Ovsyannikova_M_M_Ekonometrika

4)оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции;

5)вычислить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии;

6)выполнить прогноз годового товарооборота для строящегося нового магазина площадью

1тыс. м2. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал;

7)построить поле корреляции и линию степенной регрессии.

Решение

2.1. Рассчитать параметры степенной регрессии.

2.1.1.Открыть новый лист в том же файле, где мы рассчитывали линейную регрессию, переименовать его в Степенная и скопировать исходные данные Х и Y c первого листа.

2.1.2.Построению степенной модели y = axb предшествует линеаризация переменных. Произ-

водится это путем логарифмирования обеих частей уравнения: lg y = lg(axb ) ; lg y = lg a + b lg x . Введя новые переменные, получим линейное уравнение y′ = a′ + bx′ .

2.1.3. Теперь рядом с столбцами Х и Y введем столбцы y′ = lg y , x′ = lg x (рис. 23).

Для вычисления десятичного логарифма по переменной у встаньте в ячейку С2, далее нужно зайти в мастер функций, выбрать категорию Математические и найти там функцию LOG10. В появившемся окне сослаться на ячейку с первым значением столбика у, а именно ячейку А2, ОК. Далее вернуться в ячейку С2 и, потянув эту ячейку вниз за маркер в правом нижнем углу, скопировать данные этой ячейки на все 12 наблюдений. Аналогично посчитать десятичные логарифмы для столбца Х.

2.1.4. Затем ниже под таблицей снова выделим область 5 х 2 и проведем процедуру нахождения коэффициентов a′, b как для линейной функции, но между столбцами y′, x′ (рис. 23).

Т.е. в появившемся окне Аргументы функции в строку Значения у вводим данные столбца y′

(С2:С13), а в строку Значения х вводим данные столбца x′ (D2:D13). Строки Константа и Стат соответственно равны 1. Щелкнуть по ОК. В выделенной области появится первое значение итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите клавишу F2, а затем одновременно три клавиши CTRL, SHIFT, ENTER. В этой таблице нас будут интересовать только строки коэффициентов, их стандартных ошибок и коэффициент детерминации.

Из таблицы 5 х 2 видим, что коэффициенты a′ = 1,88143, b = 0,83753 , т.е. линейное уравнение выглядит так: y′ = 1,88143 + 0,83753x′ , но нам нужно степенное уравнение, поэтому пропотенцируем

его: yˆ = 101,88143 × x0,83753 = 76,1x0,84 .

2.2. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии.

2.2.1. Из полученного степенного уравнения yˆ = 76,1x0,84 видим, что с увеличением торговой площади на 1 % годовой товарооборот увеличивается в среднем на 0,84 %.

2.3. Оценить модель через коэффициенты корреляции, аппроксимации, детерминации.

2.3.1. Далее добавляем к основной таблице столбец yˆ и вводим в него данные, затем составляем

столбцы e, e2.

2.3.2. Как видим,

а) ∑e2 = 309,36 (в отличие от линейной функции это значение не должно совпасть с нижней

правой ячейкой таблицы 2 × 5 );

б) R2 = 0,95.

Результаты чуть ухудшились по сравнению с линейной регрессией.

2.4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции. 2.4.1. Оценим статистическую значимость найденных параметров.

Из таблицы 5 х 2 вычислим Da′ , Db , используя методические указания раздела 1.

tфакт(a′) = 1,881430,01687 = 111, 488 , tфакт(b) = 0,837530,06203 = 13,501 , tтабл = 2,23 . tфакт(a′) > tтабл , tфакт(b) > tтабл . Следовательно, оба параметра значимы.

21

Рис. 23

22

2.5. Вычислить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

2.5.1. Для расчета доверительных интервалов для найденных коэффициентов уравнения регрессии вычислим:

Da′ = 2, 23×0,01687 = 0,038 ,	Db = 2, 23× 0,06203 = 0,1383 ;
γ a′ = (1,84; 1,91) ,	γ b	= (0,69; 0,97) ;
γ a = (101,84 ; 101,91) ,	γ a	= (69,18; 81,28) .

2.6.Выполнить прогноз годового товарооборота для строящегося нового магазина площадью

1тыс. м2. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

2.6.1.В полученное уравнение yˆ = 76,1x0,84 вместо х подставим значение хp = 1 тыс.м2. Получим

yˆ p = 76,1 млн. руб. Т.е. в новом строящемся магазине площадью 1 тыс. м2 предполагается годовой

товарооборот в 76,1 млн. руб.

2.6.2. Найдем доверительные интервалы для прогноза. Вычислим среднюю стандартную ошибку прогноза с.о.( yˆ p ):

	Var(e)				1		(xp −		)2
c.o.( yˆ p ) =				+		+		x			=
			1
					n		Var(x)
		n − 2

		27,99		+	1		+	(1− 0,89)2		≈ 1,8.
			1
		10			12			0,17

Значение Var(x) = 0,17 для данной задачи такое же, как и для линейной функции. Var(e) нужно считать. Var(e) = 27,99.

Далее строится доверительный интервал: Dyˆ p = tтабл × c.o.( yˆ p ) = 2, 23×1,8 = 4 , γ yˆ p = (72,1; 80,1) .

Эти результаты говорят о том, что в новом строящемся магазине площадью 1 тыс. м2 годовой товарооборот предположительно будет находиться в пределах от 72,1 млн. руб. до 80,1 млн. руб.

Как видим, по сравнению с линейной регрессией доверительный интервал стал шире.

2.7. Построить поле корреляции и линию степенной регрессии.

Процедура построения поля корреляции и кривой степенной функции проходит так же, как и в линейной регрессии.

Задача 3. Используя данные задания 1, требуется:

1)рассчитать параметры гиперболической регрессии;

2)дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии;

3)оценить модель через коэффициенты корреляции, детерминации;

4)оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции;

5)вычислить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии;

6)выполнить прогноз годового товарооборота для строящегося нового магазина площадью

1тыс. м2. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал;

7)построить поле корреляции и линию гиперболической регрессии.

Решение

3.1. Рассчитать параметры гиперболической регрессии.

3.1.1. Открыть новый лист в том же файле, где мы рассчитывали линейную и степенную регрессии, переименовать его в Гипербола и скопировать исходные данные Х и Y c первого листа.

	3.1.2. Построению гиперболической модели yˆ = a +	b	предшествует линеаризация переменных.
		x
	Производится это путем введения новой переменной		z = 1 / x, получим линейное уравнение
	yˆ = a + bz .

3.1.3. Теперь рядом с столбцами Х и Y введем столбец z = 1 / x, затем ниже под таблицей снова выделим область 5 х 2 и проведем процедуру нахождения коэффициентов a, b как для линейной функции, но между столбцами y, z . Т.е. в появившемся окне Аргументы функции в строку

Изв_значения_у вводим данные столбца y (B3:B14), а в строку Изв_значения_х вводим данные столбца z (С2:С13), строки Константа и Стат соответственно равны 1. Щелкнуть по ОК. В выде-

23

ленной области появится первое значение итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите клавишу F2, а затем одновременно три клавиши CTRL, SHIFT, ENTER.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться по такой же схеме, как у линейной регрессии (рис. 24).

Следовательно, в нашем уравнении регрессии коэффициент а = 103,4973, а коэффициент b = –22,7109, т.е. уравнение регрессии имеет вид: yˆ = 103, 4973 − 22,7109 x .

Рис. 24

3.2. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии.

3.2.1. Дадим интерпретацию найденным коэффициентам: оценка коэффициента b = –22,7109 показывает, что с увеличением торговой площади на х тыс. м2 годовой товарооборот увеличится в среднем на 22,71091/x млн. руб. Оценка коэффициента а = 103,49735 показывает прогнозируемый уровень переменной у, когда х→ ∞ , т.е. площадь магазина можно бесконечно увеличивать, а годовой товарооборот не превысит 103,4975 млн. руб.

3.3. Оценить модель через коэффициенты корреляции, детерминации.

3.3.1.Возвращаемся к нашим первоначальным данным и добавляем столбец yˆ = a + b / x . После вычисления столбца yˆ добавляем столбец e = y – yˆ и столбец е2.

3.3.2.После того как все столбцы посчитаны, нужно знать некоторые значения, такие как:

а) ∑e2 . Это значение должно совпасть с нижним правым значением таблицы 5 х 2 – ячейкой В22. Если не совпало, то ищите ошибку в вычислениях столбцов yˆ и е;

б) коэффициент детерминации берется из таблицы 5 х 2 и равен R2 ≈ 0,77, т. е. зависимая переменная у на 77 % зависит от значений переменной х и только на 23 % от случайной составляющей. Это тоже говорит, что данная модель является наихудшей из первых двух.

Пункты 4 и 5, как и в линейном регрессионном анализе, можно рассчитать с помощью специальной таблицы Вывод итогов (рис. 25). Как ее получить, смотрите задачу 1.

24

Рис. 25

Используя данные таблицы, видим, что коэффициенты a, b значимы: tфакт (a) = 14,1 > tтабл,

tфакт (b) = −5,81 > tтабл , tтабл = 2, 23 .

Все уравнение в целом тоже значимо: Fфакт = 33,83 > Fтабл, Fтабл = 4,96 .

Доверительные интервалы для коэффициентов a, b следующие: γ a = (87,15; 119,84),

γb = (−31, 41; −14,01).

3.6.Выполнить прогноз годового товарооборота для строящегося нового магазина площадью

1тыс. м2. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал. Так как коэффициент детерминации низкий, то прогноз в данной модели будет неэффективным.

3.7.Построить поле корреляции и линию гиперболической регрессии.

Поле корреляции и кривая гиперболы строятся так же, как и в предыдущих моделях.

Задача 4. Используя данные задачи 1, требуется:

1)рассчитать параметры показательной регрессии;

2)дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии;

3)оценить модель через коэффициенты корреляции, детерминации;

4)оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции;

5)вычислить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии;

25

6)выполнить прогноз годового товарооборота для строящегося нового магазина площадью

1тыс. м2. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал;

7)построить поле корреляции и линию показательной регрессии.

Решение

4.1. Рассчитать параметры показательной регрессии.

4.1.1.Открыть новый лист в том же файле, где мы рассчитывали линейную, степенную и гиперболическую регрессии. Переименовать его в Показательная и скопировать исходные данные Х иY c первого листа.

4.1.2.Построению показательной функции yˆ = abx предшествует линеаризация переменных.

Для	этого,				как	и для степенной модели, применим метод логарифмирования: lg y = lg(ab		) ;
						ˆ	x
ˆ	= lg a + x lg b .
lg y
	Теперь введем новые переменные: y′ = lg y , a′ = lg a , b′ = lg b . Тогда наше уравнение примет
вид:	y	′	= a	′	′	и для него можно применить процедуру поиска оценок так же, как и в предыдущих
					+ b x ,

моделях, но можно иначе.

4.1.3. Для поиска оценок a, b показательного уравнения регрессии существует специальная функция.

Выделить область 5 х 2 (2 столбца, 5 строк) для вывода результатов регрессионного анализа. Находясь в левом верхнем углу области, активизировать Мастер функций f(x) .

Впоявившемся окне Мастера функций выберите в разделе Категория строку статистические, а в разделе Функция строку ЛГРФПРИБЛ. Щелкните по кнопке ОК.

Вновое окно в строку Изв_знач_у вводим данные столбца y (B3:B14), а в строку Изв_знач_х вводим данные столбца х (C3:C14), строки Константа и Стат соответственно равны 1. Щелкнуть по ОК.

Ввыделенной области появится первое значение итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите клавишу F2, а затем одновременно три клавиши CTRL, SHIFT, ENTER (рис. 26). В этой таблице нам понадобятся только значения оценок a, b показательного уравнения, их стандартные ошибки и коэффициент детерминации.

Используя данные полученной таблицы, строим уравнение показательной регрессии:

yˆ = 21,4488 ×3, 26723x , с.о.(а) = 0,11, с.о.(b) = 0,11, R2 = 0,91.

4.2. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии. Дадим интерпретацию найденным коэффициентам.

Если х = 0 (т.е. магазина нет), то годовой товарооборот составит 21,45 млн. руб. (реального смысла не имеет). Коэффициент b сам по себе в отдельности ничего не показывает (важен при расчете эластичности), только вместе с коэффициентом а он показывает, что при увеличении торговой площади на х тыс. м2 годовой товарооборот увеличивается на 21,45 ×3,27х млн. руб.

4.3. Оценить модель через коэффициенты корреляции, детерминации.

4.3.1.Возвращаемся к нашим первоначальным данным и добавляем столбец yˆ = abх . После вычисления столбца yˆ добавляем столбец e = y – yˆ и столбец е2.

4.3.2.После того как все столбцы посчитаны, нужно знать некоторые значения, такие как:

а) ∑e2 =684,4;

б) коэффициент детерминации берется из таблицы 5 х 2 и равен R2 ≈ 0,91, т. е. зависимая переменная у на 91 % зависит от значений переменной х и только на 9 % от случайной составляющей. Это тоже говорит, что данная модель является наихудшей из первых двух.

4.4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции. Оценим статистическую значимость найденных параметров.

Из таблицы 5 х 2 вычислим Da , Db , используя методические указания раздела 1:

tфакт (b) = 3, 26720,1139 = 28,68, tфакт (a) = 21,44880,111 = 193,12, tтабл = 2, 23 ; tфакт (a′) > tтабл, tфакт (b) > tтабл. Следовательно, оба параметра значимы.

26

Рис. 26

4.5. Вычислить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Для расчета доверительных интервалов вычислим:

Da = 2,23×			0,1139 = 0, 24 ,	Db = 2, 23×		0,111 = 0, 24 ;
γ a	= (21,	45 ± 0, 24),		γ b	= (3, 27 ± 0, 24);
γ a	= (21,	2;	21,7) ,	γ b	= (3,02;	3,52) .

4.6.Выполнить прогноз годового товарооборота для строящегося нового магазина площадью

1тыс. м2. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

4.6.1.В полученное уравнение yˆ = 21, 45 ×3, 27х вместо х подставим значение хp =1 тыс.м2. Полу-

чим yˆ p = 70,08 млн. руб. Т.е. используя показательное уравнение регрессии, мы пришли к выводу,

что в новом строящемся магазине площадью 1 тыс. м2 предполагается годовой товарооборот в

70,1 млн. руб.

4.6.2. Найдем доверительные интервалы для прогноза. Вычислим среднюю стандартную ошибку прогноза с.о.( yˆ p ):

	с.о.( yˆ p ) =	Var(e)
			n − 2

			1		(xp −		)2
		+		+		x			=
	1
			n		Var(x)

	62.22			+	1		+	(1 − 0,89)2		≈ 2,67 .
			1
		10			12			0,17

и построим доверительный интервал: Dyˆ p	= tтабл	, с.о.( y p ) = 2,23× 2,67 = 6, γ yˆ	p = (64,08; 76,08).
		ˆ

Эти результаты говорят о том, что в новом строящемся магазине площадью 1 тыс. м2 годовой товарооборот предположительно будет находиться в пределах от 64,08 млн. руб. до 76,08 млн. руб.

27

Как видим, по сравнению с линейной и степенной регрессиями доверительный интервал сместился влево.

4.7. Построить поле корреляции и линию показательной регрессии.

Процедура построения поля корреляции и кривой показательной функции проходит так же, как и в линейной регрессии.

Подведем итог по решенным четырем заданиям. Откроем новый лист и назовем его ИТОГ. Составим таблицу, в которую внесем найденные данные: коэффициенты детерминации, Fфакт,

∑e2 (рис. 27).

Рис. 27

Для выбора наилучшей модели сравниваем эти показатели и делаем вывод, что линейная функция является наиболее эффективной для вычисления прогноза: коэффициент детерминации самый высокий, сумма квадратов остатков наименьшая, F-значимость самая высокая. Поэтому руководитель предприятия, которое строит новый магазин площадью 1 тыс. м2, может предположить, что годовой товарооборот в новом тринадцатом магазине будет зависеть от площади магазина по линейной функции, и товарооборот в нем будет лежать в интервале γ yˆ p = (71,96; 79,55).

Пока остановимся на этом прогнозе и будем считать его наилучшим. Но вот будет ли это совпадать с действительностью в будущем, мы пока сказать не можем, так как не проверяли модели на гетероскедастичность и автокорреляцию, а их существование делает прогноз неэффективным. Эту проблему мы будем решать в следующем разделе нашей брошюры.

28

Раздел 3 ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ

Методические указания

Для того чтобы регрессионный анализ, основанный на обычном МНК, давал наилучшие из всех возможных результаты, случайный член должен удовлетворять четырем условиям, известным как условия Гаусса– Маркова:

1) математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю,

т.е. M(ei) = 0, " i;
2)	дисперсия		случайного члена должна быть постоянна для всех наблюдений, т.е.
M( e 2 ) = σ		2 , "i (величина σ		e	чаще всего неизвестна, и одной из задач регрессионного анализа яв-
i		e

ляется оценка стандартного отклонения случайного члена);

3)случайные члены должны быть абсолютно независимы друг от друга, т.е. M( ei ×e j ) = 0, i ¹ j ;

4)случайный член должен быть распределен независимо от объясняющих переменных, т.е.

M( xi ×ei ) = 0, "i .

Рассмотрим более подробно второе условие. Если оно выполняется, то говорят, что модель го-

москедастична, если же σe2	¹ σe2 ¹ σe2 , i ¹ j, то имеет место гетероскедастичность.
i	j

Почему гетероскедастичность имеет существенное значение? Это можно объяснить по крайней мере двумя причинами. Первая – при отсутствии гетероскедастичности обычные коэффициенты регрессии имеют наиболее низкую дисперсию среди всех несмещенных оценок, являющихся линейными функциями от наблюдений у. Если имеет место гетероскедастичность, то оценки МНК неэффективны, и можно найти другие, которые имеют меньшую дисперсию и тем не менее являются несмещенными. Вторая причина заключается в том, что сделанные оценки стандартных ошибок коэффициентов регрессии будут неверны, соответственно и предполагаемый прогноз будет неверным.

Как же обнаружить гетероскедастичность? Для этого существует много способов, рассмотрим самые распространенные из них.

1. Тест ранговой корреляции Спирмена

При выполнении теста ранговой корреляции Спирмена предполагается, что дисперсия случайного члена будет либо увеличиваться, либо уменьшаться по мере увеличения х, и поэтому в регрессии, оцениваемой с помощью МНК, абсолютные величины остатков и значения х будут коррелированны.

Алгоритм теста:

1.Данные по х упорядочиваются по возрастанию, каждому значению х присваивается ранг (rang x).

2.По данным столбца остатков е строится вспомогательный столбец |е| (модуль е) и также каждому значению этого столбца присваивается ранг (rang |e|).

3.Считается коэффициент ранговой корреляции:

r

=

1-

6∑Di2

,

xe

n(n2

-1)

где Di –

разность между рангом хi и рангом

ei

, т.е. Di

= rang x - rang

e

,

n –

количество наблюдений в выборке.

4. Затем найденный коэффициент ранговой корреляции проверяется на значимость. Для этого

				rxe
вычисляется статистический критерий	tфакт	=					× n - k -1			и сравнивается с tтабл, которое бе-
			1		- r2
					xe
рется из специальной таблицы «распределение					Стьюдента» и					находится на пересечении чисел

γ = 0,95 или α = 0,05 и (n – k – 1), где k – число объясняющих переменных в задаче.

Если tфакт > tтабл, то коэффициент корреляции значим, и в исследуемой модели присутствует гетероскедастичность, и наоборот.

29

2. Тест Голдфельда– Кванта

При проверке по этому критерию предполагается, что стандартное отклонение σi распределения вероятностей ei пропорционально значению х в этом наблюдении. Предполагается также, что

случайный член распределен нормально и не подвержен автокорреляции. Алгоритм теста:

1. Все n наблюдений в выборке упорядочиваются по величине х, после чего оцениваются отдельные регрессии для первых n′ и для последних n′ наблюдений; средние n − 2n′ наблюдений отбрасываются. Если предположение относительно природы гетероскедастичности верно, то дисперсия е в последних n′ наблюдениях будет значительно больше или меньше, чем в первых n′ , и это будет отражено в сумме квадратов остатков в двух указанных «частных» регрессиях. Обозначая

			′	′
	суммы квадратов остатков в регрессиях для первых n			и последних n наблюдений через Sбол и Sмал,
	рассчитаем отношение Fфакт =	Sбол	, которое имеет F-распределение (распределение Фишера: при
		Sмал
	α = 0,05 , k1 = k2 = n′ − k −1 , где k –		число объясняющих переменных в регрессионном уравнении).

Найденное Fфакт сравниваем с Fтабл. Если Fфакт > Fтабл, то в исследуемой модели присутствует гетероскедастичность, и наоборот.

3. Тесты Уайта и Глейзера

Тест ранговой корреляции Спирмена и тест Голдфельда– Кванта позволяют обнаружить лишь само наличие гетероскедастичности, но они не дают возможности проследить количественный характер зависимости дисперсий остатков регрессии от значений факторов и, следовательно, не представляют каких-либо способов устранения гетероскедастичности.

Наиболее простой и часто употребляемый тест на гетероскедастичность – тест Уайта.

При использовании этого теста предполагается, что дисперсии ошибок регрессии представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений переменной х, т.е. σi2 = f (xi) .

Идея теста Уйата заключается в оценке функции σi2 = f (xi) с помощью соответствующего уравнения регрессии для квадратов остатков: ei2 = f (xi ) = ui , где u – случайный член.

Тест Глейзера аналогичен тесту Уайта, только в качестве зависимой переменной для изучения гетероскедастичности выбирается не квадрат остатков, а их абсолютная величина, т.е. осуществля-

ется регрессия ei = α + β xiγ .

Алгоритм теста:

1. Чтобы использовать данный метод, следует оценить регрессионную зависимость у от х с помощью обычного МНК, а затем вычислить квадраты остатков е2 (для теста Уайта) и абсолютные ве-

личины остатков ei (для теста Глейзера).

2. Далее строим вспомогательные столбцы xγ для разных значений γ (чаще всего берут γ = 2,

γ= 1/2, γ = 3/2, γ = –1, γ = –2).

3.С помощью метода МНК (таблицы 5 х 2) строим всевозможные регрессии:

ei2 = a + bxiγ для теста Уайта;

ei = a + bxiγ для теста Глейзера.

Далее полученные уравнения регрессии проверяются на значимость. Для этого Fфакт по каждой модели сравнивается с Fтабл (α = 0,05, k1 = 1 , k2 = n − k −1), которое берется из таблицы распределе-

ния Фишера. Если Fфакт > Fтабл, то в исследуемой модели присутствует гетероскедастичность, и наоборот.

Решение типовых задач

Задача 5. Используя данные задач 1–4, проверить на гетероскедастичность по тесту ранговой корреляции Спирмена:

1)линейную регрессию;

2)степенную регрессию;

3)гиперболическую регрессию;

4)показательную регрессию.

30