27

3 В какие линии плоскости w преобразуются оси координат плоскости z функцией w iz 1?

4 Найти дробно-линейную функцию, отображающую полуплоскость

Im z 0	на полуплоскость Im w 0 так, чтобы точки						z1 , z2 0 , z3 1
границы	Im z 0					перешли соответственно в точки w1 0 , w2 1, w3
границы Im w 0 .
5 Вычислить Im zdz , где путь интегрирования C – это: а) прямоли-
						C
нейный отрезок,						соединяющий точку z1 3 с точкой	z2 3; б) полуок-
ружность			z		3,	0 arg z .

6 Определить область сходимости ряда

n 1

7 С помощью вычетов вычислить интеграл

	2 i	2 n
	zn	.
		1
	z ez dz .

z 1

Вариант 15

1 Функция w 1z отображает прямую y x плоскости z на плоскость w . Найти соответствующий образ.

2Доказать, что функция w z2 5z 7 является аналитической на всей комплексной плоскости.

3Найти образ прямой x y 1 при отображении w z2 .

4Найти линейное отображение с неподвижной точкой z1 1 i , переводящее точку z2 5i в точку w 1 i .

5 Вычислить 2z 1 zdz , где путь интегрирования C – окружность

C

z

1.

1

по степеням z 1 и най-

6 Разложить в ряд Лорана функцию

z z 1

ти область сходимости ряда.

e

z

1 2

7 С помощью вычетов вычислить интеграл

z

dz .

z z

1 2

			28
	Вариант 16
	1	Функция w 1 отображает окружность		x2 y2	R2 на плоскость
		z
w . Найти соответствующий образ.				w f z по её действи-
	2	Восстановить аналитическую функцию
тельной части Re f z 3x2 y y3 .
	3	В какие линии плоскости w преобразуются оси координат плоско-
сти z функцией w iz 2 ?
	4	Найти дробно-линейную функцию по следующим условиям: точки
1	и 2	неподвижны, а точка 5	3 i переходит в .
2		4	4
	5	Вычислить z2dz , где путь интегрирования C			– это: а) прямоли-
		C

нейный отрезок, соединяющий точку z1 0 с точкой z2 1 i ; б) ломанная, соединяющая точки z1 0 , z2 1 i , z3 1.

	6 Разложить в ряд Лорана функцию sin	1		по степеням z 2 и най-
		z 2
	ти область сходимости ряда.
						z
	7 С помощью вычетов вычислить интеграл						dz , где C – прямо-
		C cos z
	угольник с вершинами в точках z1 i , z2 2 i ,			z3		2 i , z4		i .
	Вариант 17
	1 Функция w 1 отображает прямую	y 4				плоскости		z на плос-
	z
	кость w . Найти соответствующий образ.
	2 Восстановить аналитическую функцию w f z по её мнимой час-
	ти Im f z x3 6x2 y 3xy2 2 y2 .
	3 Показать, что угол между прямыми	y 1 и				y x 1 не изменится
	при отображении w 1 i z 1 i .

4 Найти дробно-линейную функцию, отображающую полуплоскость

Im z 3 на	полуплоскость Im w 1		так, чтобы точки			z1 3i , z2	3i 2 ,
z3 3i 1	границы	Im z 3перешли		соответственно		в точки	w1 i ,
w2 i 1, w3 i 6		границы Im w 1.
5 Вычислить zdz , где путь интегрирования C – это: а) прямолиней-
	C
ный отрезок, соединяющий точку z1 0					с точкой z2 1 i ; б) дуга парабо-
лы y x2 , соединяющая точки z 0 ,			z	2	1 i .
		1

29

n

1

6

Определить область сходимости ряда

3

.

n

n 1 z 2i

7

С помощью вычетов вычислить интеграл

z 1

sin

1

dz .

z

1

Вариант 18

z 1

1

1

Функция w 1 отображает линию

y x 1 плоскости z на плос-

z

кость w . Найти соответствующий образ.

w f z

по её действи-

2

Восстановить аналитическую функцию

тельной части Re f z x2 y2 xy .

3

На какую область в плоскости ( w ) отображает функция w 2z 3

прямоугольник плоскости z с вершинами в точках

A 0;0 , B 1;0 ,

C 1;1 , D 0;1 ?

4

Найти дробно-линейную функцию, отображающую полуплоскость

Re z 0

в круг

w

1 так, чтобы точки

z1 i ,

z2 0 ,

z3 i границы

Re z 0

перешли соответственно в точки

w1 1,

w2 i ,

w3 1 границы

w

1.

Объясните, почему можно утверждать, что C

dz

5

равен нулю, ко-

z2

3

гда C – окружность z 1, но это неверно, когда C – окружность z 3.

1
6 Разложить в ряд Лорана функцию z2ez по степеням z					и найти об-
ласть сходимости ряда.				z
7 С помощью вычетов вычислить интеграл							dz .
				z 1 z 2		2
	z 2		1 2

Вариант 19

1Функция w z2 отображает линию x a , где a const , на плоскость w . Найти соответствующий образ.

2Указать точки плоскости, в которых нарушена конформность ото-

бражения w z5 5z .

3На какую область в плоскости ( w ) отображает функция w 2z 1 прямоугольник с вершинами в точках 0;0 , 1;0 , 1;1 , 0;1 ?

4Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг z 1 в

круг

w i

3 так, чтобы точки

z1 1, z2 i , z3 1

границы

z

1 пере-

шли

соответственно в точки

w1 3 i ,

w2 4i ,

w3 3 i границы

w i

3 .

30
					z			dz
5 Объясните, почему можно утверждать, что					0				не зависит от
							z2 9
пути интегрирования в верхней полуплоскости		Im z 0 , но этого нельзя
утверждать для левой полуплоскости Re z 0 .
6 Разложить в ряд Лорана функцию	1 cos z				по степеням z и найти
	z2
область сходимости ряда.								z2
7 С помощью вычетов вычислить интеграл										dz .
					z	2		1 z 2
		z	3

Вариант 20

1 Функция w z2 отображает линию y b , где b const , на плоскость w . Найти соответствующий образ.

2Указать точки плоскости, в которых нарушена конформность отображения w 17 z7 64z .

3Показать, что угол между прямыми y x и y 0 не изменится при отображении w zi 1 i .

4На какую область в плоскости w отобразит функция w 11 zz i

верхний полукруг

z

1; Im z 0 ?

5

Вычислить

dz

, где путь интегрирования C – это: а) окруж-

z 1

3i

C

ность

z

2 ; б) окружность

z 1

6 .

1 sin2 2

по степеням z и найти

6

Разложить в ряд Лорана функцию

z

z

область сходимости ряда.

7 С помощью вычетов вычислить интеграл dz . z 5 z z 2 z 4

Вариант 21

1 Функция w z2 отображает линию y kx , где k const , на плос-

кость w . Найти соответствующий образ.

2 Указать точки плоскости, в которых нарушена конформность отображения w 13 z3 1 i z2 z 2i .

3 На какую область в плоскости w отображает функция w 2z 1 треугольник с вершинами в точках 0;0 , 1;0 , 0;1 ?