118	И.С. Сягло Задачи по теоретическеой механике

9.Канонические уравнения

9.1.Найти функцию Гамильтона и записать канонические уравнения материальной точки с массой m, движущейся в потенциальном поле U, в следующих системах координат:

(a)декартовых;

(b)цилиндрических;

(c)сферических;

(d)параболических на плоскости, введенных формулами: x = ; y = 12 ( 2 2):

9.2.Написать функцию Гамильтона и канонические уравнения, если функция Лагранжа равна:

(a)L = m2 (x2 + y2) + c(xy yx) k2 (x2 + y2),

q

(b) L = mc2 1 vc22 .

9.3.Проинтегрировать канонические уравнения и найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой равна

p2			k		p2			k
H =		+		x2	+ (		+		x2)2	:
2		2			2		2

9.4.Найти функцию Гамильтона и записать канонические уравнения сферического маятника длиной l и с массой m. (Сферический маятник это материальная точка на подвесе, совершающая неплоское движение.)

9.5.Вычислить следующие скобки Пуассона:

(xi; xj); (pi; xj); (Mi; xj); (Mi; pj); (Mi; Mj);

где xi, pi, Mi соответственно декартовы компоненты радиуса-вектора, импульса и момента импульса материальной точки массы m.

9.6.Свободная точка с массой m движется в поле силы тяжести. Составить для нее уравнение Гамильтона Якоби в частных производных. найти его полный интеграл и первые интегралы уравнений движения материальной точки.

119	И.С. Сягло Задачи по теоретическеой механике

10.Механика сплошной среды.

10.1.Найти тензор малых деформаций и вектор поворота для вектора смещения

~	~	~
~u = (x z) i + (y + z) j		xy k:

10.2.Найти в эйлеровой форме скорость и ускорение сплошной среды, зависимость плотности среды от времени, если движение среды в лагранжевой форме задано уравнениями:

x = xo(1 + t); y = yo(1 + t)2; z = zo(1 + t)3:

10.3.Найти тензор скорости деформации и вектор угловой скорости вращения среды, поле скоростей которой дается формулой

2	3	~	(x	3	2	~
~v = (x	y + y	) i			+ xy	) j:

10.4. Поле скоростей сплошной среды задано формулами:

q

vx = yF (r); vy = xF (r); vz = 0; r = x2 + y2:

Найти: а) закон движения и траектории индивидуальных частиц сплошной среды; б) ускорение и скорость вращения сплошной среды; в) тензор скорости деформации.

10.5.Записать уравнение неразрывности в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

10.6.На горизонтальной поверхности имеется отверстие, из которого с постоянным напором вытекает несжимаемая жидкость, растекающаяся радиально по всей поверхности. Найти поле скоростей и поле ускорений.

10.7.Жидкость находится в резервуаре. Одна из стенок резервуара представляет прямоугольник, две стороны которого горизонтальны, а две другие наклонены под углом к горизонту. Найти силу, действующую со стороны жидкости на эту стенку.

10.8.Найти форму свободной поверхности несжимаемой жидкости в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси.

10.9.Найти давление и плотность в зависимости от высоты для адиабатически равновесной атмосферы, уравнение состояния которой p = k .

10.10.Идеальная несжимаемая жидкость течет по трубе переменного сечения. Найти изменение давления в жидкости при переходе из области, где скорость жидкости v1 и сечение трубы S1, в область с сечением S2. Рассмотреть случай, когда сечение S2 находится ниже сечения S1 на расстоянии H.