Ovsyannikova_M_M_Ekonometrika

Рис. 43

Рис. 44

41

Рис. 45

8.2. Сделаем проверку по тесту Бреуша.

Откроем новый лист, назовем его АВТОКОР БРЕУШ. Скопируем с листа ЛИНЕЙНАЯ данные по переменной х и у.

Построим столбцы уˆ и еt , et −1 . С помощью метода МНК (таблица 5 х 2) построим регрессию между столбцами еt , et −1 . Т.е. в запрашиваемый диапазон переменной у введем значения столбца еt, а в запрашиваемый диапазон переменной х введем данные столбца et −1 . Причем вводим, начиная

только со второго значения (рис. 46).

Уравнение et = ρet −1 + vt для теста Бреуша по нашим вычислениям выглядит следующим образом: et = −0, 28et −1 + 0,41 . Проверим значимость коэффициента ρ.

Для этого составим статистический критерий: tтабл = 2,23.

Так как tфакт < tтабл, то коэффициент ρ незначим, и, следовательно, между рядами еt , et −1 нет

связи, т.е. автокорреляция отсутствует. Этот результат совпал с тестом Дарбина– Уостона. Аналогично можно проверить по тесту Бреуша показательную, степенную и гиперболические

функции. Также по этому тесту можно проверять автокорреляцию более высоких порядков.

42

Рис. 46

43

Раздел 5 МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ (МРА)

Методические указания

Множественная регрессия – уравнение связи	с	несколькими независимыми переменными:
y = f (x1, x2 , ..., xk ) , где у – зависимая переменная; x1	,	x2 , ..., xk – независимые переменные.

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции: а) линейная y = α + β1x1 + β2 x2 + ... + βn xn + ε ;

б) степенная y = α x1β1 × x2β2 ×...× xnβn ×ε ; в) показательная y = aβ1x1 +...+βn xn +ε .

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют уже известный нам метод МНК. Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

	∑ y = na + b1∑ x1 + b2 ∑ x2 + ... + bk ∑ xk
	∑ yx1 = a∑ x1 + b1∑ x12 + b2 ∑ x1x2 + + bk ∑ x1xk

...................................................................................

∑ yxk = a∑ xk + b1∑ x1xk + b2 ∑ x2 xk + ... + bk ∑ xk 2

Эта система из n + 1 уравнений с n + 1 неизвестными. Для ее решения может быть применен метод определителей (Крамера):

а =

Da

, b =

Db1

, b =

Db2

, …,

b =

Dbk

,

D

D

D

1

2

k

D

n

∑ x1

∑ x2

...

∑ xk

∑ x1

∑ x1x1

∑ x2 x1

...

∑ xk x1

где D =

∑ x2

∑ x1x2

∑ x2 x2

...

∑ xk x2

;

...... ......... ......... ... ..........

∑ xk

∑ x1xk

∑ x2 xk

...

∑ xk xk

Da, Db1, ..., Dbn - частные определители, которые получаются путем замены соответствующего

столбца матрицы системы данными левой части системы.

В частности, для двух объясняющих переменных х1 и х2 оценки a, b1, b2 находят по формулам:

a =				- b1	x1 - b2			2
		y					x
			Cov(xi , y) ×Var(x j ) - Cov(x j , y) ×Cov(x1, x2 )
	=
bi
						Var(x1) ×Var(x2 ) - Cov2 (x1, x2 )

где если i = 1, тогда j = 2 , и наоборот.

Или найти оценки коэффициентов уравнения регрессии можно с помощью матричной алгебры, для этого вводят следующие обозначения:

Y = ( y1, y2 ,...yn )Т – матрица-столбец n× 1 значений зависимой переменной в n наблюдениях;

1		x11	x21	...	xk1
	1	x12	x22	...	xk 2

Х =	1	x	x	...	x		– матрица n× (k + 1) значений объясняющих переменных;
		13	23		k 3
... ... ...				...	...
	1	x1n	x2n	...
					xkn

44

α
	β			–	матрица-столбец (k + 1) × 1 параметров;
β =		1
..
	βk
ε1
ε				–	матрица-столбец (n + 1) ×1 остатков.
ε =		2
..
εn

Тогда в матричной форме эконометрическая модель задачи множественной регрессии примет

вид: Y = X β + ε ,		а оценкой этой модели будет уравнение:					Y = XB + E , где В = (a, b1, b2, …, bk)T,
E = (e1, e2, …, en), и матрицу В находят из следующего равенства: В = (XTX)–1 XTY.
Стандартные ошибки коэффициентов bi находят по формулам:
		c.o.(b ) =		ET E		× ( X T X )−1		,
		i		n - k -1			i+1,i+1
где [( X T X )−1 ]
	–	диагональный элемент аii матрицы (ХТХ)–1 .
	i,i

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии рассчитываются t– критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их зна-

чений с величиной случайной ошибки: tфакт (bi ) =

bi

, tфакт

(a) =

a

.

c.o.(bi )

c.o.(a)

Если tфакт > tтабл, то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых параметров отклоняется, и

признается их статистическая значимость, и наоборот.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку

для каждого показа-

теля: D

a

= t

табл

×с.о.(а) , D

b

= t

табл

× с.о.(b ) .

i

i

γ a = a ± Da ,

γ b

Формулы для

расчета

доверительных

интервалов имеют следующий

вид:

= bi ± Db .

i

i

Прогнозное

значение

yp

определяется

путем

подстановки в

уравнение

регрессии

ˆ

= a + b1x1 + ... + bk xk

соответствующего прогнозного значения Xp = (1, x1p, x2p, …, x

T

. Здесь второй

y

kp)

индекс р означает первую букву слова «прогноз».

Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза c.o.( yˆ p ) :

ET E

T

T

−1

ˆ

(1 + X p

( X X ) X p )

c.o.( y p ) =

-1

n - k

истроится доверительный интервал прогноза:

γyˆ p = yˆ p ± Dˆy p ,

где Dyˆ p = tтабл ×с.о.( yˆ p ) .

Данная процедура очень трудоемка, поэтому найти оценки, а также сразу их стандартные ошибки, коэффициент детерминации и доверительные интервалы и значимость всего уравнения в целом можно с помощью ППП Excel, Mathcad. Как это сделать, рассмотрим в примерах.

На практике часто бывает необходимо сравнение влияния на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются в различных единицах. В этом случае используют стандартизированные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности:

			= b		xi			.
Э
		yx	i
					y
		i

45

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает коэффициент детерминации:

R2YX ...Xk	= 1 -	RSS	= R2	=	Var( yˆ )	, или R2	= 1-	Var(e)	.
1		TSS		Var( y)			Var( y)

Значение коэффициента детерминации лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному коэффициенту корреляции: R2 yx1...xn ³ ryxi (i = 1...n).

При добавлении объясняющей переменной к уравнению регрессии коэффициент детерминации R2 никогда не уменьшается, а обычно увеличивается, поэтому вводят скорректированный коэффи-

циент детерминации	ˆ	2	, обеспечивающий компенсацию для такого автоматического сдвига вверх
	R
путем наложения «штрафа» за увеличение числа объясняющих переменных:
			ˆ 2		n -1		2
			R	= 1-	n - k -1	(1 - R		) ,

где k – число объясняющих переменных.

В МРА может случиться так, что коррелирующими окажутся не только х и у, но и x1, x2 или x2 , x3 и т.д. В связи с этим возникает необходимость исследовать частную корреляцию между пере-

менными при исключении влияния одной или нескольких переменных.

Частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на у фактора xi при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

ryxi ×x1x2 ...xi −1xi +1...xp =	1-			1 - R2 yx x ...x ...x				p
				1	2	i				,
			1- R2 yx x ...x			x	...x
			1 2		i −1	i +1			p

где Ryx2 1x2 ...xp – коэффициент детерминации всего комплекса k факторов с результатом,

Ryx2 1x2 ...xi −1xi +1...xp – коэффициент детерминации, но без введения в модель фактора xi.

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, ryx1×x2 – коэффициент корреляции первого порядка. Коэффициенты

частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по формуле:

r	×x x ...x		= ryxi ×x1x2 ...xp −1			- ryxp ×x1x2 ...xp −1 × rxi xp ×x1x2 ...xp −1 .
yx		p						)
i	1 2		2			2
							×x1x2 ...xp −1
				(1 - ryxp	×x1x2 ...xp −1 )×(1- rxi xp

Или частную корреляцию можно считать по рекуррентной формуле, для которой сначала составляется корреляционная матрица:

1	r12	...	r1 p
	1	...
r21			r2 p
qp =		...			,
.... ....			....
r	r	...	1
p1	p2

где р = 1 + k, т.е. количество всех переменных, участвующих в задаче. Обычно за i = 1 принимают переменную у, за i = 2 переменную х1 и т.д., т. е. коэффициент корреляции r12 – это коэффициент корреляции между переменными у и х1.

Тогда частный коэффициент корреляции вычисляется так:

rij×1,2,... p\ij	= -		qij			,
			qii q jj
где qij, qii , q jj – алгебраические дополнения элементов rij ,				rii , rjj в корреляционной матрице.

В частности, для трех переменных (одной зависимой и двух объясняющих) имеем:

	1	r12	r13
q	= r	1	r	.
3	21		23
		r32	1
	r31

46

q11 = 1 − r32r23		q12 = −(r21 − r31r23)	q13 = r21r32 − r31		rij	− rik rjk
Тогда q22	= 1− r31r13	q21 = −(r12 − r13r32)	q23 = −(r32 − r31rr12) и rij×k =						.
					(1− r	2 )(1− r	2 )
q33	= 1− r21r12	q32 = −(r23 − r21r13)	q31 = r13 − r12r23		ik		jk

Решение типовых задач

Задача 9. Добавив новую переменную Х2 в задачу 1 (из раздела «Парный регрессионный анализ»), которая равна среднему числу посетителей в каждом магазине в день:

1)cоставить уравнение МРА и проверить эффективность (рациональность) введения этой новой переменной, исследовав модель по таким критериям, как коэффициент детерминации, значимость уравнения, наличие гетероскедастичности;

2)посчитать прогноз (доверительный интервал) среднегодового товарооборота для нового строящегося магазина площадью 1 тыс. м2 и предполагаемым средним числом посетителей в день, равным 110 % от среднего числа посетителей остальных магазинов.

№ магазина	Годовой товарооборот,	Торговая площадь,	Среднее число посетителей в
	млн. руб. (Y)	тыс. м2 (X1)	день, тыс. чел. (X2)
1	19,76	0,24	8,25
2	38,09	0,31	10,24
3	40,95	0,55	9,31
4	41,08	0,48	11,01
5	56,29	0,78	8,54
6	68,51	0,98	7,51
7	75,01	0,94	12,36
8	89,05	1,21	10,81
9	91,13	1,29	9,89
10	91,26	1,12	13,72
11	99,84	1,29	12,27
12	108,55	1,49	13,92

Решение

Откроем новый лист и назовем его МРА (множественный регрессионный анализ). Скопируем с листа ЛИНЕЙНАЯ данные столбцов х и y. Переменную х теперь переименуем в переменную х1. Новую переменную – численность посетителей в магазине – обозначим как переменную х2 и введем ее в новый третий столбец

(рис. 47).

Для нахождения коэффициентов регрессии используем пакет анализа данных. Для этого в главном меню выбираем:

–для EXCEL 2003: Сервис→ Анализ данных→ Регрессия.

Щелкните по ОК.

–для EXCEL 2007: Данные→ Анализ данных→ Регрессия.

Щелкните по ОК В появившемся окне Регрессия (рис. 48) в строку Входной

интервал Y вводим значения столбца со значениями переменной у, в строку Входной интервал Х вводим значения столбцов Х1 и Х2 как один массив. Напротив окна Метки ставится галочка, если значения вводились с названиями переменных. Если в уравнении предполагается наличие свободного члена, то окно Константа – ноль оставляем без галочки. Если же нужно составить уравнение регрессии без свободного члена (часто такие уравнения нужны в задачах на устранение гетероскедастичности), то в данном окне

ставим галочку. Строку уровень надежности оставляем равным	Рис. 47
95 %. В подокне Параметры вывода удобнее использовать Вы-

47

ходной интервал, т.е. напротив этой строки ставим метку, а в саму строку вводятся данные только одной единственной ячейки, начиная с которой будут выводиться результаты. Например, ячейку А20. Также удобно будет поставить галочку напротив строки Остатки, тогда в итоговой таблице будут рассчитаны значения столбцов yˆ , e (рис. 49). Нажать ОК.

Рис. 48

Рис. 49

48

Рис. 50

Как видим, с ячейки А20 выведена таблица Вывод итогов. Что она означает, можно вспомнить из раздела «Парный регрессионный анализ».

Итак, уравнение МРА имеет вид: yˆ = −10,82 + 61,66X1 + 2,27 X2 , R2 = 0,99 ,

ˆ 2 =

R 0,98 , Fфакт = 384,18.

Сравним полученные данные с результатами МРА. Для этого вспомним основные параметры моделей парного регрессионного анализа. Откроем лист ИТОГ и добавим в него данные по функции МРА.

Как видим, результаты сильно улучшились (вырос скорректированный коэффициент детерминации, уменьшилась сумма квадратов остатков, F- значимость выросла).

Проверим на гетероскедастичность функцию МРА. Это можно будет сделать по тесту Голдфельда– Кванта (при условии, что переменные х1 и х2 расположены в ранжированном порядке) или по тесту ранговой корреляции Спирмена (для каждой переменной в отдельности). В нашем примере переменные не ранжированы, поэтому тест Голдфельда– Кванта не подойдет.

Применим тест Спирмена для каждой переменной.

Построим новые столбцы yˆ , e, |e|, используя данные из таблицы ВЫВОД ИТОГОВ (с ячейки

А20), рис. 51.

Как видно из таблицы (рис. 51), tфакт < tтабл для каждой переменной. Следовательно, гетероскедастичность в данной модели МРА отсутствует.

Рис. 51

49

Рис. 52

Проверим наличие автокорреляции для множественной регрессии. Для этого применим тест Дарбина– Уотсона.

Откроем новый лист, назовем его АВТОКОР МРА. Скопируем в него с листа МРА данные столбцов: y, x1, x2, et. Построим новый столбец et– 1. Далее все проделаем по тесту Дарбина– Уотсона

(рис. 52).

Получим коэффициент Дарбина dфакт = 2,5.

Построим зоны для коэффициента d. Для этого по таблице Дарбина найдем границы для зон dн и dв. Эти числа будут на пересечении чисел k = 2 (так как в задаче уже две объясняющие перемен-

ные) и n = 12. Это числа dн = 0,95 и dв = 1,54.

Зона попадания d	Наличие автокорреляции
(0: 0,95)	Положительная автокорреляция
(0,95: 1,54)	Зона неопределенности
(1,54: 2,46)	Отсутствие автокорреляции
(2,46: 3,05)	Зона неопределенности
(3,05: 4)	Отрицательная автокорреляция

Наш коэффициент Дарбина попал в зону неопределенности, поэтому сказать о наличии автокорреляции по тесту Дарбина– Уотсона нельзя. Применим тест Бреуша.

Построим регрессию et = ρet −1 + vt . Для теста Бреуша по нашим вычислениям результат выглядит следующим образом: et = −0, 48et −1 + 0, 45 (рис. 53).

50