37	И.С. Сягло Теоретическая механика

то есть определение обобщенной энергии в этом случае совпадает с обычным определением механической энергии.

Если на механическую систему действуют силы, не имеющие потенциала, то в правой части уравнений Лагранжа стоит уже не нуль. Поэтому сумма в правой части формулы (3.38) не равна нулю, и механическая энергия не будет сохраняться даже при отсутствии явной зависимости от времени в функции Лагранжа. В частности, если непотенциальные силы являются силами трения, описываемыми диссипативной функцией Рэлея, то уменьшение механической энергии дается формулой

dE	= 2:	(3.43)
dt

Формула (3.43) получается из соотношения (3.38) при подстановке в него уравнения (3.12).

3.6.Законы сохранения и симметрии пространства и времени

Как уже отмечалось, пространство в классической механике постулируется однородным и изотропным, а время однородным. С этими свойствами симметрии пространства и времени в лагранжевом формализме связывают существование фундаментальных законов сохранения энергии, импульса и момента импульса для замкнутой системы материальных точек. Под замкнутой системой материальных точек понимается система, на которую не только не действуют внешние силы, но и в которой не происходит превращения механической энергии в другие виды энергии, например, в тепловую энергию или в энергию электромагнитного поля.

Для замкнутой механической системы вследствие однородности времени все моменты времени одинаковы. Поэтому функция Лагранжа не должна явно зависеть от времени. В предыдущем параграфе было показано, что если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то механическая энергия сохраняется, то есть из однородности времени следует закон сохранения энергии для замкнутой механической системы.

Вследствие однородности пространства для замкнутой механической системы все точки пространства равноправны. Поэтому ее функция Лагранжа не должна зависеть от положения механической системы в пространстве. Она может зависеть только от относительных расстояний между материальными точками системы. Положение механической системы как целого в пространстве можно задать с помощью координат ее центра инерции. Если выбрать обобщенные координаты так, чтобы три из них были координатами центра инерции механической системы, то вследствие однородности пространства эти координаты будут циклическими. Обозначая координаты центра инерции как X; Y; Z, запишем согласно (3.31)

38					И.С. Сягло Теоретическая механика
сопряженные им сохраняющиеся обобщенные импульсы:
pX = p~a @~ra		; pY =	X	p~a @~ra		; pZ =	X	p~a @~ra		:	(3.44)
X
a	@X		a		@Y		a		@Z

При смещении центра инерции координаты всех точек получают одинаковые приращения. Например, при смещении центра инерции вдоль оси OX на X получим

a ~ , и, следовательно,

~r = i X

@~ra ~		X	~ ~~	(3.45)
@X	= i; pX =	a	p~ai = P i = PX :

Обобщенный импульс pX равен проекции импульса системы материальных точек на ось OX. Аналогичные выводы можно сделать относительно обобщенных импульсов pY и pZ, то есть для замкнутой системы материальных точек сохраняются

все три проекции импульса, и, следовательно, вектор импульса ~ замкнутой си-

P

стемы материальных точек остается постоянным.

Закон сохранения момента импульса замкнутой системы материальных точек в лагранжевом формализме выводится из изотропности пространства. Вследствие изотропности пространства ориентация механической системы относительно пространства не должна влиять на ее механические свойства. Пусть одна из обобщенных координат выбрана так, что ее изменение приводит к повороту всей механической системы вокруг некоторой оси на угол '. Так как механическая система не может реагировать на ориентацию в изотропном пространстве, то координата ' будет циклической. Сопряженный ей обобщенный импульс сохраняется. Как было показано, сопряженный угловой координате обобщенный импульс равен проекции момента импульса механической системы на ось вращения. В изотропном пространстве для замкнутой системы материальных точек такой осью вращения может служить любая ось декартовой системы координат. Поэтому для нее сохра-

няются все три проекции момента импульса, то есть вектор момента импульса ~ M

замкнутой механической системы остается постоянным при ее движении.

В некоторых случаях отдельные фундаментальных законы сохранения выполняются для систем материальных точек, взаимодействующих с другими телами. Если внешнее поле обладает некоторыми свойствами симметрии, то им соответствуют законы сохранения. Например, в центрально симметричном поле сохраняется момент импульса механической системы, определенный относительно центра симметрии поля. Это следует из того, что повороты механической системы относительно оси, проходящей через центр симметрии поля, не влияют на движение механической системы.