114	И.С. Сягло Задачи по теоретическеой механике

2

~2m

w m

Рис. 7.1

7.Многомерные колебания

7.1.Найти свободные колебания механической системы, изображенной на Рис. 7.1.. Массы двигаются только по вертикали в поле силы тяжести. Найти нормальные координаты и нормальные частоты.

7.2.Найти малые колебания двойного математического маятника из задачи 3.2b (стр.106) при условии l1 = l2. Рассмотреть случай, когда m1 m2. Как будут происходить колебания, если в начальный момент времени отклонить из положения равновесия только массу m1 и отпустить ее?

7.3.Найти малые колебания линейной системы из трех масс, двигающихся только по прямой линии, соединяющей их (Рис. 7.2.).

7.4.Найти малые колебания трех одинаковых масс, соединенных одинаковыми пружинками и движущимися по окружности (Рис. 7.3.).

7.5.Найти амплитуду малых колебаний одномерной механической системы после действия сил вида:

115	И.С. Сягло Задачи по теоретическеой механике

		{m	m {
w	|	w
m	M	m	m
			{
	Рис. 7.2		Рис. 7.3

116	И.С. Сягло Задачи по теоретическеой механике

8.Движение твердого тела.

8.1.В вершинах квадрата со стороной 2a расположены массы m; M, Рис. 8.4.. Найти компоненты тензора инерции относительно осей xyz и осей x0y0z0. Оси oz; oz0 направлены перпендикулярно плоскости чертежа.

8.2.найти тензор инерции твердого тела, представляющего собой равносторонний треугольник, в вершинах которого расположены одинаковые массы.

8.3.Найти тензор инерции плоской однородной пластины, массы m, имеющей форму прямоугольника со сторонами a; b. Найти кинетическую энергию и момент импульса при вращении пластины вокруг оси, проходящей по одной из диагоналей, и при вращении вокруг оси, проходящей п одной из сторон пластины.

8.4.Найти тензор инерции однородного цилиндра, имеющего массу m, радиус R и высоту H.

8.5.Найти тензор инерции однородного шара радиуса R и массы m.

8.6.Два цилиндра одинаковых радиуса и массы скатываются без проскальзывания с наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. Масса одного цилиндра равномерно распределена по всему объему, другого только по поверхности. Найти разность между ускорениями обоих цилиндров.

8.7.Однородная круглая катушка радиуса R и массы m имеет в средней части барабан радиуса r. На нее действуют две силы, как показано на Рис. 8.5.. Катушка катится без скольжения. С каким ускорением будет двигаться ось катушки, если момент инерции ее относительно оси равен I?

8.8.Шарик радиуса r катается по внутренней поверхности сферы радиуса R так, что его траектория расположена в вертикальной плоскости. Найти частоту малых колебаний такого маятника. Сравнить ее с частотой малых колебаний математического маятника.

117	И.С. Сягло Задачи по теоретическеой механике

Рис. 8.4

Рис. 8.5