Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

Таблиця 4.18. Варіанти завдання 8

Варіант	Ряд	Варіант	Ряд
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Таблиця 4.19. Варіанти завдання 9

Варіант	Ряд	Варіант	Ряд
1		16
2		17
3		18

200

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

19

20

21

22

23

xn

24

2n (x

1)n

n 1 2n

1

n 1

4n

3

xn

25

nxn

n 1 (n

1)2n

n 1 n

26

(x

1)

n

x

n

(

1) n

n 1 (2n 1)2n

7n 11

n 1

(x

3)n

27

n

n

n 3 (x 1)

n 1 (2n

1)

n 1

n 1

x

n

28

(

1)n

1

(x

5)n

16 n (2n 1)

n 1

10 n x n

29

(n

1)x n

n 1

n 1

(2x

1)n

30

(

1)n

x n

n 1 3n 2

3 n3

2

n 1

10. Задачі

10.1 Задана функція граничного доходу

R (x) 20 0,04 x .

Знайти функція доходу і закон попиту на продукцію.

10.2 Після зборки 100 годинників виявилось, що в подальшому час спадає у

відповідності з формулою y 15x 0,14 . Знайти час, що знадобиться для зборки ще 20 годинників (тобто з номера 101 до номера 120).

	p	5	x 20
10.3. Відомі закони попиту і пропозиції p 116 x2 ,
		3		. Знайти виграш

споживачів і виграш постачальників, якщо було встановлено ринкову рівновагу. 10.4. Швидкість зміни витрат і доходів за часом має вигляд:

C (t) 2 t , R (t) 17 2t .

Знайти максимальне значення прибутку, яке можна отримати від даного виробництва. Коли виробництво слід припинити?

Функція граничних витрат має вигляд

C (x) 50 0,02 x .

201

Знайти функцію витрат, якщо фіксовані витрати складають 2500 г.о. щомісяця. Які витрати виробництва 250 виробів щомісячно? Якщо продукція реалізується по 75 г.о. за виріб, скільки необхідно виготовити і реалізувати, щоб прибуток був максимальним?

10.6. Функція граничних витрат деякого підприємства має вигляд:

.

Знайти функцію витрат, якщо витрати виробництва 100 одиниць продукції становлять 7 тис. г.о. Знайти фіксовані витрати. Які витрати виробництва 250 од. продукції? Якщо ціна складає 65,5 г.о. за одиницю продукції, знайти максимальне значення прибутку.

10.7. Функція граничних витрат має вигляд

Фіксовані витрати становлять 1800 г.о. на місяць, а вартість одного виробу дорівнює 80 г.о. Знайти змінні витрати. Які витрати виробництва 150 виробів? Знайти приріст прибутку, якщо обсяг виробництва збільшився з 150 до 200 виробів.

10.8. Функція граничного прибутку деякого підприємства має вигляд: а) ; б) . Знайти функцію прибутку. Яке рівняння попиту?

10.9. Функція граничного прибутку має вигляд

.

Прибуток підприємства становить 35,8 тис. г.о., якщо реалізовано 1200 виробів. Знайти функцію прибутку.

10.10. Функція граничних витрат деякої продукції має вигляд

.

Знайти функцію витрат, якщо фіксовані витрати становлять 20 тис. г.о. 10.11. Функція граничного прибутку має вигляд

;

Визначити функцію прибутку. Знайти закон попиту на продукцію. 10.12. Функція граничного прибутку має вигляд

Визначити функцію прибутку. Знайти закон попиту на продукцію. 10.13. Функція граничного прибутку має вигляд

.

Визначити функцію прибутку. Знайти закон попиту на продукцію.

10.14. Знайти функцію споживання, якщо споживання дорівнює 4 млрд. г.о., коли прибуток дорівнює нулю, а функція граничної схильності до сбереження має вигляд:

.

10.15. Знайти функцію споживання, якщо споживання дорівнює 4 млрд. г.о., коли прибуток дорівнює нулю, а функція граничної схильності до сбереження має вигляд:

202

.

10.16. Знайти функцію споживання, якщо споживання дорівнює 4 млрд. г.о., коли прибуток дорівнює нулю, а функція граничної схильності до сбереження має вигляд:

.

10.17. Знайти функцію споживання, якщо споживання дорівнює 4 млрд. г.о., коли прибуток дорівнює нулю, а функція граничної схильності до сбереження має вигляд:

.

10.18. Знайти функцію споживання, якщо споживання дорівнює 4 млрд. г.о., коли прибуток дорівнює нулю, а функція граничної схильності до збереження має вигляд:

.

10.19. Знайти функцію споживання, якщо споживання дорівнює 4 млрд. г.о., коли прибуток дорівнює нулю, а функція граничної схильності до збереження має вигляд:

.

10.20. Розподіл прибутку в деякій країні визначається кривою Лоренца:

.

Яку частину прибутку отримають 12% найбільш низькооплачуваного населення? Обчислити коефіцієнт нерівномірності розподілу сукупного прибутку.

10.21. Розподіл прибутку в деякій країні визначається кривою Лоренца:

.

Яку частину прибутку отримають 12% найбільш низькооплачуваного населення? Обчислити коефіцієнт нерівномірності розподілу сукупного прибутку.

10.22. Розподіл прибутку в деякій країні визначається кривою Лоренца:

Яку частину прибутку отримають 8% найбільш низькооплачуваного населення? Обчислити коефіцієнт нерівномірності розподілу сукупного прибутку.

10.23. Розподіл прибутку в деякій країні визначається кривою Лоренца:

.

Яку частину прибутку отримають 8% найбільш низькооплачуваного населення? Обчислити коефіцієнт нерівномірності розподілу сукупного прибутку.

10.24. Після фарбування перших 30 автобусів було виявлено, що крива навчання має вигляд

.

Скільки часу необхідно для фарбування наступних 50 автобусів?

10.25. Для збору перших 50 MP3-плейерів (1 одиниця продукції) знадобилось 70 людино-годин. Надалі для зборки будь-якої одиниці продукції - 50 MP3-плейерів

– використовувалось менше часу у відповідності формулі навчання

203

.

Визначити час, що потрібний для виробництва 5 одиниць продукції (250 MP3плейерів) після того, як 2 одиниці було вже виготовлено.

10.26. Після виробництва 100 виробів (1 одиниця продукції), для якого потрібно було 30 год, виявилось, що надалі необхідний час спадає у відповідності за формулою

.

Скільки часу потребує виробництво 400 виробів після того, як 500 буде вже виготовлено?

10.25. Рівняння попиту на деякий товар має вигляд

.

Знайти виграш споживачів, якщо рівноважна ціна дорівнює 90. 10.26. Рівняння попиту на деякий товар має вигляд

Знайти виграш споживачів, якщо рівноважна кількість товару дорівнює 10.

10.27. Знайти виграш споживачів і постачальників товару, закони попиту на який мають наступний вигляд:

, .

10.28. Знайти виграш споживачів і постачальників товару, закони попиту на який мають наступний вигляд:

, .

10.29. Знайти виграш споживачів і постачальників товару, закони попиту на який мають наступний вигляд:

, .

10.30. Функція скупних витрат монополії і рівняння попиту на цей товар має вигляд

, .

Знайти виграш споживачів у точці, де монополія має максимальний прибуток. 10.31. Функція скупних витрат монополії і рівняння попиту на цей товар має вигляд

, .

Знайти виграш споживачів у точці, де монополія має максимальний прибуток. 10.32. Рівняння попиту на деяку продукцію має вигляд

.

Знайти середне значення прибутку, якщо обсяг продажу збільшився з 80 до 150 одиниць.

10.33. Функція сукупних витрат виробництва деякої продукції має вигляд

.

Знайти середне значення витрат при зміні обсягу виробництва від 100 до 200 одиниць.

10.34. Крива навчання при фарбуванні автомобілів має вигляд

,

204

де f ( x) -кількість Людино-годин, що необхідна для фарбування (x 1) -го автомобіля. Знайти середне значення часу, що необхідно для фарбування автомобіля, якщо:

а) було пофарбовано 100 перших автомобілів; б) було пофарбовано автомобілі з номерами 401-500.

10.35. Обчислити, який податок на майно має сплатити підприємство, якщо k 2% , а вартість майна (сума відповідних рахунків балансу) склала на перше число кожного місяця:

Місяць	1		2	3	4			5		6	7			8	9	10	11	12		1
Млн. г.о.	3,5		2,8	4,1	5,2			6,1		3,8	2,6			6,2	7,4	5,1	2,5	3,8		4,6
10.36. Обчислити, який податок									на майно					має	сплатити		підприємство, якщо
k 1,5% , а вартість майна на початок кожного квартала становила:
Дата		1.01				1.04						1.07				1.10			1.01
Млн. г.о.		11,2				9,8						4,5				10,8			7,6

10.37. Скільки років необхідно продовжувати видобуток корисних копалин до досягнення максимального значення прибутку, якщо швидкість зміни витрат і доходу має наступний вигляд:

, .

Знайти максимальне значення прибутку.

10.38. Підприємство випускає відеообладнання. Його прибуток задається функцією

,	.
Знайти середнє значення прибутку на проміжку [0,10] .

10.39. Скільки років необхідно продовжувати видобуток корисних копалин до досягнення максимального значення прибутку, якщо швидкість зміни витрат і доходу має наступний вигляд:

;	.
Знайти максимальне значення прибутку.

10.40. Скільки років необхідно продовжувати видобуток корисних копалин до досягнення максимального значення прибутку, якщо швидкість зміни витрат і доходу має наступний вигляд:

, .

Знайти максимальне значення прибутку.

10.41. Знайти приріст капіталу підприємства на данному проміжку часу, якщо швидкість зміни інвестицій має наступний вигляд:

, .

10.42. Знайти приріст капіталу підприємства на данному проміжку часу, якщо швидкість зміни інвестицій має наступний вигляд:

, .

10.43. Прибуток від інвестицій в деяке виробництва дорівнює нулю впродовж першого року, а потім змінюється за законом

,

205

де t - час в роках. Знайти середнє значення прибутку від інвестицій впродовж перших 5-ти років.

10.44. Функція попиту і пропозиції на деякий товар мають вигляд

x 19 p 4	dp	,	x 28 2 p 3	dp	.
	dt			dt

Знайти залежність рівноважної ціни від часу t , якщо в початковий момент часу

ціна p	20 .
10.45. Знайти функцію попиту,			якщо еластичність		постійна і задано значення
ціни p	в деякій точці x :
		,		p=10 при x=4.
10.46. Знайти функцію попиту,			якщо еластичність		постійна і задано значення
ціни p	в деякій точці x :
		,		p=15 при x=1.
10.47. Знайти функцію попиту,			якщо еластичність		постійна і задано значення
ціни p	в деякій точці x :
		,		p=5 при x=2.
10.48. Знайти функцію попиту,			якщо еластичність		постійна і задано значення
ціни p	в деякій точці x :
		,		p=2 при x=27.
10.49. Знайти функцію попиту, якщо відомо значення ціни p						в деякій точці x	і
еластичність має наступний вигляд:
	,	0	x	100	і	p=90 при x=10.
10.50. Знайти функцію попиту, якщо відомо значення ціни p						в деякій точці x	і
еластичність має наступний вигляд:
	,	0	p	20	і	p=18 при x=1.
10.51. Знайти функцію попиту, якщо відомо значення ціни p						в деякій точці x	і
еластичність має наступний вигляд:
	,	0	x	300	і	p=36 при x=12.
10.52. Знайти функцію попиту, якщо відомо значення ціни p						в деякій точці x	і
еластичність має наступний вигляд:
	,	0	p	40	і	p=10 при x=3.

10.53. У місті з населенням 3000 осіб розповсядження епідемії гриппу відбувається відповідно до рівняння

,

де y - кількість захворілих в момент часу t . Через який час захворіє 70% населення, якщо в початковий момент часу було троє хворих?

10.54. Чисельність населення y (t) деякої країни задовольняє диференціальному рівнянню

206

,

де час t вимірюється в роках. В початковий момент часу населення складає 1000 осіб. Через скільки років населення зросте в 4 рази?

10.55. В місті з населенням 4000 осіб розповсюдження епідемії відповідає рівнянню

,

де y - кількість хворих в момент часу t . Через який час захворіє 90% населення, якщо в початковий момент хворіло 2% населення?

207

5. КОНТРОЛЬНІ ЗАХОДИ

Оцінювання знань студентів здійснюється на основі результатів:

-виконання самостійної роботи;

-роботи студентів на практичних заняттях;

-виконання ІНДЗ;

-виконання поточного контролю;

-іспиту.

Питання до іспиту

1.Матриці, основні види матриць, дії з ними.

2.Визначники другого і третього порядків та їх властивості.

3.Мінори та алгебраїчні доповнення.

4.Обернена матриця.

5.Системи лінійних рівнянь, їх сумісність, розв’язування методами Крамера, Гаусса.

6.Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв’язування.

7.Власні значення і власні вектори матриці.

8.Приклади застосування матричного аналізу в економіці.

9.Вектори. Базис. Розкладання вектора за базисом.

10.Скалярний, добуток векторів, його властивості та геометричне застосування.

11.Векторний, мішаний добутки векторів, їх властивості та геометричне застосування.

12.Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

13.Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

14.Рівняння прямої у відрізках.

15.Рівняння прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

16.Кут між двома прямими.

17.Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

18.Рівняння площини, яка проходить через точку М0(х0, у0, z0)

перпендикулярно до вектора		( A, B, C) .
	n

19. Рівняння площини у відрізках на осях.

20. Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини. 21. Кут між двома площинами.

22. Параметричні рівняння прямої в просторі. Канонічні рівняння прямої в просторі.

23. Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві задані точки М1(х1,

у1, z1) і М2(х2, у2, z2).

24.Умови паралельності і перпендикулярності прямих в просторі.

25.Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.

26.Еліпс, його рівняння.

27.Гіпербола, її рівняння.

28.Парабола, її рівняння.

29.Множина. Функції, послідовності, границя послідовності.

208

30.Границя функції. Основні теореми.

31.Похідна функції. Диференціал функції. Геометричний зміст похідної і диференціалу.

32.Основні теореми диференціального числення.

33.Обчислення границь за правилом Лопіталя.

34.Формули Тейлора і Маклорена.

35.Область визначення функції. Неперервність функції. Точки розриву 1-го та 2-го роду.

36.Асимптоти функції.

37.Дослідження функції на екстремум. Необхідна та достатні умови існування екстремуму.

38.Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

39.Похідні і диференціали вищих порядків.

40.Застосування похідної в економіці: граничні показники, еластичність економічних показників.

41.Застосування граничного аналізу при розв’язуванні задач оптимізації в

економіці. Приклади.

42.Область визначення функції багатьох змінних. Інтерпретація в економіці.

43.Частинні похідні. Повна похідна. Повний диференціал і його застосування в наближених обчисленнях.

44.Похідна за напрямом. Градієнт функції, його властивості.

45.Лінії і поверхні рівня, їх економічна інтерпретація.

46.Дослідження функції багатьох змінних на екстремум.

47.Найбільше і найменше значення функції в замкненій області.

48.Умовний екстремум функції багатьох змінних. Метод Лагранжа.

49.Типові оптимізаційні задачі економіки в сфері виробництва і споживання.

50.Первісна та невизначений інтеграл.

51.Властивості невизначеного інтеграла.

52.Таблиця інтегралів.

53.Заміна змінної інтегрування.

54.Інтегрування частинами.

55.Інтегрування раціональних функцій.

56.Інтегрування деяких тригонометричних функцій.

57.Універсальна тригонометрична підстановка.

58.Інтеграли з лінійною ірраціональністю.

59.Задачі, що призводять до поняття визначеного інтеграла.

60.Визначений інтеграл, його властивості. Формула Ньютона-Лейбніця.

61.Інтеграл зі змінною верхньою границею.

62.Заміна змінної інтегрування у визначеному інтегралі.

63.Основні методи обчислення визначених інтегралів.

64.Наближене обчислення визначених інтегралів.

65.Невласні інтеграли від необмежених функцій.

66.Поняття про подвійний інтеграл.

209