789

рис. 49

Найдем абсолютную и переносную скорости точки А: v OAOA 4 0,2 0,8мс1,

v cos30o 0,4

0,693мс1

v

пер

3

.

Угловая скорость кулисы

О В

vпер

vпер

v cos30o

v

2c1

О А

2ОАсоs30o

2OAcos30o

2OA

1

.

1

Найдем относительную скорость точки А: vотн vsin30o 0,8 0,5 0,4мс1

ЗАДАЧА 32

Точка М равномерно движется по образующей кругового конуса с осью ОА от вершины

к основанию с относительной скоростью VOTH ; угол МОА . В момент t0 = 0 расстояние ОМ0 = b. Конус равномерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Решение Движение точки М по образующей конуса, считая конус неподвижным, является

относительным. Движение точки М вместе с конусом во вращательном движении является переносным.

Находим положение точки М на конце в момент времени t S = ОМ = b + Vотнt; ОМ0 = b;

О'М = ОМ·sinα = (b + Vотнt) sinα.

Абсолютная скорость точки М

V

VOTH VПЕР .

Vотн – известно по условию задачи;

V

VOTH2 VПЕР2

Vпер = ω О'М = ω (b + Vотн t) sinα.

;

V

V

ПЕР .

OTH

81

рис. 50

Абсолютное ускорение точки М

а а

а n

a

а n

a

;

ОТН

ОТН

ПЕР

ПЕР

КОР

а

dV

0

n

VOTH2

0

OTH

аОТН

ОТН

dt

(Vотн = соnst);

;

aПЕР

О М 0

;

ε = 0

(ω = соnst);

n

2

2

b

VOTH t sin

аПЕР

О М

.

Ускорение Кориолиса

aКОР 2

OTH ,

V

2 V

sin

2 V

sin

a

,^ V

где

.

КОР

OTH

OTH

OTH

а

(аПЕРn

)2 аКОР2

;

а n

a

КОР .

ПЕР

ЗАДАЧА 33

Магистраль южных железных дорог к северу от Мелитополя идет прямо по меридиану. Тепловоз движется со скоростью V = 90 [км/ч] на север; широта места φ = 47˚ .Найти кориолисово ускорение тепловоза.

Решение Точка (тепловоз) М совершает сложное движение. Движение точки М по поверхности

Земли (по меридиану), считая Землю неподвижной, является относительным. Движение точки М во вращательном движении вместе с Землей вокруг ее оси NS является переносным.

Относительная скорость точки М

Vотн = 90 [км/ч] = 25 [м/с] = 2500 [см/с].

Угловая скорость вращения Земли

82

		2		0,727 10 4
		3600
24				[с -1].

рис. 51

Ускорение Кориолиса точки М (тепловоза)

аКОР 2

ПЕР V

ПЕР

.

OTH ;

2 V

sin

2 V

sin 2 0,727 10 4 2500 0,7314 0,266

а

,^ V

КОР

ПЕР

OTH

OTH

акор=0,266[см/с2];

sinφ = sin47˚ = 0,7314.

ЗАДАЧА 34

Платформа

с

установленным на ней электромотором движется по горизонтальному

участку

пути со

скоростью

v v

пл

8мс1

. Ротор электромотора радиусом R = 0,1 м

вращается с угловой скоростью ω = 80с-1. Определить скорость точки М ротора в указанном положении.

83

рис. 52

Решение Точка М ротора электромотора совершает сложное движение. Движение точки М по

окружности радиуса R, считая платформу неподвижной, является относительным. Движение точки М вместе с платформой (как будто точка М соединена с платформой), является переносным.

										рис. 53
v			R 80 0,1 8мс					1		ОМ
									v		;
	отн							,	отн
				v	пер	v	пл	8мс1		.
Абсолютная скорость точки М:
v		vотн vпер .

При проектировании этой формулы на оси координат, получаем: vx vпер vотн sin30o 8 8 0,5 4мс1;

vy vотн cos30o 8 0,866 6,93мс1.

Остается найти величину абсолютной скорости точки М:

84

					8мс1
v v2		v2		42 6,932
	x	y			.

ЗАДАЧА 35

Пассажирский поезд движется по горизонтальному участку пути со скоростью v 54км / ч . Отвесно падающий дождь оставляет на оконных стеклах вагона полосы под углом 600 к вертикали . Найти скорость падения дождевых капель.

рис. 54

Решение Найдем составные части сложного движения точки М (капли дождя).

Абсолютным движением капли дождя является вертикальное падение (без учета ветра). Движение капли дождя по оконному стеклу вагона, считая вагон неподвижным, является

относительным. Движение капли дождя вместе с оконным стеклом является переносным.

рис. 55

Переносная скорость капли дождя равна скорости поезда:

vпер v 54км / ч 15м / с .

Абсолютная скорость этой капли :

v	vотн vпер ,

причем

85

v vпер tg30o 15 0,577 8,66мс 1 ;

v			v		8,66	17,32мс 1 .
	отн		sin 30o
				0,5

ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ЗАДАЧА 36

Точка массы m движется в плоскости Оху согласно уравнениям:

x asin t; y bcos t .

Найти силу, действующую на точку.

Решение

Найдем траекторию точки. Исключив время t из уравнений ее движения. Получим

	x2		y 2	1
	a2		b2
				.

Траекторией точки М является эллипс с полуосями a и b .

Рис. 56

При t=0 х0 = 0 и у0 = b. Точка движется по эллипсу по часовой стрелке.

Проекции приложенной к точке силы F на оси координат:

Fx mx ma 2 sin t m 2 x; Fy my mb 2 cos t m 2 y.

Проекции радиус-вектора r									точки М на оси координат и длина этого вектора равны:
rx x;		ry y;
							r r (x, y);
r r 2		r 2 x2			y2 .
	x	y
Далее получаем:
F m 2r ;					F	y	m 2r ;			F m 2r;
x		x							y
			F	m 2r.

86

Сила F направлена к точке О и еѐ величина пропорциональна расстоянию от начала координат до точки приложения этой силы.

ЗАДАЧА 37

Груз М массы m = 0,102 кг, подвешенный на нити длиной ОМ= l = 0,3 м в точке О, представляет собой конический маятник, то есть описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол α = 60о .

Рис. 57

Определить скорость v груза и натяжение T нити.

Решение

Будем считать груз материальной точкой. Приложим к точке М силу тяжести mg и

натяжение нити T .

Рис. 58

Построим подвижную естественную систему координат Мτnb. Суммы проекций приложенных к точке сил на указанные оси :

a

dv

;

a

v2

v2

;

a

0.

n

b

dt

r

l sin

87

Составим дифференциальные уравнения движения точки в подвижной естественной системе координат:

	m	dv	0;	m	v2	T sin ;	0 T cos mg.
		dt			l sin
	Из системы уравнений находим:

	v const;	T	mg	;	v	gl	sin2
			cos				cos .
	С учетом исходных данных получаем:
	T 2H;	v 2,1мс1
			.

ЗАДАЧА 38

Тело спускается по наклонной плоскости, расположенной под углом к горизонту. В

начальный момент тело имело скорость V0 . Найти уравнение движения тела, если коэффициент трения равен f .

Решение Примем тело за материальную точку М . Начало координат поместим в начальное

положение материальной точки. Ось Х направим вдоль наклонной плоскости в сторону движения точки, а ось Y – перпендикулярно плоскости.

Рис. 59

Приложим к точке силу тяжести mg , нормальную реакцию плоскости N и силу трения

Fтр . Составляем уравнения движения точки

mx mg sin Fтр my N mg cos

Поскольку движение точки происходит только вдоль оси Х, то y 0 и из второго

уравнения следует, что N mg cos .

Сила трения не обеспечивает точке состояние покоя (точка движется), сила трения имеет предельное значение Fтр fN fmg cos .

Итак, уравнение движения точки имеет вид

88

m x mg sin fmg cos mg(sin f cos )

Правая

часть

уравнения

движения является

постоянной величиной, учитывая, что

F0 mg(sin f cos ) и x0

0 , после интегрирования получим

x

g(sin f cos )

t 2

V t

2

0 .

ЗАДАЧА 39

Материальная

точка массой

m движется

прямолинейно под действием силы

F F0 cos t

(

F0

и

- постоянные величины). Пренебрегая весом, определить скорость и

t1

2 , если она в начальный момент находилась в

положение точки в момент времени

начале координат и ее скорость была равна V0 .

Решение Точка движется прямолинейно, поэтому достаточно одной оси координат. Направим ось

Х вдоль траектории точки. Изобразим точку в промежуточном положении на ее траектории. Приложим к точке силу F (вес точки и реакции связей отсутствуют).

Рис. 60

Составим уравнение движения точки

mx F0 cos t

Скорость точки :

V x	1	F0 cos tdt	F0	sin t C1
	m		m
					.
Подставляя начальные условия				t 0 ;	V V0 с учетом того, что	sin0 0 , получим

C1 V0 .

Закон движения точки:

F0

x V ( t )dt

m

Подставляя начальные

C2 F0 2

m .

	sin t V			F
		dt		0
				m 2
	0
	условия t 0 ;		x 0 с

cos t V0t C2

.

учетом того, что cos0 1, получим

89

t1

2

Находим для момента времени

V

F0

sin

V

F0

sin V

F0

V

m

2

0

m

2

0

m

0

-

;

x

F0

cos

V

F0

V

F0

-

m 2

2

0 2

m 2

0 2

m 2 .

ЗАДАЧА 40

Груз массы m подвешен на нити длиной l . В начальный момент времени груз отклонили в сторону (нить натянута) и сообщили ему горизонтальную скорость, перпендикулярную нити. Найти величину скорости груза и натяжение нити, если нить составляет с вертикалью постоянный угол .

Решение

Будем считать груз материальной точкой. Приложим к грузу силу тяжести mg и натяжение нити N .

Рис. 61

Как следует из условия задачи, при движении груза нить описывает коническую поверхность, траекторией груза является окружность с центром в точке В и радиусом АВ=

l sin . Если известна траектория, воспользуемся естественной системой координат (τ, η, β ) и уравнениями движения в естественной форме

				0
	mV
				V 2
	m				N sin
			l sin
		N cos mg
	0

90