Ovsyannikova_M_M_Ekonometrika

Рис. 8

Рис. 9

11

Раздел Регрессионная статистика:

Множественный R – коэффициент корреляции; R-квадрат – коэффициент детерминации;

Нормированный R-квадрат – скорректированный коэффициент детерминации (понадобится для МРА);

Стандартная ошибка;

Наблюдения – количество наблюдений в задаче (если это количество в таблице не совпадает с количеством наблюдений в задаче, то вы неправильно ввели входные интервалы Х и Y или не установили флажок в разделе Метки).

В принципе все эти данные мы уже знаем.

Раздел Дисперсионный анализ

Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи.

Данные в таблице дисперсионного анализа располагаются следующим образом:

df

SS

MS

F

F-значимость

Регрессия

Количество

ˆ

2

ˆ

2

k1

R2

Вероятность

объясняющих

∑( y − y )

∑( y − y )

Fфакт

=

xy

×

того, что Fфакт

− R2

переменных

1

сформировалось

xy

(k1 = 1)

×(n − k − 1)

случайным об-

разом

Остаток

k2 = n– k – 1

∑

( y − yˆ

)

ˆ

k2

∑( y − y )

2

Итого

Число степеней

2

∑( y − y )

свободы (n – 1)

Из этой таблицы мы видим, что Fфакт > Fтабл (Fтабл для данной задачи равно 4,96). Следовательно, найденное уравнение регрессии сформировалось не случайно.

Раздел без названия (идет сразу после Дисперсионного анализа)

Столбец Коэффициенты:

–в строке с названием «Y-пересечение» дан коэффициент а уравнения регрессии;

–в строке с названием «х» дан коэффициент b уравнения регрессии.

Столбец Стандартные ошибки:

–в строке с названием «Y-пересечение» дана с.о.(а);

–в строке с названием «х» дана с.о.(b).

Столбец t-статистика:

– в строке с названием «Y-пересечение» дано tфакт(а);

–в строке с названием «х» дано tфакт(b).

Столбец Р-значение:

–в строке с названием «Y-пересечение» дана вероятность того, что параметр а сформировался случайно;

–в строке с названием «х» дана вероятность того, что параметр b сформировался случайно. Столбец Верхние 95 %:

–в строке с названием «Y-пересечение» дана верхняя граница 95 % доверительного интервала параметра а;

–в строке с названием «х» дана верхняя граница 95 % доверительного интервала параметра b. Столбец Нижние 95 %:

–в строке с названием «Y-пересечение» дана нижняя граница доверительного интервала параметра а;

–в строке с названием «х» дана нижняя граница доверительного интервала параметра b.

(Если ноль находится внутри доверительного интервала, то данный параметр незначим.)

Из этой таблицы нам опять же известны некоторые данные, такие как: параметры а и b, стандартные ошибки найденных параметров, которые мы нашли в таблице 5 х 2.

Раздел Вывод остатка

Здесь три столбца:

1) нумерация наблюдений;

12

2) Предсказанное у – теоретические значения переменной Y, т.е. yˆ -значения в этом столбце

должны совпадать со значениями, которые мы посчитали в столбце С (ячейки С2:С13); 3) Остатки – столбец остатков, равный разности между фактическими и теоретическими зна-

чениями переменной Y, e = y − yˆ -значения в этом столбце должны совпадать со значениями, кото-

рые мы посчитали в столбце D (ячейки D2:D13).

А вот доверительные интервалы мы еще не находили, поэтому возьмем их из этой таблицы:

γa = (−0,49;16, 23) ,

γb = (59,31;76, 46) .

Так как доверительный интервал параметра а содержит нуль, то он незначим, т. е. не имеет реального смысла.

1.6. Выполнить прогноз годового товарооборота для строящегося нового магазина площадью 1 тыс. м2. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Найдем прогнозное значение yˆ p = 7,87377 + 67,88714xp , где xp = 1. Следовательно, yˆ p ≈ 75,76 . Вычислим среднюю стандартную ошибку прогноза с.о.( yˆ p ):

	Var(e)				1		(xp −		)2
c.o.( yˆ p ) =				+		+		x			=
			1
					n		Var(x)
		n − 2

	25,6			+	1		+	(1− 0,89)2		≈1,7 .
			1
		10			12			0,17

Как найти Var(x) и Var(e) с помощью EXCEL 2007: а) поставить курсор в ячейку D18. Ввести Var (x)= ;

б) поставить курсор в ячейку Е18. Ввести знак «=», зайти в мастер функции f(x), выбрать категорию Статистические, выбрать функцию ДИСП, нажать ОК (рис. 10).

Впоявившемся новом окне, где запрашивается число 1, ввести диапазон значений переменной Х, ячейки В2:В13, нажать ОК (рис. 11).

Вячейке Е18 появится число, равное дисперсии переменной Х= Var(x).

Аналогично проделать с вычислением дисперсии значений столбика е (рис. 12).

Строим доверительный интервал (tтабл для данной задачи находим по таблице Стьюдента на пересечении чисел γ = 0,95 (или α = 0,05) и k = 12 – 1 – 1 = 10), у нас это будет число tтабл = 2,23.

yˆ p » 75,76;

Dyˆ p = tтабл ××с.о.( yˆ p ) = 2, 23×1,7 = 3,791; g yˆ p = (71,96; 79,55).

Эти результаты говорят о том, что в новом строящемся магазине площадью 1 тыс. м2 годовой товарооборот предположительно будет находиться в пределах от 71,96 млн. руб. до 79,55 млн. руб.

Рис. 10

13

Рис. 11

Рис. 12

14

1.7. Построить поле корреляции и линию регрессии.

Построим поле корреляции и линию регрессии. Делать это будем все на том же листе Excel, после таблицы Вывод итогов регрессионной статистики или на свободном пространстве после основной таблицы.

Для EXCEL 2003:

1.7.1.В главном меню выбрать Мастер диаграмм (если его нет, то вставить: правой кнопкой мыши нажать по любому разделу главного меню. Выбрать Настройка→ Вставка→ Диаграмма и, держа левую кнопку мыши, перетащить диаграмму в главное меню).

1.7.2.В появившемся окне в разделе Стандартные выбрать тип диаграммы Точечная и нажать кнопку Далее (рис. 13).

1.7.3.В появившемся окне (рис. 14) выбрать раздел Ряд. Щелкнуть по кнопке Добавить, и в строку Имя ввести название первого ряда, в строку Значения Х ввести координаты столбца Х (В2:В13), в строку Значения Y ввести координаты столбца Y (А2:А13).

Рис. 13 Рис. 14

1.7.4. Затем на получившееся поле корреляции можно добавить линию регрессии. Для этого снова щелкните по кнопке Добавить и в освободившиеся три строки введите новые данные: в стро-

ку Имя название нового ряда – yˆ ,	в строку Значения Х – координаты столбца Х (B2:B13), в строку
Значения Y – координаты столбца	yˆ (C2:C13). На этом же поле корреляции появятся точки, при-

надлежащие линии регрессии, они будут розового цвета (рис. 15). Чтобы соединить их в линию, надо щелкнуть по любой точке прямой дважды и в появившемся окне Формат ряда данных в разделе Вид поставить метку того, что линия обычная. Щелкнуть по кнопке ОК (рис. 16).

Для EXCEL 2007:

а) поставить курсор на любое свободное поле; б) в главном меню выбрать Вставка;

в) раскрывшихся окнах выбрать Точечную диаграмму; г) на листе появится белое поле для диаграммы, в верхнем меню появятся новые окна по работе

с диаграммой. Выбираем пункт Выбрать данные. Появится окно (рис. 17);

15

Рис. 15

Рис. 16

16

Рис. 17

д) щелкнуть курсором по кнопке Добавить, в появившемся окне заполнить данные:

– в строку Имя ряда ввести у;

– в строку Значения Х ввести данные столбца Х;

– в строку Значения Y ввести данные столбца Y.

	Если в появившейся диаграмме точки соеди-
	нены между собой ломаной, то нужно в верхнем
	меню нажать на Изменить тип диаграммы и
	выбрать Точечную→ ОК.	Рис. 18
	1.7.5. На рабочем листе появится оконча-

тельное поле корреляции с линией регрессии (рис. 20). Его можно перемещать в любое удобное место.

Чтобы добавить в поле корреляции линию регрессии, нужно правой кнопки мыши щелкнуть по полю диаграммы и в появившемся окне выбрать Выбрать данные. Снова появится окно Выбор источника данных. В нем снова щелкаем по Добавить. В появившемся окне (рис. 19) заполнить строки:

–в строку Имя ряда ввести значения столбика ( yˆ );

–в строку Значения Х ввести данные столбца (х);

–в строку Значения Y ввести данные столбца ( yˆ ).

В поле корреляции между нашими фактиче-
скими данными (синие точки) появятся теорети-
ческие данные по нашей выборке.
Чтобы соединить красные точки между собой
в прямую, нужно подвести курсор к любой крас-
ной точке, щелкнуть по ней правой кнопкой мы-
ши, в появившемся окне выбрать Изменить тип
диаграммы для ряда, в появившемся окне вы-
брать тип диаграммы Точечная с гладкими кри-
выми→ ОК (рис. 21). На нашем поле корреляции
появится прямая, проходящая между фактиче-	Рис. 19
скими наблюдениями (рис. 22).

17

Рис. 20

Рис. 21

18

Рис. 22

19

Раздел 2 ПАРНЫЙ НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Методические указания

Рассмотрим случай, когда f(x) – нелинейная функция. Нелинейные регрессии делятся на два класса: 1) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и 2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

а) полиномы разных степеней	f (x) = α + β x + β			2	x2	+ e ;
	1
б) равносторонняя гипербола	f (x) = α +	β	+ e .
		x

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: в) степенная f (x) = α × xβ × e ;

г) показательная f (x) = α × β x × e и др.

Построение таких уравнений регрессии начинается с их линеаризации.

а) обозначим новые переменные z1 = x, z2 = x2, тогда новое уравнение будет линейным относительно переменных z1, z2: f (x) = α + β1z1 + β2 z2 + e . Для нахождения оценок параметров α , β1, β2 в данном уравнении используется множественный регрессионный анализ (МРА). Мы его рассмотрим позже;

б) обозначим новую переменную z = 1 , тогда новое уравнение примет вид: f (x) = α + β z + e и x

для нахождения оценок параметров α , β применим парный регрессионный анализ (см. раздел 1). Найдем уравнение yˆ = a + bz и вернемся к первоначальной переменной yˆ = a + b / x;

в) для линеаризации данной модели применим метод логарифмирования: lg y = lg(α × xβ × e) . Используя свойства логарифмов, приведем наше уравнение к следующему виду:

lg y = lgα + β lg x + lg e.

Введем новые переменные

y

′

= lg y ,

α

′

= lg

α , x

′

= lg x

′

= lg e . Тогда уравнение примет вид

, e

y

′

= α

′

+ β x

′

′

оно уже линейно, и для нахождения оценок α

′

+ e

,

, β снова применим линейный рег-

рессионный анализ. В найденном уравнении

ˆ

′

y = a '+ bx для найденных коэффициентов a , b выпол-

ним потенцирование:

a = 10a′ , b = b. Следовательно, степенное уравнение регрессии будет выгля-

деть так: y = 10

a′

× x

b

;

ˆ

г) снова применим метод логарифмирования: lg y = lg(α × xβ × e) и, используя свойства логариф-

мов, приведем его к видуlg y = lgα + β lg x + lg e.

Введем новые переменные

y

′

= lg y ,

α

′

= lgα , x

′

= lg x ,

′

e = lg e . Тогда наше уравнение примет

вид:

y

′

= α

′

+ xβ

′

′

Оно линейное, применим линейный регрессионный анализ и в полученном

+ e .

уравнении

ˆ

′

′

′

выполним потенцирование, найдя тем самым коэф-

y = a '+ b x

для коэффициентов a , b

фициенты a, b: a = 10

a′

, b = 10

b′

ˆ

= 10

a′

×10

b′x

.

для уравнения y

Формулы аппроксимации, детерминации, проверка статистической значимости коэффициентов уравнения нелинейной регрессии, вычисление прогноза и установка доверительных интервалов проходит по тем же формулам, что и для линейного анализа.

Решение типовых задач

Задача 2. Используя данные задачи 1, требуется:

1)рассчитать параметры степенной регрессии;

2)дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии;

3)оценить модель через коэффициенты корреляции, аппроксимации, детерминации;

20