789

V 2 Rg cos						.
Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
											mV 2		mV		2	mgR(1 cos ) .
T T0 Aek ; .														0
										2				2
Из этого уравнения получим V 2 V0														2 2gR(1 cos ) .
Искомое положение шарика, когда он покинет купол
2				V		2
cos			0
	3		3Rg .
Отрыв шарика от купола произойдет при угле :
			2					V 2
arccos							0
			3				3Rg
										.

Шарик сойдет с купола верхней точке ( 0 и cos 1),при начальной скорости:
V 2 Rg cos gR		.
	V0 V
Итак, если			gR	, то шарик сойдет с купола в верхней точке.
				ЗАДАЧА 57

Однородный стержень АВ длиной l и массой m, закрепленный шарнирно на валу ОО1, вращается вокруг оси Оy с постоянной угловой скоростью ω. Стержень удерживается под углом α к вертикали при помощи горизонтальной тяги ВД . Найти реакции шарниров А и В.

Рис. 80

Решение

111

Применим для решения задачи принцип Даламбера. Приложим к стержню силу тяжести

mg , составляющие реакции	Х А	и У А шарнира А вдоль осей координат, реакцию ХВ
шарнира В.

Рис. 81

Силы инерции точек стержня заменим равнодействующей нормальной силой инерции

Ф

Rn

RФ man m 2		l	sin ;
n	c	2
, приложенной в точке К, причем

.

Получена уравновешенная в любой момент времени система сил

(mg, X	A	,Y		A	, X	B	, RФ )	∞ 0,
							n
an 2		l	sin
c		2				– нормальное ускорение центра масс стержня (точки С); АС = СВ.

Условия мгновенного динамического равновесия стержня имеют вид:

X A X B RnФ 0;

YA mg 0;

X Bl cos RnФ ( 23 l cos ) mg(12 l sin ).

Из составленной системы уравнений, с учетом значения силы RФ , последовательно

n

находим:

X B 12 mgtg 13 m 2l sin ;

YA mg;

X A 12 mgtg 16 m 2l sin .

ЗАДАЧА 58

112

Однородный гладкий диск массы m и радиуса r установлен между валом ОО1 и стержнем АВ, прикрепленным к нему под углом φ. Стержень и вал вращаются с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Оу (рис. 27). Определить давление диска на стержень и вал.

Рис. 82

Решение Воспользуемся принципом Даламбера.

Рис. 83

Приложим к диску силу тяжести mg , реакцию вала NЕ и реакцию стержня				S Д , а
также равнодействующую нормальную силу инерции			RФ
			n всех точек диска, причем
RФ man m 2 R		,
n	c

где acn 2 R – нормальное ускорение центра масс диска (точки С).

Ф

Сходящаяся система сил (mg, NE , S Д , Rn ) является уравновешенной в любой момент времени.

113

Составим уравнения мгновенного динамического равновесия диска (указанной выше сходящихся системы сил):

Fkx Фkx 0;

NE RnФ S Д cos 0;

Fky Фky 0;

mg S Д sin 0

.

RФ

Из этой системы уравнений с учетом значения силы

n находим:

S

mg

;

N

mg cos

m 2 R

Д

E

sin

sin

.

Давление диска на стержень и вал в точках В и Д равны соответствующим реакциям

стержня и вала

QД S Д ;

PE NE .

ЗАДАЧА 59

Груз массой m поднимается на тросе, навитом на барабан с горизонтальной осью вращения. Определить ускорение груза. Масса барабана равна m ; барабан считать однородным цилиндром. Трением в подшипниках вала барабана, массами вала и троса пренебречь.

Рис. 84

Решение

Для решения использetv общее уравнение динамики.

Принимаем, что ускорение груза равно a , а его возможное перемещение s . Тогда

			a			s
	угловое ускорение барабана		R , а его возможное угловое перемещение			R .

114

Рис. 85

К грузу и барабану приложим силы веса mg и m1g , силу инерции груза Ф ma и момент сил инерции:

M ф J	mR2		a		mRa
о	2		R	2 .

Из общего уравнения динамики, получим

( mg Ф ) s M оф 0

или после преобразований получим

a 2mg m1 2m .

ЗАДАЧА 60

Три одинаковых ролика массой m1 и радиусом r каждый перемещают горизонтальную плиту массой m . Ко всем роликам приложены равные вращающие моменты M . Определить ускорение плиты при условии, что она движется по роликам без проскальзывания. Ролики считать сплошными однородными цилиндрами.

Рис. 86

Решение Для решения будем использовать общее уравнение динамики.

115

Принимаем, что ускорение плиты равно a , а ее возможное перемещение s . Тогда

			a			s
			r , а его возможное угловое перемещение			r .
	угловое ускорение каждого ролика

Рис. 87

К плите и роликам приложим силы и пары сил: вес mg и m1g , вращающие моменты M , силу инерции плиты Ф ma и моменты сил инерции роликов

M ф J

m r 2

a

m ra

1

1

о

2

r

2

Для данной системы имеем общее уравнение динамики

Ф s 3( M M ф ) 0

,

о

откуда ma s 3( M

m1ra s

0 .

) r

2

3M

3m

m

1

a

Далее получаем

r

2

.

a

6 M

Откуда

( 3m 2m )r

.

1

ЗАДАЧА 61

Груз А массой m1, опускаясь вниз, приводит в движение цилиндрический каток В массой m и радиусом R при помощи нити, намотанной на каток. Определить ускорение груза,

если коэффициент трения качения равен , а каток катится без проскальзывания. Массой блока Д пренебречь.

Рис. 88

116

Решение Для решения будем использовать общее уравнение динамики.

Рис. 89

Принимаем, что ускорение груза равно a1 , а его возможное перемещение s1. Тогда

а

с

а1

s

с

s1

ускорение центра

масс

катка

2 ,

его возможное

перемещение

2

,

угловое

a1

s1

, а его возможное угловое перемещение 2R .

ускорение катка -

2R

К грузу и катку приложим силы и пары сил: вес

mg и m1g ,

нормальную реакцию

поверхности

N mg ,

силу

трения

Fтр , момент

сопротивлению

качению

катка

M кат N mg ,

Ф1 ma1,

Фc mac

mа1

2 и

силу инерции груза

силу инерции катка

M ф

J

mR2

a

mRa

1

с

1

с

2

2R

4 .

инерционный момент катка, который можно выразить

Общее уравнение динамики имеет вид

(m g Ф ) s Ф s (M

M ф ) 0

;

1

1

1

с

с

кат

с

( m g m a

) s

mа1

s1

( mg

mRa1

) s1

0

1

1

1

1

2

2

4

2R

.

Преобразуя последнее уравнение, получим выражение для ускорения груза

mg

m

m

m g

m

а

2R

4

8

1

1

1

.

117

а1		4( 2m1R m )			g
		R( 8m1	3m ) .
						ЗАДАЧА 62
Постоянный вращающий момент						Мвр	приложен к барабану лебедки радиуса r и массы

m. К концу А троса прикреплен груз массы m1, который поднимается по наклонной плоскости с углом α . Определить ускорение груза, пренебрегая трением между грузом и наклонной плоскостью. Барабан лебедки считать однородным круглым цилиндром.

			Рис. 90
Решение
				Мвр –
На рисунке (рис.36) mg	,	m1g	– силы тяжести барабана лебедки и груза;
			Ф

вращающий момент; Ф – сила инерции груза; M о – момент сил инерции точек барабана; δs – возможное перемещение груза; δφ – возможное угловое перемещение барабана.

Рис. 91

На основании общего уравнения динамики имеем

(Mвр MоФ ) (m1g sin Ф) s 0 .

Воспользуемся зависимостями:

118

s R ;	Ф m1a;					a R;
M Ф J	mR2		a		1	maR;	J			mR2	,
								o
о o	2		R		2				2

где a – ускорение груза; ε – угловое ускорение барабана; Jo – момент инерции барабана относительно оси вращения.

С учетом указанных выше зависимостей находим ускорение груза

a M вр m1gRsin (m1 12 m)R

ЗАДАЧА 63

К зубчатой рейке массы m приложена сила Т. Рейка приводит в движение зубчатое колесо радиуса r и массы m1, к которому приложен момент сопротивления Мс. Определить угловое ускорение колеса, считая его однородным диском.

Рис. 92

Решение Рейка совершает поступательное движение с ускорением

вращательное движение с угловым ускорением ε.

Приложим к звеньям механизма силы mg , m1g , Ф и моменты

a, зубчатое колесо –

МM Ф

си о .

Рис. 93

При сообщении рейке возможного поступательного перемещения δs, колесо получит возможное вращательное перемещение δφ.

Общее уравнение динамики имеет вид

119

(T Ф) s (M

c

M Ф ) 0

.

o

Имеют место следующие зависимости:

s r ;

a a

A

a

r;

Ф m a m r;

B

1

1

M Ф J

mr 2

;

J

mr 2

,

o

о

o

2

2

где a – ускорение рейки; ε – угловое ускорение колеса; Jo – момент инерции колеса относительно оси вращения

Используя указанные выше зависимости, определяем угловое ускорение колеса

	T		M c
			r
	(m		1	m)r
	1	2 .

ЗАДАЧА 63

Центробежный регулятор вращается в установившемся режиме вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . Определить угол отклонения стержней СА и СВ от

вертикали, принимая во внимание только массу m каждого из шаров А и В, а также массу m1 муфты С. Все стержни имеют одинаковую длину.

Рис. 94

Решение Для решения воспользуемся общим уравнением динамики.

Приложим к системе силы тяжести mg и m1g , силы инерции шаров:

ФАn ФВ n m 2l sin .

120