 0 , x y 1?

4

Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг

z

1 в

круг

w i

3 так, чтобы точки

z1 1, z2 i , z3 1

границы

z

1 пере-

шли

соответственно в точки

w1 3 i , w2

4i ,

w3 3 i

границы

w i

3 .

5 Вычислить Im zdz , где путь C – прямолинейный отрезок, соеди-

C

няющий точку z1 0 с точкой z2

2 i .

1

n

6

Определить область сходимости ряда

z

.

n

n 1

n 1

z

n 0 2

7

С помощью вычетов вычислить интеграл

sin

1 dz .

z

r

z

Вариант 2

1 На какую область отображает функция w z2 квадрат, заданный в плоскости z неравенствами 0 x 1, 0 y 1.

2 Проверить выполнимость условий Коши-Римана для функции w f z u iv и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-

данной точке z0 при отображении w f z , если u ex xcos y ysin y ,

v ex xsin y y cos y , z0 1 i .

3 На какую область в плоскости w отображает функция w 3z 1 треугольник с вершинами в точках A 0;0 , B 2;0 , C 0; 2 ?

4 Найти линейное отображение с неподвижной точкой 1 i , переводящее точку 2 i в точку i .

5 Вычислить z dz , где путь C – это: а) прямолинейный отрезок, со-

C

единяющий точку A 1;0 с точкой B 1;0 ; б) верхняя половина окружно-

20

сти

z

1

от точки A 1;0 до точки B 1;0 .

6 Разложить в ряд Тейлора функцию ez по степеням 2z 1 и найти

радиус сходимости ряда.

z2 1

7 С помощью вычетов вычислить интеграл

C

dz , где C –

2z 3 2 z2

эллипс

x2

y2

1.

4

1

Вариант 3

1 При помощи функции w 2z 1 найти образ окружности x2 y2 1

на плоскости w .
2 Проверить	выполнимость	условий Коши-Римана для функции
w f z u iv и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-
данной точке z0 при отображении		w f z , если u x3 3xy2 x2 y2 ,
v 3x2 y y3 2xy ,	z0 2 i .
	3

3Найти линейное отображение с неподвижной точкой 1 2i , переводящее точку i в точку i .

4Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг z 1 1

на полуплоскость Re w 1

так, чтобы точки z1 0 , z2

1 i , z3

2 границы

z 1

1перешли соответственно в точки w1 1 i ,

w2 1, w3

1 i грани-

цы Re w 1.

5

Вычислить 1 dz , где путь C – окружность

z

1 с положительным

C

z

направлением обхода.

6 Разложить в ряд Тейлора функцию ln 2 z

по степеням z и найти

радиус сходимости ряда.

1

7

С помощью вычетов вычислить интеграл

3

dz .

z

z3 4z

Вариант 4

1

При помощи функции w z2 отобразить на плоскость w прямые

x 2, y 1.

2

Проверить

выполнимость условий Коши-Римана для функции

w f z u iv

и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-

данной

точке

z0

при

отображении w f z ,

если

u e1 y cos x ,

v e1 y sin x , z0

i .

2

21

3 На какую область в плоскости w отображает функция w 2z 1 треугольник с вершинами в точках A 0;0 , B 1;0 , C 0;1 ?

4 Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг z 1 на

верхнюю полуплоскость Im w 0 так, чтобы точки z1

1,

z2 1,

z3 i

границы

z

1перешли соответственно в точки

w1 0 ,

w2 1, w3 гра-

ницы Im w 0 .

1

5 Вычислить

dz , где путь C – верхняя полуокружность

z

1 с

C

z

направлением обхода от точки A 1;0 до точки

B 1;0 (

z взять из об-

щей формулы при k 0).

								1
6	Определить область сходимости ряда										.
		4		n				z 1		n
	n 1
7	С помощью вычетов вычислить интеграл							ez	dz .
			z			1		z

Вариант 5

1 При помощи функции w z2 отобразить на плоскость w прямую

x y 1.
2 Проверить выполнимость условий Коши-Римана			для функции
w f z	u iv	и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-
данной	точке	z0 при отображении w f z , если	u 2xy 2x ,

v y2 2 y x2 1, z0 1.

3 Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг z 2i 1 в

круг

w

2 так, чтобы точки z1 i , z2

1 2i ,

z3 3i границы

z 2i

1пе-

решли соответственно в точки w1 2 ,

w2 2i ,

w3 2i границы

w

2 .

4 Найти линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами в точках 0, 1, i на подобный ему треугольник в плоскости w с вершинами в точках 0, 2 , 1 i .

		1 i	i
			2 sin zdz .
	5	Вычислить интегралы: а) z2dz ; б)
		1	0
	6 Разложить в ряд Тейлора функцию		1		по степеням z 2 и найти
			3z 1
	радиус сходимости ряда.
								dz
							3
	7	С помощью вычетов вычислить интеграл			z				.
								z5 z3

22

Вариант 6

1 При помощи функции w iz 1 найти образы осей координат на плоскости w .

2 Проверить выполнимость условий Коши-Римана для функции w f z u iv и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-

данной

точке

z0

при отображении w f z ,

если

u e1 2 x cos 2 y ,

v e1 2 x sin 2 y ,

z0

i .

3

3

В какие линии преобразуется семейство окружностей x2 y2 by ,

где b const , функцией w 1 ?

z

4

Найти дробно-линейную функцию, отображающую полуплоскость

Re z 0 в круг

w

1 так, чтобы точки

z1 i ,

z2 0 ,

z3 i

границы

Re z 0 перешли соответственно в точки

w1 1,

w2 i ,

w3 1

границы

w

1.

5 Вычислить

z

dz , где путь C – граница области 1

z

2 , Im z 0

C

z

с положительным направлением обхода.

6

Разложить в ряд Тейлора функцию sin 2z 1 по степеням z 1 и

найти радиус сходимости ряда.

dz

7

С помощью вычетов вычислить интеграл C

, где C –

z 1 2

z2 1

окружность x 1 2 y 1 2 2 .

Вариант 7

1 Начертить в комплексной плоскости линию, точки которой удовлетворяют уравнению Im z2 2 .

2	Проверить		выполнимость условий Коши-Римана для функции
w f z u iv		и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-
данной	точке	z0	при отображении w f z , если	u x3 3xy2 3x ,

v 3x2 y y3 3y 1, z0 ei 4 .

3 Найти линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами в точках 0, 1, i в плоскости z на подобный ему треугольник с вершинами в точках 0, 4 , 2 2i в плоскости w .

4 Найти дробно-линейную функцию, отображающую полуплоскость Im z 0 на полуплоскость Re w 0 так, чтобы точки z1 , z2 0 , z3 1

границы Im z 0 перешли соответственно в точки w1 0 , w2 i , w3