Ovsyannikova_M_M_Ekonometrika

Решение

5.1.1. Открыть в нашем файле лист Линейная, к имеющимся столбцам добавить столбцы e .

(Чтобы применить функцию модуль, нужно в мастере функций f(x) выбрать категорию МАТЕ-

МАТИЧЕСКИЕ, функцию ABS.)

5.1.2.Добавить новый столбец с названием rang x. В этом столбце проранжировать значения столбца с переменными х по возрастанию, т.е. самому маленькому значению х присвоить ранг 1 и т.д., самому большому значению х присвоить ранг 12.

Добавить новый столбец с названием rang |e|. В этом столбце проранжировать значения столбца

спеременными е по возрастанию, т.е. самому маленькому значению |е| присвоить ранг 1 и т.д., самому большому значению |e| присвоить ранг 12 (рис. 28).

5.1.3.Для вычисления столбца rang x, rang |e| можно воспользоваться специальной функцией.

Для этого нужно в главном меню выбрать Мастер функции f(x) → категория Статистические

→функция Ранг (рис. 29).

Впоявившемся окне (рис. 30) в строке число указать номер ячейки, которую будем ранжировать; в строке ссылка указать данные массива, среди которого будет ранжироваться число; в строке порядок поставить 1.

Далее вернуться в ячейку G2 и функцию скопировать на другие ячейки столбца. Для этого зафиксируем значения в строке ссылка через знаки «доллары».

5.1.4. Столбец I (переменная D) составим как разность столбцов G и H, столбец D2 как квадрат столбца I, и в этом столбце нас будет интересовать его сумма. Как видим, она равна 371 (рис. 31).

Рис. 28

31

Рис. 29

Рис. 30

Рис. 31

32

6∑Di2

5.1.5.

Найденную ∑ D2 = 371 подставляем в формулу rxe =

1-

и получаем, что

n(n2 -1)

rxe = 0,29.

Для

проверки

значимости данного коэффициента корреляции находим

rxe

tфакт =

×

n - k -1 = 0,98

и сравниваем его с tтабл = 2,23. Так как 0,98 < 2,23, то гетероскеда-

1

- r2

xe

стичность отсутствует.

Пункты 2, 3, 4 рассчитываются аналогично. Для степенной модели будет следующая картина (см. рис. 32), для показательной – см. рис. 33, для гиперболической модели – см. рис. 34.

Как видим, все модели гомоскедастичны.

Рис. 32

Рис. 33

33

Рис. 34

Задача 6. По данным о государственных расходах на образование, валовому внутреннему продукту разных стран составлена следующая таблица (рис. 35).

По методу Голдфельда– Кванта проверить модель на гетероскедастичность.

Решение

Наши данные уже упорядочены по переменной х, поэтому сразу будем искать частные уравнения регрессии для первых 12 стран с наименьшим ВВП и для 12 стран с наибольшим ВВП. Это делается по примеру задачи 1.

Выделим цветом первые 12 и последние 12 наблюдений. Наблюдения, попавшие в середину, просто отбрасываются. Построим таблицы 5 х 2 для первых 12 и для последних 12 наблюдений

(рис. 36).

Для нахождения Fфакт возьмем числа в последней строке второго столбца: Fфакт = Sбол Sмал. Большая сумма квадратов остатков

получилась у регрессии по последним 12 наблюдениям, поэтому будем делить ее на меньшую сумму квадратов остатков по первой регрессии.

Fфакт = 144,674, Fтабл = 2,98 (находится по таблице Фишера на пересечении чисел k1 = 10 и k2 = 10).

Как видим, Fфакт > Fтабл. Следовательно, в данной выборке присутствует гетероскедастичность.

Рис. 35

34

Рис. 36

Задача 7. Пользуясь данными задач 1–4, установить характер гетероскедастичности по методу Уайта и Глейзера.

Решение

Тест Голдфельда– Кванта позволяет только выявить наличие гетероскедастичности, поэтому если возникает необходимость найти точную функциональную форму зависимости между параметром х и остатками е, то применяют тест Уайта или Глейзера.

Предположим, что эта зависимость представлена в виде: σi = α + β xiγ и для каждого значения

γ , которое обычно берут за числа из множества	1, −1,	1	, −	1	,	3	, 2	, составляется уравнение регрес-
		2 2			2

сии между столбцами е2 (тест Уайта) или столбцом е (тест Глейзера) и новым введенным столбцом

хγ .

Открываем новый лист, называем его «ТЕСТ У. и Г. ЛИН». Вводим в него данные по нашим 12 магазинам, строим таблицу 5 х 2 для линейной функции. Строим дополнительные столбцы y, yˆ ,

e, e2, |e|.

Например, по данным задачи 1 (линейная функция), см. рис. 37.

Далее вводим вспомогательные столбцы, где переменная х возводится в различные степени: 1х ,

			1		,		, x2.
	x ,					x3
				x

Все эти столбцы закрасим разными цветами, чтобы в дальнейшем не было путаницы при вычислениях (рис. 38).

35

Рис. 37

Рис. 38

36

Построим уравнения регрессии (различные таблицы 5 х 2) для γ = −1 ,

1

, –

1

,

3

, 1, 2 (рис. 39).

2

2

Для теста Уайта ищем зависимости:

2

e2 = a + b

1

, e2 = a + b

, e2 = a + b

1

, e2 = a + b

, e2 = a + bx , e2 = a + bx2 .

x

x3

x

x

Для теста Глейзера ищем зависимости:

= a + b

1

,

= a + b

,

= a + b

1

,

= a + b

,

е

= a + bx ,

е

= a + bx2 .

е

е

x

e

e

x3

x

x

Из полученных таблиц 5 х 2, соответствующих различным значениям γ , составим общую таблицу:

Значение

Значение

Значение Fфакт

Значение

Значение

Значение

Fфакт для за-

для зависимо-

Fфакт для

Fфакт для

Fфакт для за-

Fфакт для

Тест

висимости

сти

зависимости

зависимости

висимости

зависимости

1

e2 = a + b

1

e2 = a + b

e2 = a + b x3

e2 = a + bx

e2 = a + b

e2 = a + bx2

x

x

x

Уайта

1,33

1,32

1,38

1,37

1,3

1,28

Глейзера

1,2

1,02

1,06

1,14

1,28

1,38

Fтабл = 4,96 (находим по таблице Фишера для γ = 0,95 (α = 0,05) на пересечении чисел k1 = 1 и k2 = 10). Как видим, все значения Fфакт из таблицы не превышают Fтабл. Следовательно, гетероскеда-

стичности в модели нет.

Если бы обнаружился хотя бы один показатель Fфакт > Fтабл, то в модели присутствовала бы гетероскедастичность, и выражалась бы она той зависимостью, в которой обнаружен этот наибольший

Fфакт.

Рис. 39

37

Раздел 4 АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ

Методические указания

Рассмотрим более подробно третье условие теоремы Гаусса– Маркова: случайные члены должны быть абсолютно независимы друг от друга, т.е. M( ei ×e j ) = 0, i ¹ j . Если оно не выполняется, то

говорят, что модель подвержена автокорреляции.

Как правило, автокорреляция присутствует при использовании временных рядов, и чаще всего наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения, тогда говорят об автокорреляции первого порядка.

Ситуация, когда на значении е наблюдения уt оказывает основное влияние не результат уt– 1, а более ранние значения, является достаточно редкой. Чаще всего при этом влияние носит сезонный (циклический) характер. Например, на значение уt оказывает наибольшее влияние уt–7 , если наблюдения осуществляются ежедневно и имеют недельный цикл (например, сбор в кинотеатре). В этом случае можно составить ряды наблюдений отдельно по субботам, воскресеньям и т.д., после чего сильная корреляция будет наблюдаться между соседними членами. Таким образом, отсутствие корреляции между соседними членами служит хорошим основанием считать, что корреляция отсутствует в целом, и обычный метод МНК дает адекватные и эффективные результаты.

Виды автокорреляции:

1. Положительная – характеризуется чередованием зон, где наблюдаемые значения оказываются выше объясненных, и зон, где наблюдаемые значения ниже (рис. 40).

Рис. 40

2. Отрицательная – характеризуется тем, что за положительным значением в одном наблюдении идет отрицательное в следующем.

Рис. 41

Как обнаружить автокорреляцию?

Для обнаружения автокорреляции первого порядка существует критерий ДарбинаУотсона, и определяется он следующим образом:

			T
			∑(et − et −1 )2
d	факт	=	t =2		,
			T
			∑et	2

t =1

где всевозможные значения dфакт будут принадлежать интервалу (0; 4).

Тест Дарбина– Уотсона имеет один существенный недостаток – распределение статистики d зависит не только от числа наблюдений, но и от значений объясняющих переменных xi . Это означает,

что данный тест не представляет собой статистический критерий в том смысле, что нельзя указать

38

критическую область, которая позволяла бы отвергнуть гипотезу об отсутствии корреляции, если бы оказалось, что в эту область попало наблюдаемое значение статистики d.

Однако существуют два пороговых значения dв и dн , зависящие только от числа наблюдений, числа xi , уровня значимости. Для этих значений существует специальная таблица.

Для дальнейшего исследования на автокорреляцию интервал (0; 4) разбивают на зоны, зависящие от dв и dн , и смотрят, куда попало значение d.

Зона попадания d		Наличие автокорреляции
(0,	dн )	Положительная автокорреляция
( dн , dв )		Зона неопределенности
( dв ,4 – dв )		Отсутствие автокорреляции
(4 –	dв ,4 – dн )	Зона неопределенности
(4 –	dн ,4)	Отрицательная автокорреляция

Так же, как и при гетероскедастичности, автокорреляционную модель нельзя использовать для дальнейших вычислений, поэтому автокорреляцию необходимо ликвидировать.

Возможно, это удастся сделать путем определения ответственного за нее фактора или факторов и соответствующего расширения уравнения регрессии, т.е. применить множественный регрессионный анализ (МРА). Как это сделать, рассмотрим позже.

Статистика Дарбина– Уотсона, безусловно, является наиболее важным индикатором наличия автокорреляции. Однако, как уже отмечалось, тест обладает и определенными недостатками. Это и наличие зоны неопределенности, и ограниченность результата (выявляется лишь корреляция между соседними членами). Ничего нельзя сказать и о характере автокорреляции. Это приводит к необходимости использовать также и другие тесты на наличие автокорреляции. Во всех тестах в качестве основной гипотезы Н0 фигурирует гипотеза об отсутствии автокорреляции. Например, тест Бреуша–

Годфри.

Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении et = ρet −1 + vt (где et – остатки регрессии, полученные обыч-

ным методом МНК) коэффициент ρ окажется значимо отличным от нуля.

Решение типовых задач

Задача 8. Используя данные задач 1–4, исследовать модель на автокорреляцию первого порядка.

Решение

8.1. Тест Дарбина– Уотсона

Откроем новый лист, назовем его АВТОКОР ЛИН и скопируем в него данные по переменным х и у с листа ЛИНЕЙНАЯ (рис. 42). Затем по методу МНК оценим линейную регрессию между этими переменными и построим столбцы уˆ и еt , et −1 .

Столбец et −1 строим смещением столбца et на одну ячейку вниз. Т.е. встаньте в ячейку Е3 и

скопируйте в нее значение ячейки D2, далее скопируйте ячейку E3 вниз на весь столбец до заливки. Применив формулу Дарбина– Уотсона, вычислим dфакт (для этого построим дополнительные

столбцы e	, (e − e			)2	,	e2 .
t −1		t t −1				t
						12
						∑(et − et −1 )2
Значение d		факт	= d =			t =2		=2,49.
						12
						∑et	2

t =1

По таблице Дарбина– Уотсона найдем dн = 1,08 , а dв = 1,36 . Составим зоны для статистки Дарбина– Уотсона:

39

Зона попадания d	Наличие автокорреляции
(0: 1,08)	Положительная автокорреляция
(1,08: 1,36)	Зона неопределенности
(1,36: 2,64)	Отсутствие автокорреляции
(2,64: 2,92)	Зона неопределенности
(2,92: 4)	Отрицательная автокорреляция

Видим, что наше dфакт = 2, 49 попало в зону отсутствия автокорреляции.

Аналогично для степенной, гиперболической, показательной функций откроем новые листы и сделаем проверку на автокорреляцию для этих функций по критерию Дарбина– Уотсона. Получим:

–для степенной функции (см. рис. 43) видим, что наше dфакт = 2,16 попало в зону отсутствия автокорреляции;

–для гиперболической функции (см. рис. 44) видим, что наше dфакт = 0,56 попало в зону поло-

жительной автокорреляции;

– для показательной функции (см. рис. 45) видим, что наше dфакт = 1,9 попало зону отсутствия автокорреляции.

Рис. 42

40