92	И.С. Сягло Теоретическая механика

8.6.Уравнение движения идеальной жидкости

Уравнение движения идеальной жидкости получается, если в уравнение движения сплошной среды (8.38) подставить тензор напряжений (8.42) идеальной жидкости. В результате получим уравнение

d~v	~	1		(8.51)
dt	=		rp:

Оно содержит пять неизвестных величин: три проекции скорости, плотность среды и давление. Трех проекций уравнения (8.51) недостаточно для их определения. Поэтому уравнение (8.51) дополняется уравнением неразрывности и еще одним уравнением, в качестве которого обычно берется зависимость плотности от давления = (p). Жидкость, плотность которой зависит только от давления, называется баротропной жидкостью. Уравнение (8.51) является уравнением в частных производных и поэтому должно быть дополнено граничными условиями. Решение уравнения движения идеальной жидкости в аналитической форме возможно только в простейших случаях. Для большинства реальных задач решение получается численными методами. Рассмотрим два простых решения этого уравнения.

Если жидкость покоится, то уравнение (8.51) переходит в уравнение гидростатики:

~	1	rp:			(8.52)
=
Для баротропной жидкости его можно записать в виде
~ = r Z			dp	:	(8.53)
			(p)

В уравнении (8.53) справа стоит градиент. Поэтому это уравнение имеет решение только тогда, когда и слева стоит градиентный вектор, то есть, когда сила име-

~	ru. Тогда из равенства двух градиентов следует условие,
ет потенциал: =

которое позволяет найти давление в идеальной жидкости, находящейся в потен-

циальном поле:
u + Z	dp	= const	(8.54)
	(p)

В частности, если потенциальное поле это поле силы тяжести, жидкость несжимаема и ось oz направлена вертикально вверх, то из (8.54) получим обычную формулу для давления жидкости, находящейся в поле силы тяжести,

u = gz; p = const gz:

(8.55)

Найдем сейчас одно из частных решений уравнения движения идеальной жидкости для случая движущейся жидкости. Полная производная по времени в левой

93						И.С. Сягло Теоретическая механика
части уравнения (8.51) может быть записана в форме
	d~v		@~v		@~v		v2		(8.56)
		=		+ (~vr)~v =		+ r		+ 2!~ ~v:
	dt		@t		@t		2

Если внешние силы потенциальны, то уравнение (8.56) допускает безвихревое движение, когда !~ = 0, и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал ~v = r'. Если жидкость баротропна, то при всех сделанных предположениях уравнение движения идеальной жидкости записывается в форме

	@'		v2		dp
r(		+		+ u + Z		) = 0:	(8.57)
	@t		2

Первым интегралом уравнения (8.57) является равенство

@'		v2			dp
	+			+ u + Z		= f(t):	(8.58)
@t			2

Функция f(t) определяется начальными данными. Решение (8.58) называется решением Коши. Если движение идеальной жидкости стационарно и все характеристики среды не зависят от времени, то решение Коши переходит в решение Бернулли:

	2	dp
	v2 + u + Z		= const:	(8.59)

Для несжимаемой жидкости, находящейся в поле силы тяжести, решение Бернулли принимает известный из элементарной физики вид:

	v2
		+ gz + p = const:	(8.60)
2

8.7.Звуковые волны в идеальной жидкости

Рассмотрим распространение небольших возмущений по идеальной баротропной жидкости. Будем считать что давление и плотность только на малые добавки p0 и 0 отличаются от постоянных давления po и плотности o в покоящейся жидкости, то есть

	1			(8.61)
p = po + p0	; (po + p0) o +		p0:
		c2

В формуле (8.61) использовано разложение функции (p) в ряд по малому параметру p0 и введено обозначение

c12 =	dp		:	(8.62)
	d

po

94	И.С. Сягло Теоретическая механика

Внешние силы оказывают малое влияние на распространение звуковых волн. По-

этому будем считать, что плотность массовых сил ~ равна нулю. Кроме того,

можно считать, что скорости смещения отдельных частиц сплошной среды малы, и поэтому можно пренебречь вторыми степенями скоростей и произведениями vp0. При всех сделанных предположениях в уравнении движения идеальной жидкости полная производная согласно формуле (8.56) может быть приближенно заменена на частную производную. В результате уравнение движения идеальной жидкости (8.51) и уравнение неразрывности (8.12) записываются в виде

@~v		1	rp0;	@ 0		1 @p0				(8.63)
	=				=				= or~v:
@t		o		@t		c2		@t

Умножим теперь первое из уравнений (8.63) на o и применим к его обеим частям оператор r. Второе уравнение из (8.63) продифференцируем по времени. Поскольку частные производные по времени и по координатам можно переставлять, то части полученных уравнений, содержащие скорость, будут равны. Из этого следует равенство

p0	1 @2p0	(8.64)
	c2 @t2 = 0;

где оператор Лапласа.

Уравнение (8.64) это волновое уравнение. Его решением являются звуковые волны. Следовательно, малые возмущения давления в идеальной жидкости распространяются в виде звуковых волн. Величина c, определенная согласно (8.62) является скоростью распространения звуковой волны, или скоростью звука. Скорость звука различна в различных средах и определяется сжимаемостью этих сред. Если считать, что при распространении звуковой волны в воздухе давление и объем связаны уравнением адиабаты, то формула (8.62) дает правильное значение для скорости звука в воздухе.