789

Из первой формулы следует, что скорость движения груза будет постоянной по величине, т.е. будет сохранять начальное значение. Из третьей формулы можем выразить натяжение нити

N mg cos

Подставив полученное выражение силы натяжения во вторую формулу, получим

	m	V 2		mg	sin ,
		l sin		cos

		V	lg sin2
Откуда скорость			cos	.
					ЗАДАЧА 41
При движении		поезда массы m по				участку	пути однородного		профиля сила
сопротивления движению изменяется по закону R R0 aV , где								R0 и	a -	постоянные
величины; V -	переменная скорость поезда.					Сила тяги	локомотива	изменяется		по закону
Т F0 bV ,	где F0	и b - постоянные величины ( F0 R0 ). Определить закон изменения

скорости и закон движения поезда.

Решение Примем поезд за материальную точку. Направим координату Х по направлению

движения Начало координат совпадает с начальным положением поезда.

Рис. 62

Изобразим точку в промежуточный момент времени на ее траектории. К точке приложены сила тяжести mg , движущая сила Т , сила сопротивления R и нормальная реакция

плоскости N .

Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

m	dV	(F bV ) (R		aV )
			0
	dt	0
				.

Перегруппировав слагаемые, получим

91

m	dV		(b a)V		F0 R0
	dt		m		m .

решение этого уравнения имеет вид

V C1e qt qp , где

q

a b

, p

F0 R0

m

m

Постоянная интегрирования С1

определяется из начальных условий: при t 0 ; V 0 ,

C1

F0 R0

b a .

p

F R

(

a b

)t

V

(1 e qt )

0

0

1 e

m

b a

Закон изменения скорости

q

Установившееся значение скорости (значение

скорости

через

достаточно

большой

Vуст

limV

p

F0 R0

q

b a .

промежуток времени)

t

Подставляя зависимости V=dx/dt , получим дифференциальное уравнение

dx

p

(1 e qt )dt.

.

q

После интегрирования которого

с учетом

начального условия

(

t 0

;

x

0

0

),

x

находим закон движения точки

		p		1	1 e
	x		t
		q		q

qt

.

ЗАДАЧА 42

Горизонтальная трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси Az. В трубке находится тяжелый шарик М. Найти движение шарика

относительно трубки, если в начальный момент шарик находился на расстоянии AM0 b от оси вращения, а его относительная скорость была равна нулю.

Решение

Введем подвижную ось Ах , совпадающую с осью трубки АВ. Примем шарик за материальную точку. Движение шарика вдоль трубки при условии, что трубка неподвижна, является относительным; вращательное движение шарика вместе с трубкой вокруг оси Az является переносным. Учитываем, что в рассматриваемый момент времени шарик находится на расстоянии х от оси вращения.

92

Рис. 63

На шарик действуют силы: вес

mg

и реакции стенок трубки

Nверт

и

Nгор

.

Составим уравнение относительного движения шарика

m а

m а

m а

m а

mg

N

N

кор .

отн

верт

гор

пер

пер

Поскольку

вращение трубки

происходит с

постоянной

скоростью, следовательно,

угловое ускорение 0

и поэтому

апер х 0

.

Заметим, что

а

2 х

а

2 V

sin(

V

) 2 x sin90 2 x

аотн

пер

;

кор

отн

от

.

х ;

Спроектировав уравнение на ось Ах, получим

mx m 2 x ;

или

x 2 x 0 .

Решение этого уравнения имеет вид:

x C1e t C2e t .

Относительная скорость точки x ( C1e t C2e t ).

Подставив в полученные выражения начальные условия t 0 ; x b ; x 0 , получим систему уравнений для нахождения констант интегрирования

b C1 C2

0 ( C1 C2 ) .

C C			b
	2
1		2 .
Откуда

Закон относительного движения шарика

x	b	( e t e t )
2		.

93

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ЗАДАЧА 43

Какую начальную скорость, параллельную линии наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса радиуса r , чтобы оно, катясь без проскальзывания, поднялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом ?

Коэффициент трения качения равен . Колесо считать однородным диском. Определить также ускорение оси колеса.

Решение (рис. 64)

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

nA

T T0 Ake

i 1 .

Рис. 64

Кинетическая энергия колеса в начальном положении

T 0

mV

2

J

2

3mV 2

c

c

c

2

2

4 .

J

1

mr 2

Vc

c

2

r .

Собственный момент инерции колеса равен

и его угловая скорость

На колесо действуют силы: тяжести mg , нормальная реакция плоскости N mg cos ,

трение скольжения

Fтр

и

момент

трения качения

M тр N

. Работа активных сил,

s

приложенных к колесу, с учетом того, что угол поворота колеса равен

r ,

e

nA

Ak

mgs sin (N ) mgs sin

cos

k 1

r

.

На основании указанной теоремы имеем:

3

2

3

2

mVc

mV0

mgs sin

cos

4

4

r

.

94

В верхнем положении колесо остановится, следовательно, Vc 0 и перемещение оси

колеса составит s

h

. Скорость оси колеса в начальном положении

sin

4

VС 0

gh 1

ctg

3

r

.

Дифференцируя по времени это выражение, получим

3

dV

ds

2

V

c

g sin

cos

4

c

dt

r

dt .

V

ds

c

dt )

Ускорение оси колеса (учитываем, что

dV

2g

ac

c

sin

cos

dt

3

r

.

ЗАДАЧА 44

Вагонетка для обслуживания пути двигалась по горизонтальному участку пути под действием двигателя. Масса корпуса вагонетки М=5000кг, масса каждой из двух колесных пар m=600кг, коэффициент трения качения =0.003м. Колесные пары представляют собой однородные диски радиуса r=0.3м. Какой путь пройдет вагонетка до остановки после выключения двигателя, если в момент выключения ее скорость была V0=36км/ч?

Решение Конструкция состоит из трех тел: корпуса и двух колесных пар. Корпус движется

поступательно, колесные пары – плоскопараллельно. Используем теорему об изменении кинетической энергии:

nA

T T0 Ake

i 1 .

Рис. 65

95

J			1	mr 2
	c
Собственный момент инерции каждой колесной пары		2			, угловая скорость

V

колес r (V скорость корпуса вагонетки), кинетическая энергия системы может быть выражена

MV 2

mV 2

J

2

MV 2

mV 2

mr 2

V 2

M 3m

T

2

c

2

V 2 .

2

2

2

2

2 2 r

2

2

На рассматриваемую систему действуют силы: тяжести Mg и mg , нормальные реакции

N

N

N

Mg 2mg

1

2

колесных пар

2

(в силу симметричности конструкции), моменты

трения Mтр1 Mтр 2 N1 N2 N , а также трения скольжения

Fтр1 и

Fтр2 . Работа

сил, приложенных к колесу, с учетом того, что угол поворота колеса может быть выражен

s

r ( s перемещение вагонетки), а также формулы

Ake (N1 ) (N2 ) 2 M 2m g s

nA

k 1

2

r .

или

M 3m

V 2

M 3m

V 2

(M 2m)g s

2

2

0

r

.

Поскольку в конце рассматриваемого промежутка времени вагонетка остановится,

следовательно, V 0. Поэтому после преобразований получим величину пройденного пути

1000

2

2

(5000 3 600) 0.3

36

s

(M 3m)rV0

3600

55.9м

2(M

2m)g

2 (5000 2 600) 9.81 0.03

.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

ЗАДАЧА 45

По призме Е массой m 7 кг могут двигаться тележки А и В массами m1 1кг и

m2 2 кг соответственно . Тележки связаны тросом. В начальный момент времени система находилась в состоянии покоя, а затем тележка А начинает двигаться относительно призмы вправо под действием внутренних сил. Пренебрегая потерями на трение, определить

перемещение призмы Е для момента времени t1 0.5 с, если закон относительного движения тележек s 2t2 м.

96

Рис. 66

Решение Система состоит из трех подвижных тел и все тела двигаются поступательно. На систему

тел действуют внешние силы:

тяжести

mЕ g ,

mА g и mВ g , а

также

результирующая

нормальной

реакции поверхности N .

Для решения используем

теорему об изменении

количества движения системы:

dQx

Fkxe ;

nF

dt

i 1

nF

Fkxe 0;Q

const 0

i 1

x

По

условию

задачи (все

внешние

силы

вертикальны, вначале система неподвижна,

призма Е перемещается по горизонтальной плоскости).

Qx M xc 0; xc const xcv

Выполняется закон сохранения проекции центра масс системы на ось Ох:

3

mk хk

х

х

k 1

;

c

co

3

3

3

mk

mk хk

mk хkv

k 1

k 1

k 1

С помощью этой зависимости составим выражение:

m1 x10 m2 x20 m x0

m1 (x10 sотн sпер ) m2 (x10 sотн cos60 sпер ) m(x0 sпер ),

где sотн =2t2 –закон относительного движения тележки;

sпризм = sпер –переносное перемещение тележки (перемещение призмы) Окончательно найдем

sприз	m1 m2 cos60		sотн
	m m m
	1	2	м.
При m 7 кг,		m1 1кг и m2 2 кг, и t1 0.5 с получим

97

			1 2 0.5			0.1
	sприз			2t 2
			7 1 2
					t 0.5	м.

ЗАДАЧА 46

Механизм шарнирного параллелограмма состоит из двух кривошипов О1А и О2В, а также шатуна АВ, имеющих массу m и длину l каждый. Кривошипы вращаются с постоянной угловой скоростью . Определить сумму горизонтальных составляющих реакций шарниров О1 и О2 в функции угла .

Решение Система состоит из трех подвижных тел, два из которых двигаются вращательно, а одно

– поступательно. На систему тел действуют внешние силы: тяжести mg , а также

составляющие реакций неподвижных шарниров Х О1 , YО1 , ХО2 , YО2 . По теореме о движении центра масс системы в проекции на ось Х

Рис. 67

nF

M хc Fkeх

i 1 ,

где М=3m и Fkx =X01 + X02 .

Горизонтальная координата центра масс равна:

3

mk

хk

х

k 1

c

3m

l

l

l

m

cos m l cos

m l cos l

cos

2

2

2

l

2cos

3m

3

Дифференцируя это выражение по времени t , с учетом t , получим

3

. 2

98

х			2l		( sin )			2l		sin
	c
		3					3
				2l			2l 2
х						cos			cos
	c			3			3

Сумма горизонтальных составляющих реакций шарниров равна:

				2l 2
	Х О1 Х О 2	3m
				3

	2ml 2	cos
cos
		.

ЗАДАЧА 47

Тонкий однородный стержень ОА массы m и длины l может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О. В начальный момент стержень отведен в горизонтальное положение и

отпущен без начальной скорости. Определить реакцию оси О при повороте стержня ОА на угол

30 .

Решение. (рис. 68)

Рис. 68

К стержню приложена сила тяжести mg , а также составляющая реакции шарнира О вдоль осей координат Х О , YО .

Используем теорему о движении центра масс в проекциях на оси координат

m х		e
c		F k x	m хc XO
		e	m y Y mg
m yc		F k y
				c O

Составляющие реакции оси О определяются по формулам:

X O m хc

Y mg m y .

O c

99

Координаты центра масс стержня

x

l

cos

y

l

sin

c

c

2

и

2

.

При дифференцировании получим

x

l

sin

y

l

cos

c

c

2

2

x

l

cos 2

l

sin

y

l

sin 2

l

cos

c

2

2

c

2

2

.

При 30 , sin =0,5;. cos =0,5 3;

2

2

3g sin

1.5

g

3g cos

0.75

g

3

l

l

,

2l

l

Приходим к окончательному результату

X O m хc 0.974mg

YO mg m yc 0.8125mg .

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

ЗАДАЧА 48

Тонкий однородный стержень массы m и длиной OA l может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О . В начальный момент времени стержень отведен в горизонтальное положение и отпущен без начальной скорости. Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня, когда он повернется на угол .

Решение По теореме об изменении кинетического момента системы составим дифференциальное

уравнение вращательного движения стержня вокруг оси О.

J	d	mg	l	cos
	dt	2			.

Учитывая, что момент инерции стержня равен:

J ml 2

3 ,

получим

d 3g cos dt 2l

Воспользуемся подстановкой,

		d		d		d		d
		dt		d dt				d

100