Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

x		y	1, де a	C	; b	C
a		b		A		B

Геометричний зміст коефіцієнтів в тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b – координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Нормальне рівняння прямої Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 поділити на число

1					, яке називається нормуючим множником, то отримаємо:
		A2	B 2
					xcos + ysin - p = 0 - нормальне рівняння прямої.
	Знак		нормуючого множника необхідно обирати таким чином, щоб								С <
0; р – довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а											-
кут, утворений цим перпендикуляром з додатнім напрямом осі Ох.
					Кут між прямими на площині
	Означення. Якщо задані дві прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2, то гострий
кут між цими прямими буде визначатись як
					tg		k2	k1		.
							1	k1k2

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А1х + В1у + С1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А1 = А, В1 = В. Якщо ж і С1 = С, то прямі співпадають.

Координати точки перетину двох прямих знаходяться як розв’язок системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій

Означення. Пряма, що проходить через точку М1(х1, у1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b зображується рівнянням:

y

y

1

(x

x )

1

k

1

Відстань від точки до прямої

Теорема. Якщо задана точка М(х0, у0), то відстань до прямої Ах + Ву +

С =0 визначається як

d

Ax0

By0

C

.

A2

B 2

Приклади

1. Задані вектори

(1; 2; 3),

(2; 1; -1) і d (3; 2; 2) в деякому

a

b (-1; 0; 3),

с

і

утворюють базис і знайти координати

базисі. Показати, що вектори a ,

b

с

вектора d в цьому базисі.

Розв'язок. Вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, тобто, якщо рівняння, що входять в систему:

50

			2	0
		2	0	0	лінійно незалежні.
		3	3	0
Тоді d	a	b c .

Ця умова виконується, якщо визначник матриці системи відрізняється від нуля.

														1	1	2
														2	0	1	0 ;
														3	3	1
	1	2			0 1			2 1			2 0				3 ( 2 3) 12 4 0 ;
1
2	0	1								2
3	3	1			1	1		3	1		3	3
	a1	b1		c1		d1
	a2	b2		c2		d 2 .
	a3	b3		c3		d3

Для розв’язання цієї системи скористаємося методом Крамера.

1 =			d1			b1	c1			3		1	2				0 1			2 1			2 0
			d 2			b2	c2			2 0			1			3						2				3( 3) ( 2 2) 12	1.
			d3			b3	c3			2		3	1				3	1		2	1		2	3
			1			1/ 4	;
			a1			d1	c1				1	3	2
			a2			d 2	c2				2	2	1			( 2		2)	3(		2 3) 2(4			6)		4 15 4 7;
			a3			d3	c3				3	2	1
			2			7 / 4;
			a1			b1	d1				1	1	3
3 =			a2			b2	d 2				2	0	2			6		(4	6)		18	10;
			a		3	b	d	3			3	3	2
						3
			3			5 / 2;

Отже, координати вектора d

2. Знайти (5 + 3 )(2

a b a

Розв'язок.

в базисі

,

:

d

{ -1/4, 7/4, 5/2}.

a

, b

с

2,

- b ), якщо

a

b

3, a

b.

							= 10		2
10 a	a	- 5 a	b	+ 6 a	b	- 3 b b		a

2

2

a

a

a

4, b

b

b

9, a

b

3. Знайти кут між векторами

a

= (1, 2, 3),

= (6, 4, -2).

Тобто a

b

= 6 + 8 – 6 = 8:

a

b

0 .

і b	, якщо a	i

			2				13 ,	так як
3	b				40	27
2 j 3k , b						6i	4 j 2k .

51

				1			4						9				14;																		36					16			4			56 .
	a																												b
cos				=				8																8													4				2	;								arccos		2	.
																																			14					7												7
							14						56				2							14				14
						4. Знайти																			скалярний																	добуток
																																																		(3 a			- 2 b ) (5 a		- 6 b ), якщо
				4,									6,															/ 3.
	a							b										а^ b
Розв'язок.																																																				=
																						15 a									a			- 18 a					b - 10 a						b	+ 12 b					b
15					2																										2															1				+ 12 36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336
			a				28					a	b			cos									12		b								15 16							28	4		6
																				3																										2

= 336.

5. Знайти кут між векторами

, якщо

a

і b

a

3i

4 j

5k ,

b

4i

5 j

Розв'язок. Згідно умові, координати векторів:

=(3, 4, 5),

a

b =(4, 5, -3).

Отже,

a

b = 12 + 20 - 15 =17 :

9

16

25

50;

16 25

9

50 .

a

b

cos

=

17

17

;

arccos

17

.

50

50

50

50

6. Знайти векторний добуток векторів a

2i

5 j

k

і b

i

2 j

3k .

Розв'язок.

= (2, 5, 1);

Координати векторів: a

b = (1, 2, -3). Отримаємо:

i

j

k

5 1

2

1

2 5

a b

2 5 1

i

2 3

j

1

3

k

1 2

17i

7 j k .

1

2

3

3k .

7. Обчислити площу трикутника з вершинами А(2,2,2), В(4,0,3), С(0, 1, 0). Розв'язок. Обчислимо координати векторів:

AC	(0	2;1	2;0	2)	( 2;	1; 2)
AB	(4	2;0	2;3	2)	(2;	2;1)

Векторний добуток цих векторів дорівнює:

		i	j	k				1	2				2	2				2	1
AC AB		2	1	2		i		2	1		j		2	1		k		2	2
		2	2	1
k (4 2)		5i	2 j	6k .

Згідно властивості векторного добутку, маємо:

AC AB25 4 36 65.

Площа трикутника дорівнює половині площі

S265 (ед2).

i( 1 4) j ( 2 4)

паралелограма, отже

8. Обчислити суму векторів, їх скалярний добуток, а також проекцію вектора b на вектор a : a (1;4; 1), b (3; 1;2).

Розв'язок.

52

a		b				(4;3;1);
a b						3 4						2	3;
							a b						3					3		.
n р			b
		a
									a				1 16 1			18

9. Довести, що точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежать в одній площині.

Розв'язок.

						AB	(	2;	6;1)
Знайдемо координати векторів: AC							(4; 3;			2)
						AD	(	4;	2;2)
Знайдемо мішаний добуток отриманих векторів:
		6	1		2	6	1		0	6	1
	2
AB AC AD	4	3	2		0	15	0		0	15	0	0 .
	4	2	2		0	10	0		0	10	0

Таким чином, отримані вище вектори компланарні, отже точки A, B, C і D лежать в одній площині.

10. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку А(1, 2)

перпендикулярно вектору (3, -1).

n

Розв'язок. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х – у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Отримаємо: 3 – 2 + C = 0, отже С = -1. Шукане рівняння: 3х – у – 1 = 0.

11. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

			С = 1,		х				у	1,				а = -1, b = 1.
				1			1
			12. Дано загальне рівняння прямої 12х–5у –65 = 0. Потрібно записати
	різні типи рівнянь цієї прямої.
																		12		х			5			у		1
	Рівняння цієї прямої у відрізках:																65				65									,
																				х								y
																														1
																	(65 /12)									(		13)
	Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)
																y		12	x			65						12	x 13.
																	5				5							5
	нормальне рівняння прямої:
		1						1				12	х		5	у	5			0	; cos							= 12/13; sin = -5/13; p = 5.
							13				13			13
	122 ( 5)2

13. Пряма відтинає на координатних осях рівні додатні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками дорівнює 8 см2.

53

Розв'язок.
Рівняння прямої має вид:	x		y	1, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.
	a		b

a = -4 не задовольняє умові задачі.

	Отже:	x		y		1 або х + у – 4 = 0.
	4		4
	14. Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
	Розв’язок. k1					= -3; k2 = 2	tg =		(	3)		1; = /4.
								2
								1	(	3)2

15. Виходячи з рівняння прямої: -2x+8y+12=0, визначити відстань прямої від початку координат.

Розв'язок.

d

12

12

1,45.

8,25

2

2

8

2

Завдання

Векторна алгебра

В 1.

а) Обчислити об’єм піраміди, побудованої на векторах:

ā = 2 i – 3 j + k ; b = -3 i + j – 2 k ; c = - i + k .

б) На векторах ā і b

побудований паралелограм.

Визначити кут між

діагоналями паралелограма:

ā = i -2 j +3 k ;

b = 3 i - k .

В 2.

а) Визначити, чи компланарні вектори ā,

b та c :

ā = (-2; -4; -3); b

= (4; 3; 1); c = (6; 7; 4).

б)

Визначити,

при яких значеннях р вектори

ā та

b будуть

перпендикулярні:

ā = 2 i – j + p k ; b = i + 4 j + 5 k .

В3. а) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах ā (2; -1; 1)

та b (1; 1; 4).

б) Заданий вектор AB координатами своїх кінців: A(1;-2); B(-4;3). Знайти довжину та напрямні косинуса вектора AB .

В4. а) Знайти об‘єм піраміди, побудованої на векторах ā;

b; c. a(1;1;0); b( 1;2;4); c( 2; 2;1).

б) Задані вектори ā = (-2;-1;3) та b ( 1;2;1).Знайти проекцію вектора ā на напрям вектора b.

							Пряма на площині
	1. Задані координати трьох точок А (х1, у1), В (х2, у2), С (х3, у3).
Скласти: а) рівняння прямої, яка проходить через точку А (х1,											у1) паралельно
вектору BC ;				б) рівняння прямої,				яка проходить через точку В (х2, у2)
перпендикулярно вектору AC ; в) рівняння прямої, яка проходить через точки А
(х1, у1) та В (х2, у2).
В. 1	А (1; 2),			В (-3; 4),	С (0; -7).			В. 3	А (0; 1),	В(2; 4),	С (-5; 1).
В. 2	А (-2; 0),			В (2; -5),	С (4; -1).			В. 4	А (9; 1),	В(-1; 2),	С (0; 4).

54

2. Визначити кут між двома прямими:
В. 1 5х – у + 2 = 0	В. 3	2х + 6у – 1 = 0
2х + 3у – 1 = 0.		3х + у + 7 = 0.
В. 2 х + 7у – 3 = 0	В. 4	7х – 8у + 11 = 0
5х + 2у + 11 = 0.		2х + у + 1 = 0.
3. Визначити, які з поданих пар прямих паралельні, які перпендикулярні:
В. 1 3х – у + 5 = 0 та х + 3у – 1 = 0.	В. 3 у + 3 = 0 та 5у – 7 = 0.

В. 2 3х + 5у + 3 = 0 та 6х + 10у + 7 = 0. В. 4 2х – 1 = 0 та х + 3 = 0.

4. Обчислити площу трикутника, який відсікає пряма Ах + Ву + С = 0

від координатного кута:
В. 1	2х – 6у + 12 = 0.			В. 3	8х – 3у + 24 = 0.
В. 2	3х + 8у – 24 = 0.			В. 4	2х + 7у – 28 = 0.
5. Обчислити відстань від точки Р (х0,у0) до прямої Ах+Ву+С=0.
В. 1 Р (2; -5);		х – 2у – 7 = 0.	В. 3	Р (-2; 3);		3х – 4у – 2 = 0.
В. 2	Р (-5; 1);	2х + у + 3 = 0.	В. 4	Р (1; -2);		х – 2у – 5 = 0.

Питання для самоконтролю

1.Що називається: вектором, ортом, нульовим вектором?

2.Які вектори називають рівними, колінеарними, компланарними?

3.Як визначається сума двох векторів, сума кількох векторів, різниця двох векторів, добуток вектора на число?

4.Сформулювати властивості лінійних операцій над векторами.

5.Що називається базисом на прямій, на площині, у просторі?

6.Що називається проекцією вектора на вісь? Сформулювати та довести властивості проекцій.

7.Що називається напрямним вектором прямої?

8.Скласти рівняння прямої, яка проходить через задану точку паралельно заданому вектору.

9.Вивести канонічні та параметричні рівняння прямої на площині.

10.Вивести рівняння прямої з коефіцієнтом та рівняння прямої, що проходить через дві точки.

11.Вивести рівняння прямої у відрізках та загальне рівняння прямої.

12.Як знайти кут між двома прямими? Сформулювати і записати умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.

13.Вивести формулу для знаходження відстані від точки до прямої.

Рекомендована література [1,2,4]

Тема 4. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії План заняття

1.Лінії другого порядку.

2.Канонічне рівняння кола.

3.Еліпс.

4.Гіпербола.

55

5.Парабола.

6.Означення площини, види рівнянь площини.

7.Відстань від точки до площини.

8.Кут між площинами.

9.Пряма у просторі, види рівнянь прямої у просторі.

10.Кут між прямими у просторі.

11.Взаємне розташування прямої і площини у просторі.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість знати види та канонічні рівняння ліній другого порядку на площині: коло, парабола, еліпс, гіпербола. Також канонічне рівняння прямої в просторі, рівняння площини, вміти визначати кут між прямими в просторі, взаємне розташування прямої і площини, умови паралельності і перпендикулярності прямих у просторі, площин та прямої і площини.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Рівняння лінії на площині Як відомо, довільна точка на площині визначається двома координатами в

деякій системі координат. Системи координат можуть бути різними в залежності від вибору базису і початку координат.

Означення. Рівнянням лінії називається співвідношення y=f(x) між координатами точок, що складають цю лінію.

Рівняння лінії може бути виражено параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через деякий незалежний параметр t. Наприклад – траєкторія рухомої точки. В цьому випадку роль параметра відіграє час.

Криві другого порядку

Крива другого порядку може бути задана рівнянням Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Існує система координат (не обов’язково декартова прямокутна), в якій дане рівняння може бути представлено в одному з видів, наведених нижче.

1)	x 2		y 2	1		- рівняння еліпса.
	a 2		b2
2)	x 2		y 2			1 - рівняння “уявного” еліпса.
	a 2		b2
3)	x 2		y 2	1		- рівняння гіперболи.
	a 2		b2

4)a2x2 – c2y2 = 0 – рівняння двох прямих, які перетинаються.

5)y2 = 2px – рівняння параболи.

6)y2 – a2 = 0 – рівняння двох паралельних прямих.

7)y2 + a2 = 0 – рівняння двох “уявних” паралельних прямих.

8)y2 = 0 – пара співпадаючих прямих.

9)(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – рівняння кола.

56

Коло Означення. Колом називається геометричне місце точок, які віддалені на

відстань R від фіксованої точки С, що називається центром. Рівняння кола: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 .

У кола (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр має координати (a; b).

Еліпс Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок, сума

відстаней яких до двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Канонічне рівняння еліпса:	x 2		y 2		1.
	a 2		b2
	у
					М
	r1
					r2
F1			O		F2	х
F1, F2 – фокуси; F1 = (c; 0); F2(-c; 0)
с – половина відстані між фокусами;			a – більша піввісь;			b – мала піввісь.

Теорема. Фокусна відстань і півосі еліпса пов’язані співвідношенням: a2 = b2 + c2.

Означення. Форма еліпса визначається характеристикою, яка є відношенням фокусної відстані до більшої осі і називається

ексцентриситетом.

c/a .

Так як с < a, то	< 1.
Якщо a = b (c = 0, e = 0), то еліпс перетворюється в коло.
Якщо для	точки М(х1, у1) виконується умова:					x 2		y 2	1 , то вона
						1		1
						a 2		b2
знаходиться всередині еліпса, а якщо		x 2		y 2	1, то точка знаходиться поза
		1		1
		a 2		b2
еліпсом.
Теорема. Для довільної точки М(х, у), яка належить еліпсу мають місце
співвідношення:
	r1 = a – x, r2 = a + x.
З еліпсом	пов’язані дві прямі, які			називаються директрисами. Їх

рівняння:

x = a/ ; x = -a/ .

Теорема. Для того, щоб точка лежала на еліпсі, необхідно і достатньо, щоб відношення відстані до фокуса до відстані до відповідної директриси дорівнювало ексцентриситету .

57

Гіпербола Означення. Гіперболою називається множина точок площини, для яких

модуль різниці відстаней від двох фіксованих точок, що називаються фокусами є величина стала і менша відстані між фокусами.

Згідно означенню r1–r2 = 2a. F1, F2 – фокуси гіперболи. F1F2=2c. Виберемо на гіперболі довільну точку М(х, у). Тоді:

r

(x

c)2

y 2

1

r

(x

c)2

y 2

2

(x c)2

y 2

(x c)2

y 2

2a

(x c)2

y 2 4a2

4a (x c)2

y 2

(x c)2 y 2

4a (x c)2

y 2

4a 2

4xc

a2 (x c)2

a2 y 2

a4

2a2 xc x2c2

a2 x2

2a2 xc a2 c2

a2 y 2

a4

2a2 xc x2 c2

a2 x2

a2c2

a2 y2 a4 x2c2

0

x2 (c2

a2 ) a2 (c2

a2 ) a2 y 2 0

x2 (c2

a2 ) a2 y 2

a2 (c2

a2 )

позначимо с2 – а2 = b2 (геометрично ця величина – менша піввісь)

a2b2 b2 x2	a2 y 2 .
Отримали канонічне рівняння гіперболи:		x 2		y 2		1 .
		a 2		b2
y
						M(x, y)
b
r1
					r2
						x
F1		a		F2

c

Гіпербола симетрична відносно середини відрізка, що поєднує фокуси і відносно осей координат.

Вісь 2а називається дійсною віссю гіперболи. Вісь 2b називається уявною віссю гіперболи.

Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких y ba x.

	Означення. Відношення	c	1	називається ексцентриситетом
		a

гіперболи, де с – половина відстані між фокусами, а – дійсна піввісь.

58

Означення. Дві прямі, що перпендикулярні дійсній осі гіперболи і

розташовані симетрично відносно центру на						відстані a /	від нього,
називаються директрисами гіперболи. Їх рівняння:					x	a .
Отже:	x2		y2	1 - шукане рівняння гіперболи.
4		12

Парабола Означення. Параболою називається множина точок площини, кожна з

яких знаходиться на однаковій відстані від фіксованої точки, яка називається фокусом, і від фіксованої прямої, яка називається директрисою і не проходить через фокус.

Розмістимо початок координат посередині між фокусом і директрисою. Величина р (відстань від фокуса до директриси) називається параметром параболи. Знайдемо канонічне рівняння параболи:

	у
А	М(х, у)

О

F

x

p/2 p/2

Із геометричних співвідношень: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4 y2 = 2px – рівняння параболи.

Рівняння директриси: x = -p/2.

Приклади

1. Знайти координати центра і радіус кола, якщо її рівняння задано і вигляді 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Розв'язок. Для знаходження координат центра і радіуса кола дане рівняння необхідно привести до канонічного вигляду. Для цього виділимо повні

квадрати:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

59