Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

			x	n
4)	ln(1 x) ( 1)n 1				;
		n 1	n
5)	(1 x)			, C n ( 1)...( (n 1)) .
		1 C n x n

n 1	n!

Приклади

1. Знайти радіус збіжності степеневого ряду та дослідити його поведінку на границі інтервалу збіжності:

								1 3x 32 x 2 33 x 3 ...		3n 1 x n 1 ...
Розв’язок.
			an 1					3n
L Lim							Lim		3;
								3n 1
	n			a		n	n
R	1			1	.
	L		3

Ряд збіжний абсолютно для усіх значень 13 x 13

Дослідити поведінку ряду на границі інтервалу збіжності x 13 .

Підставимо в поданий ряд x

1

, маємо: 1-1+1-1+… цей ряд розбіжний,

3

тому що не виконується необхідна умова збіжності ряду lim un

0.

n

Тепер підставимо в поданий ряд x

1

, маємо: 1+1+1+1+… оскільки не

3

виконується необхідна умова збіжності, цей ряд також розбіжний.

Завдання

Визначити, які знакозмінні ряди збігаються абсолютно,

умовно або

розбігаються:

( 1)n

( 1)n

В. 1

;

2.

.

n 1

2n 1

n 1

(n 1)!

( 1)n n

( 1)n

В. 2

;

2.

.

2n3 1

n 1

n 2 n ln n

( 1)

n

B. 3

( 1)n tg

;

2.

.

(n 1)3

n 1

n 2

n 1

Степеневі ряди

1. Знайти область збіжності степеневих рядів

В 1. 10x 100x2

... 10n xn ....

В 2. x

x2

x3

...

xn

....

10n 1

20

30

n

В 3. 1 x 2!x2 ... n!xn ....

В 4.

1 2x2 4x4

... 2n 1 x2(n 1) ....

2. Розкласти задані функції по степенях х за допомогою формули Маклорена:

170

В 1.

f (x)

ex 1

, В 2. f (x) sin

x

, В 3.

f (x) sin 2 x

x

2

В 4.

f (x) x ln(1 x2 )

, В 5. f (x)

1 x2 ,

В 6. f (x) 3 8 x3

Питання для самоконтролю

1.Сформулювати та довести такі достатні ознаки збіжності: ознаки порівняння, граничну ознаку порівняння; ознаки Д’Аламбера і Коші; інтегральну ознаку Коші. Для яких рядів застосовані ці ознаки?

2.Сформулювати та довести ознаку Лейбниця. Для якого ряду застосована ця ознака?

3.У чому полягає наслідок із ознаки Лейбниця?

4.Сформулювати та довести достатню ознаку збіжності знакозмінного

ряду.

5.Дайте визначення степеневого ряду.

6.Сформулюйте теорему збіжності степеневого ряду (теорема Абеля)

7.Як знайти радіус збіжності степеневого ряду.

8.Які властивості степеневого ряду?

9.Теорема про єдиність розкладу функцій в степеневі ряди.

Рекомендована література [1,2,4]

Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки

План заняття

1.Формула нарощування за простими процентами.

2.Формула нарощування за складними відсотками.

3.Дисконтування та облік.

4.Номінальна і ефективна ставки процентів.

5.Нарахування процентів в умовах інфляції.

6.Фінансові ренти.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість опанувати прості і складні відсотки у фінансових розрахунках, вивчити поняття необхідної відсоткової ставки, дисконтування, неперервних відсотків. Зокрема, еквівалентність простих і складних відсотків, розрахунок номінальної ставки і ставки ефективності.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Формула нарощування за простими процентами Під нарощеною сумою суди 9боргу, депозиту) розуміють її початкову

суму разом із нарахованими на неї відсотками к кінцю строку. Нехай P - початкова сума грошей, i - ставка простих процентів, тоді формула нарощування за простими процентами за n періодів запишеться у вигляді:

171

S P(1 ni) .

Процентні ставки не залишаються незмінними в часі, тому в кредитних угодах іноді передбачають дискретно змінні в часі процентні ставки. В цьому випадку формула розрахунку нарощеної суми має вигляд:

m

S P(1 ntit ) ,

t 1

де P - початкова сума грошей, it - ставка простих процентів в періоді з номером t 1, m , n - тривалість t періоду нарахування за ставкою it .

Дисконтування та облік На практиці часто доводиться розв’язувати задачу, обернену

нарощуванню відсотків, коли по заданій сумі S , що відповідає кінцю фінансової операції, потрібно знайти початкову суму P , цей розрахунок називають дисконтуванням суми S . Проценти у вигляді різниці D S P називаються дисконтом, або знижкою. Процес нарахування або утримання процентів наперед називають обліком.

Формула дисконтування:

P S(1 in) ,

де вираз 1(1 in) називається дисконтним множником.

При розрахунку процентів при обліку векселів застосовується облікова

ставка, яку позначають d .
Проста річна облікова ставка знаходиться за формулою	d (S P)Sn .
Розмір дисконту, або облік, що утримується банком,	D Snd .
Складні проценти

Формула нарощування за складними процентами Складні проценти застосовуються в довгострокових фінансово-кредитних

операціях, якщо проценти на сплачуються періодично відразу після їх нарахування за минувший період часу, а додаються до суми боргу. Приєднання нарахованих процентів до суми, яка була базовою для їх нарахування, називають капіталізацією процентів. Нехай початкова сума боргу дорівнює P , S - нарощена сума, i - річна ставка складних процентів; n - термін суди, тоді

S P(1 i)n .

Втому випадку, коли ставка складних процентів змінюється в часі, формула нарощування набуває вигляду:

S P(1 i1 )n1 (1 i2 )n2 .....(1 ik )nk ,

де i1,i2 ,...,ik - послідовність значень ставок процентів, що діють в періоди n1, n2 ,..., nk відповідно.

Номінальна та ефективна ставки процентів та їх облік Означення. Нехай річна ставка складних відсотків дорівнює j , а число

періодів нарахування протягом ріку m . Тоді щоразу проценти нараховуються за ставкою j m . Ставка j називається номінальною. Нарахування процентів за номінальною ставкою відбувається за формулою

SP(1 j m)S ,

172

N mn .

де N - кількість періодів нарахування,

Означення. Ефективна ставка показує, яка річна ставка складних процентів дає той самий фінансовий результат, що і m - разове нарощування в рік за ставкою j m .

Якщо проценти капіталізуються m раз на рік, кожного разу за ставкою j m , то можна записати рівність для відповідних множників нарощування:

(1 ie )n (1 j m)mn ,

де ie - ефективна ставка, а j - номінальна ставка. Звідси отримаємо, що зв’язок між ефективною і номінальною ставками виражається співвідношенням

ie (1 j m)m 1.

Нарахування процентів в умовах інфляції Нарахування за простими процентами

Якщо нарощення за n років сума грошей складає S , а індекс цін дорівнює JP , то реально нарощена сума грошей з урахуванням їх покупної

спроможності складає C S J P .

Нехай очікуваний середній річний темп інфляції дорівнює h . Тоді річний індекс цін складає (1 h) .

Якщо нарощування відбувається за простою ставкою протягом n років, то реальне нарощування при темпі інфляції h складає C P(1 ni)JP ,

n
де в загальному випадку J P (1 ht ) .
t 1
Нарахування за складними процентами
Нарощення за складними процентами сума до кінця строку суди з
урахуванням падіння покупної спроможності грошей складає
C P(1 i)n	J	,
		P
n
де індекс цін визначається виразом J P (1 ht ) . В цьому випадку падіння
t 1

покупної спроможності грошей компенсується при ставці i h , яка забезпечує рівність C P .

Фінансові ренти Означення. Потік платежів, всі члени якого додатні величини, а часові

інтервали постійні, називають фінансовою рентою.

Нехай наприкінці кожного року протягом n років на розрахунковий рахунок вноситься по R грошових одиниць, проценти нараховуються один раз на рік за ставкою i . Наприкінці строку ренти її нарощена сума буде дорівнювати:

S R (1 i)n 1 . i

Знайдемо нарощену суму за умови, що рента сплачується p раз на рік рівними платежами, а проценти нараховуються один раз наприкінці року.

173

Якщо R - річна сума платежів, то розмір окремого платежу дорівнює R p . Тоді нарощена сума обчислюється за формулою:

(1 i)n 1 . S R p (1 i)1| p 1

Приклади

1.Нехай фірмою взято в банку кредит у розмірі 100 тис. грн. на строк 3 роки. Річна декурсивна ставка відсотків – 14%. Обчислити за формулою розрахунку простих відсотків суму відсоткових грошей та кінцеву суму боргу.

Розв'язок. Річна плата за кредит складає 14% від суми кредиту, тобто 14 тис. грн. Оскільки розраховуються прості відсотки при сталій базі нарахування (100 тис. грн.), щороку нараховується однакова сума (14 тис. грн.). За три роки плата за кредит складе 14*3=42 (тис. грн.). Кінцева сума боргу включає початкову суму боргу та плату за користування грошима: 100+ 42=142 (тис. грн.).

2.Нарощена сума грошей склала 6 тис. грн., декурсивна відсоткова ставка

–4% річних, строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими та складними відсотками.

Розв'язок. Початкова сума грошей за простими відсотками дорівнює:

P0			S			6	3.3	тис. грн.
			in			1 20 * 4
	1

Початкова сума грошей за складними відсотками дорівнює:

	P0			S		6	2.7	тис. грн.
			1	i n		1 0.04 20

Завдання

1.Фірмою взято кредит розміром 100 тис. грн. на рік. За умовою контракту відсотки нараховують щокварталу. Щоквартальна декурсивна відсоткова ставка півроку становить 3%, а кожного наступного кварталу збільшується на 1 пункт. Яку величину відсоткових грошей та кінцеву суму боргу повинна повернути фірма після завершення строку позики?

2.Нарощена сума склала 6 тис. грн., декурсивна відсоткова ставка – 4% річних, строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими та складними відсотками.

3.Якою буде реальна купівельна спроможність суми 100 тис. грн. через три роки, якщо нараховується 16% в рік за ставкою складних відсотків, а прогнозований рівень інфляції 15% щороку.

Питання для самоконтролю

1.Сформулюйте суть відсотків, відсоткових ставок та назвіть їх види.

2.Розрахунки за простими відсотками . Врахування інфляції.

3.Обчислення складних відсотків та урахування інфляції.

4. Що називається дисконтуванням?

Рекомендована література [1,2,4]

174

4. ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ЇХ ВИКОНАННЯ

ЗАГАЛЬНІ ВИМОГИ ДО ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНОГО ЗАВДАННЯ

Індивідуальна робота виконується студентами протягом всього семестру. Контроль за станом виконання індивідуальної роботи здійснюється на індивідуальних та практичних заняттях.

Кожен студент отримує індивідуальні завдання на початку вивчення дисципліни. Індивідуальні завдання студенти виконують у повному обсязі.

Для якісного виконання індивідуальних завдань, студентам слід керуватися конспектом лекцій, методичними рекомендаціями до самостійної та індивідуальної роботи, рекомендованим списком літератури.

Кожен студент повинен виконати у першому семестрi завдання першого модульного контролю до початку залікового тижня, які наведені нижче і

захистити розв’язки задач у викладача.

Номер варіанту визначається за таблицею відповідно до порядкового номера студента у журналі. Спеціальність «Фінанси і кредит» - для першої групи порядковий номер в журналі , для другої – 20+порядковий номер номер в журналі , для третьої - 40 +порядковий номер в журналі , для четвертої - 60 +порядковий номер в журналі , спеціальність“Економіка підприємств” - для першої групи – 30+порядковий номер в журналі; для другої групи - 50 +порядковий номер в журналі.

Спеціальність “Управління персоналом ” - для першої групи - 10 + порядковий номер в журналі; для другої групи - 80 + порядковий номер в журналі.

Індивідуальне завдання слід оформити відповідно до наступних вимог: А) Титульний аркуш; Б) Завдання № 1; В) Завдання № 2; і т.д.

175

№ варіанта	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10
1	1	15	27	5		17	23	28	30	10	38
2	2	16	26	6		18	19	5	29	11	37
3	3	17	25	7		19	13	6	28	12	36
4	4	18	24	8		20	11	30	27	13	35
5	5	19	23	9		21	17	29	26	14	34
6	6	20	22	10		24	7	3	25	1	33
7	7	21	21	11		23	5	4	24	15	32
8	8	22	20	12		25	3	10	23	16	31
9	9	23	19	13		26	1	22	22	17	30
10	10	24	18	14		27	2	23	21	18	29
11	11	25	17	15		16	4	28	20	19	28
12	12	26	16	14		14	6	17	19	20	27
13	13	27	15	3		12	8	13	18	21	26
14	14	14	1	2		10	9	19	17	23	25
15	15	13	2	1		8	10	25	16	24	24
16	16	12	3	27		6	14	29	15	22	23
17	17	11	4	26		2	12	2	14	25	22
18	18	10	5	25		4	15	7	13	26	21
19	19	9	6	24		22	16	8	12	27	20
20	20	8	7	23		1	18	11	11	28	19
21	21	7	8	20		3	24	9	10	29	18
22	22	6	9	21		5	20	15	9	30	17
23	23	5	10	22		7	25	14	8	1	16
24	24	4	11	19		9	22	12	7	2	15
25	25	3	12	18		15	21	1	6	3	14
26	26	2	13	16		11	27	6	5	4	13
27	27	1	14	17		13	26	16	4	5	12
28	12	27	1	9		6	21	18	3	6	11
29	13	26	2	8		8	22	20	2	7	10
30	14	25	3	7		10	23	21	1	8	9
31	15	24	4	6		12	1	24	2	9	8
32	16	23	5	5		14	2	26	3	10	7
33	17	22	6	4		16	3	27	5	16	6
34	18	21	7	3		26	4	30	7	18	5
35	19	20	8	2		24	5	1	9	21	4
36	20	19	9	1		22	6	3	10	22	3
37	21	18	10	27		20	7	5	13	29	2
38	22	17	11	26		18	8	18	12	21	1
39	23	16	12	25		27	9	19	17	28	2
40	24	15	13	22		25	10	23	20	27	3
41	25	14	20	23		19	11	13	15	16	4
42	26	13	19	24		17	12	10	9	18	5
					176

№ варіанта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
43	27	12	18	21	23	13	1	11	19	6
44	11	1	17	20	21	14	5	7	6	8
45	10	2	16	19	15	24	6	3	13	7
46	9	3	15	18	13	25	21	30	17	9
47	8	4	14	17	11	26	7	29	25	10
48	7	5	21	16	9	27	9	17	24	11
49	6	11	22	15	7	20	3	16	29	12
50	5	10	23	14	3	19	28	22	30	13
51	29	9	24	13	5	18	27	19	21	14
52	3	8	25	12	1	17	15	18	13	15
53	2	7	26	11	4	16	4	17	14	16
54	30	6	27	10	2	15	11	13	16	17
55	20	10	17	7	13	5	19	8	18	20
56	19	11	15	9	14	6	16	2	13	21
57	18	12	13	11	15	7	26	1	17	38
58	17	13	11	13	16	8	25	10	1	37
59	16	14	9	27	17	9	18	15	19	35
60	15	27	7	23	18	10	29	17	13	14
61	14	26	5	15	19	11	30	21	2	13
62	13	25	3	17	20	12	12	24	5	20
63	12	24	1	19	21	13	17	23	7	21
64	11	23	16	21	22	14	26	18	3	23
65	10	15	2	5	23	16	19	15	8	25
66	9	16	6	3	24	15	22	5	10	35
67	28	17	12	1	26	27	5	6	9	36
68	7	18	14	25	12	26	7	9	8	37
69	6	19	8	26	27	25	13	30	7	38
70	5	20	18	24	1	23	12	29	6	10
71	4	21	22	16	2	4	1	24	5	19
72	3	22	20	18	3	24	9	25	4	13
73	2	9	21	20	4	22	10	27	3	2
74	1	8	23	22	5	21	15	19	2	1
75	21	7	24	2	6	20	26	12	1	5
76	22	6	25	4	7	19	21	13	5	34
77	23	5	26	6	8	17	20	15	6	33
78	24	4	27	8	25	18	14	14	7	12
79	25	3	19	10	9	30	6	18	8	28
80	26	2	4	12	10	3	8	2	9	37
81	27	30	10	14	11	2	11	3	10	36
82	14	25	1	9	27	12	12	6	15	34
83	15	23	2	12	22	14	19	7	16	11
84	17	21	3	15	17	11	28	12	17	7
85	19	27	4	17	12	10	30	16	12	9

177

№ варіанта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
86	21	19	5	23	7	15	14	18	13	1
87	23	17	6	19	2	4	1	25	30	3
88	25	14	7	5	26	22	3	24	29	6
89	27	11	8	13	21	4	5	2	28	33
90	18	8	9	27	16	5	11	29	27	31
91	16	5	10	18	11	3	17	28	26	30
92	12	2	11	21	6	1	8	10	25	28
93	10	24	12	1	25	2	11	12	20	38
94	8	1	13	4	20	13	19	15	2	36
95	6	15	14	7	10	17	21	18	12	16
96	4	18	15	10	5	19	29	16	11	25
97	2	20	16	13	23	8	30	21	17	24
98	1	22	17	19	18	6	16	20	21	12
99	3	26	18	22	13	25	10	19	28	11
100	5	9	19	25	7	20	12	15	30	36

Завдання

1.Обчислити визначник матриці А (табл. 4.1)

2.Знайти добуток матриць А і В (табл. 4.2):

	1	2	2	1			k1	2	1
А=	2	3	4	5	,	В=	1	k2	3	.
	1	3	2	5			2	4	k3
	3	2	4	3			1	3	2

3. Дана матриця А (табл. 4.3). Знайти матрицю A 1 і встановити, що A A 1 E , знайти власні числа і власні вектори матриці.

4.Знайти загальний розв’язок системи лінійних рівнянь методом Гауса (табл. 4.4).

5.Подані координати вершин трикутника АВС (табл. 4.5). Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) площу трикутника; в) косинус кута В; г) довжину висоти АД; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6.Обчислити границі (табл. 4.6).

7.Продиференціювати вказані функції (табл. 4.7).

8.Провести повне дослідження функції і побудувати її графік (табл. 4.8).

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення

(табл. 4.9).

10. Дослідити функцію на екстремум (табл. 4.10).

Таблиця 4.1. Варіанти завдання 1

Варіант	Матриця А					Варіант	Матриця А
1	1	2	3	4	5	16	5	9	2	4	5
	2	3	7	10	13		2	3	4	3	3
	3	5	11	16	21		5	7	2	4	2
	2	7	7	7	2		4	5	8	6	8
	1	4	5	3	10		6	5	2	3	7

178

Продовження таблиці 4.1

2	3	6	5	6		4		17	3		4		3		1	2
	5	9	7	8		6			5		6		5		2	3
	6	12	13	9		7			4		9		3		7	5
	4	6	6	5		4			1		4		1		1	2
	2	5	4	5		3			3		7		5		2	3
3	2	1	1		2		6	18	1	4		3		4	5
	0	1	2		1		1		2	8		7	10		13
	2	3	1		2		1		2	5		6	13		11
	1	5	1		1		0		2	2		7		7	2
	1	1	4		2		1		1	8		5		3	10
4	1	1	3	5		4		19	3	3	5		3		7
	0	5	2	1		8			5	4	7		3	10
	1	4	0	1		5			6	6	13		3	13
	3	5	3	0		7			4	2	6		1		6
	1	2	1	3		1			2	3	4		3		6
5	2		3	0		1	3	20	9	2		1		3	10
	1		1	3		10	2		2	6		1		0	1
	3		2	0		5	5		1	3		1		2	1
	2		8	4		3	2		1	6		5		1	2
	0		3	1		1	3		01	1		4		2	3
6	1	2	3	4	5			21	4	5	6		5		11
	2	1	2	3	4				1	4	2		0		13
	3	2	1	2	3				1	1	0		1		5
	4	3	2	1	2				3	2	3		0		7
	5	4	3	2	1				4	1	2		3		8
7	4		1	2		2	1	22	3	3	5		7	9
	4		4	2		1	4		2	1	2		3	4
	2		3	1		3	1		5	3	3		5	7
	1		1	2		1	0		4	3	2		1	2
	1		3	3	1		5		3	7	5		3	3
8	1	2	3	4	5			23	6	5	1		2	4
	2	3	4	5	1				5	5	3		3	7
	3	4	5	1	2				5	5	5		4	1
	4	5	1	2	3				4	7	2		3	5
	5	1	2	3	4				3	3	2		2	3

179