Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи фінансової математики

ТЕМА 14. РЯДИ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Числові ряди. Збіжні і розбіжні ряди. Необхідний признак збіжності ряду. Основні властивості рядів. Геометричний, гармонічний, узагальнений гармонічний ряди. Ряди з додатними членами. Теореми порівняння. Достатні признаки збіжності: Даламбера, Коші радикальний та інтегральний. Ряди з додатними і від'ємними членами, знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Теорема Лейбниця.

Степеневі ряди. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду. Властивість степеневого ряду: почленне диференціювання та інтегрування. Розкладання функцій в степеневі ряди. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень.

ТЕМА 15. ЕЛЕМЕНТИ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ ТА МАТЕМАТИЧНОЇ ЕКОНОМІКИ

Прості і складні відсотки у фінансових розрахунках. Необхідна відсоткова ставка, дисконтування, неперервні відсотки. Еквівалентність простих і складних ставок відсотків. Розрахунок номінальної ставки і ставки ефективності.

МОДУЛЬ 2. ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Змістовий модуль 1. Теорія ймовірностей

ТЕМА 1. ЕМПІРИЧНІ ТА ЛОГІЧНІ ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Випадкові події. Операції над подіями.

ТЕМА 2. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ, ЇХ ЕКОНОМІЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ

Класичне означення ймовірностей. Статистична ймовірність. Умовна ймовірність. Формули множення та додавання ймовірностей. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

ТЕМА 3. СХЕМА НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПРОБУВАНЬ

Формула Бернуллі. Локальна теорема. Інтегральна теорема. Формула Пуассона.

10

ТЕМА 4. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ЕКОНОМІЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ

Визначення випадкових величин. Економічна інтерпретація випадкових величин.

ТЕМА 5. ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ТА ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Функція розподілу ймовірностей. Щільність ймовірностей. Математичне сподівання. Дисперсія. Початкові та центральні моменти. Асиметрія і ексцес.

ТЕМА 6. БАГАТОВИМІРНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Система двох випадкових величин. Коефіцієнт кореляції. Функція розподілу та щільність ймовірностей системи двох випадкових величин. Числові характеристики системи двох випадкових величин.

ТЕМА 7. ФУНКЦІЇ ВИПАДКОВОГО АРГУМЕНТУ

Функції дискретного випадкового аргументу. Числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу. Функції неперервного випадкового аргументу та їх числові характеристики.

ТЕМА 8. ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Нерівність Чебишева. Теорема Чебишева. Центральна гранична теорема теорії ймовірностей.

ТЕМА 9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ І ТЕОРІЇ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

Поняття випадкового процесу. Марковські випадкові процеси та елементи теорії масового обслуговування.

Змістовий модуль 2. Математична статистика

ТЕМА 10. ПЕРВИННЕ ОПРАЦЮВАННЯ СТАТИСТИЧНИХ ДАНИХ

Генеральна та вибіркова сукупності. Статистичні розподіли вибірок. Гістограма і полігон. Числові характеристики вибірки.

ТЕМА 11. СТАТИСТИЧНЕ ТА ІНТЕРВАЛЬНЕ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ

11

Точкові статистичні оцінки. Виправлена дисперсія. Інтервальні статистичні оцінки.

ТЕМА 12. ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ

Визначення статистичної гіпотези. Нульова й альтернативна гіпотези; проста і складна. Помилки першого і другого роду. Статистичний критерій. Критична область, критична точка. Загальна методика перевірки статистичних гіпотез. Критерій узгодженості Пірсона.

ТЕМА 13. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ РЕГРЕСІЇ

Модель експерименту. Однофакторний аналіз.

ТЕМА 14. ЕЛЕМЕНТИ ДИСПЕРСІЙНОГО АНАЛІЗУ

Рівняння лінійної парної регресії. Визначення параметрів парної функції регресії. Множинна регресія.

ТЕМА 15. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ

Функціональна, статистична і кореляційна залежності. Вибірковий коефіцієнт кореляції та його властивості.

МОДУЛЬ 3. ІНДИВІДУАЛЬНЕ НАУКОВО-ДОСЛІДНЕ ЗАВДАННЯ

12

2. ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Модуль 1. ВИЩА МАТЕМАТИКА

Змістовний модуль 1. Алгебра і аналітична геометрія

Тема 1. Елементи теорії матриць і визначників

План вивчення теми

1.Означення матриці.

2.Основні види матриць.

3.Дії з матрицями.

4.Означення визначників другого і третього порядків.

5.Властивості визначників.

6.Обернена матриця та побудова оберненої матриці.

7.Ранг матриці.

Навчальні цілі

Вивчити основні види матриць, набути навички виконання дій з матрицями . Знати поняття визначників другого і третього порядку, властивості визначників, способи їх обчислення. Вивчити, що називається оберненою матрицею та способи побудови оберненої матриці. Ранг матриці.

Завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно рекомендується вивчити та законспектувати такі поняття, як матриця, види матриць, дії з матрицями, визначник матриці. Ознайомитись із способами обчислення визначників та їх властивостями; вивчити означення оберненої матриці та способи побудови оберненої матриці. Навчитись обчислювати ранг матриці. Письмово надати відповіді на запитання для самостійної роботи.

Питання для самоконтролю

1.Що називається визначником другого порядку?

2.Що називається визначником третього порядку?

3.Сформулювати основні властивості визначників.

4.Що називається мінором та алгебраїчним доповненням?

5.Сформулювати та довести теорему про розклад визначника за елементами рядка (стовпця). Чому дорівнює сума добутків елементів одного рядка (стовпця).

6.Як обчислюються визначники вищих (четвертого, п’ятого і т. д.) порядків?

7.Що називається матрицею?

8.Як визначається сума двох матриць?

9.Як визначається добуток матриці на число?

10.Як визначається різниця двох матриць?

11.Як визначається добуток двох матриць?

12.Що називається оберненою матрицею?

13.У якому випадку оберненої матриці не існує?

13

14.Що таке транспонована матриця?

15.Як будується обернена матриця?

Рекомендована література [1]; [2]; [3]; [4]; [5].

Тема 2. Загальна теорія систем лінійних алгебраїчних рівнянь План вивчення теми

1.Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

2.Сумісність системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

3.Кількість розв’язків системи лінійних рівнянь.

4.Формули Крамера.

5.Метод Гауса.

Навчальні цілі

Вивчити системи лінійних рівнянь і їх сумісність; розуміти геометричну інтерпретацію системи рівнянь другого порядку. Опанувати способи розв'язування систем лінійних рівнянь: Крамера, Гауса.

Завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи

Використовуючи список літератури, що наведено у посібнику, ознайомитись з основами теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Дати письмові відповіді на запитання для самостійної роботи.

Питання для самоконтролю

1.Що називається системою m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими?

2.Яка система лінійних рівнянь називається сумісною; несумісною; визначеною; невизначеною?

3.Записати формули Крамера. В якому випадку вони застосовуються?

4.У чому полягає метод Гауса?

5.За яких умов однорідна система лінійних рівнянь має єдиний нульовий розв’язок; безліч розв’язків?

6.Сформулювати теорему Кронекера-Капеллі.

Рекомендована література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 3. Елементи матричного аналізу План вивчення теми

1.Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

2.Матричний спосіб розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

3.Лінійні оператори, власні вектори, власні значення.

4.Квадратичні форми.

5.Застосування матричного аналізу в економіці.

14

Навчаліні цілі

Закріпити теоретичні знання і виробити практичні навички щодо матричного запису системи лінійних рівнянь та матричного способу розв’язання системи лінійних рівнянь. Вивчити поняття лінійних операторів, власних векторів і власних значень та квадратичних форм. Ознайомитися з прикладами застосування матричного аналізу в економіці: витрати сировини та робочого часу при виготовленні продукції, кредитування підприємств, реалізація і розподіл продукції і т.п..

Завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно рекомендується опанувати матричний запис системи лінійних рівнянь та матричний спосіб розв’язання системи лінійних рівнянь; означення лінійних операторів. Навчитись визначати власні вектори та власні значення. Використовуючи список літератури, що наведено у посібнику, ознайомтесь з основами матричного аналізу в економіці.

Питання для самоконтролю

1.Опишіть алгоритм розв'язування системи лінійних рівнянь матричним способом.

2.Що називається власним значенням та власним вектором матриці ?

3.Що називається квадратичною формою?

4.Наведіть приклади застосування матричного аналізу в економіці.

Рекомендована література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 4. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії План вивчення теми

1.Вектори, основні означення.

2.Базис. Розкладання вектора за базисом.

3.Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів, їх властивості та геометричне застосування: обчислення площ паралелограма і трикутника і об'ємів призми та піраміди.

4.Відстань між точками.

5.Пряма на площині, види рівнянь прямої на площині.

6.Умови паралельності і перпендикулярності прямих.

7.Кут між прямими на площині.

8.Лінії другого порядку: парабола, гіпербола, еліпс.

9.Рівняння прямої в просторі. Напрямний вектор прямої. Параметричні рівняння прямої.

10.Рівняння площини. Пряма як перетин двох площин. Умови паралельності і перпендикулярності прямих і площин.

15

Навчальні цілі

Знати основні елементи векторної алгебри, основні означення, вміти виконувати дії з векторами, обчислювати скалярний, векторний, мішаний добутки векторів, знати їх властивості та геометричне застосування. Опанувати елементи аналітичної геометрії на площині та в просторі.

Завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи

Вивчити теоретичні відомості. Ознайомитись з поняттями векторної алгебри та аналітичної геометрії. Законспектуйте відповіді на питання до самостійної роботи.

Питання для самоконтролю

1.Що називається лінійним простором?

2.Що таке векторний простір?

3.Що таке лінійна комбінація векторів?

4.Властивості лінійної незалежності.

5.Базис лінійного простору.

6.Що таке ранг системи векторів.

7.Які системи векторів є еквівалентними?

8.Що називається: вектором, ортом, нульовим вектором?

9.Які вектори називають рівними, колінеарними, компланарними?

10.Як визначається сума двох векторів, сума кількох векторів, різниця двох векторів, добуток вектора на число?

11.Сформулювати властивості лінійних операцій над векторами.

12.Що називається базисом на прямій, на площині, у просторі?

13.Що називається проекцією вектора на вісь? Сформулювати та довести властивості проекцій.

14.Що називається напрямним вектором прямої?

15.Скласти рівняння прямої, яка проходить через задану точку паралельно заданому вектору.

16.Вивести канонічні та параметричні рівняння прямої на площині.

17.Вивести рівняння прямої з коефіцієнтом та рівняння прямої, що проходить через дві точки.

18.Вивести рівняння прямої у відрізках та загальне рівняння прямої.

19.Довести, що всяке рівняння Ax By C 0 визначає на площині Оху

пряму лінію. Дослідити загальне рівняння прямої.

20.Як знайти кут між двома прямими? Сформулювати і записати умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.

21.Вивести формулу для знаходження відстані від точки до прямої.

22.Що називається лінією другого порядку?

23.	Що називається колом?	Вивести рівняння кола з центром у точці
	M 0 x0 ; y0 .
24.	Що називається еліпсом?	Вивести канонічне рівняння еліпса.
25.	Дослідити форму еліпса, відповідно		канонічним рівнянням, та
	побудувати його.
		16

26.Що називається гіперболою? Вивести канонічне рівняння гіперболи.

27.Дослідити форму гіперболи, відповідно канонічним рівнянням, та побудувати її.

28.Записати та дослідити загальне рівняння площини.

29.Вивести рівняння площини, яка проходить через три точки.

30.Вивести рівняння площини у відрізках на вісях.

31.Як обчислити кут між двома площинами?

32.Які умови паралельності та перпендикулярності двох площин, двох прямих, прямої і площини?

33.Вивести формулу для обчислення відстані від точки до площини?

Рекомендована література [1];[3]; [4]; [5]

Модуль 1.

Змістовий модуль ІІ. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці.

Тема 5. Елементи теорії границь План вивчення теми

1.Границя послідовності.

2.Границя функції.

3.Нескінченно малі і нескінченно великі величини.

4.Види невизначеностей.

5.Обчислення границь функцій.

6.Перша і друга важливі границі.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість зрозуміти поняття границі функції та опанувати методи обчислення границь функцій.

Завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно рекомендується вивчити поняття границі послідовності та границі функції, а також ознайомитись з поняттями нескінченно малих і нескінченно великих величин. Розглянути види невизначеностей та методи їх розкриття. Набути навички обчислення границь функцій та застосування першої і другої важливої границі.

Питання для самоконтролю

1.Що називається функцією? Навести приклади.

2.Що називається областю визначення та множиною значень функції?

3.Охарактеризувати основні способи задання функції.

4.Які функції називаються основними елементарними функціями?

5.Яка функція називається складеною ? Навести приклади.

6.Яка функція називається елементарною?

7.Що називається числовою послідовністю?

8.Що називається границею числової послідовності?

17

9.Що називається границею функції в точці?

10.Які функції називаються нескінченно малими?

11.Які функції називаються нескінченно великими?

12.Ознаки існування границі послідовності.

Рекомендована література [1];[2] ; [3]; [4]; [5]

Тема 6. Диференціальне числення функції однієї змінної План вивчення теми

1.Елементарні функції.

2.Похідна функції.

3.Геометричний та економічний зміст похідної.

4.Похідні основних функцій.

5.Правила диференціювання.

6.Похідна складної, оберненої, заданої неявно функції.

7.Диференціал функції. Геометрична інтерпретація диференціала.

8.Основні теореми диференціального числення.

9.Обчислення границь за правилом Лопіталя.

10.Формули Тейлора і Маклорена.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість знати основи диференціального числення, здобути навички обчислення похідних функцій. Ознайомитись із економічним змістом похідної.

Завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи

Вивчити та законспектувати такі поняття, як елементарні функції, похідна функції, похідні основних функцій та правила диференціювання. Ознайомитись та набути практичних навичок обчислення похідної складної, оберненої та неявно заданої функції. Застосовувати правило Лопіталя для обчислення границь функцій.

Питання для самоконтролю

1.Дати означення похідної заданої функції.

2.Який геометричний, механічний та фізичний зміст похідної?

3.Як знайти похідну, виходячи з її означення?

4.Залежність між неперервністю функції та її диференційованістю.

5.Сформулювати правила диференціювання.

6.Похідна складної та оберненої функцій.

7.Логарифмічна похідна.

8.Похідні неявної та параметрично заданої функції.

9.Похідні вищих порядків.

10.Описати спосіб графічного диференціювання.

11.Як визначається кут між лініями?

12.Що називається диференціалом функції?

18

13.Який геометричний та механічний зміст диференціала?

14.Назвати властивості диференціала.

15.У чому полягає інваріантність форми диференціала?

16.Як визначається диференціал функції через її похідну?

17.Вивести правила диференціювання суми, різниці, добутку та частки двох функцій.

18.Вивести правила диференціювання складеної функції.

19.Вивести правило диференціювання оберненої функції.

20.Як диференціювати неявно задану функцію? Навести приклад.

21.Сформулювати теорему Ферма.

22.Сформулювати теорему Ролля.

23.Сформулювати теорему Лагранжа.

24.Сформулювати теорему Коші.

25.Записати формулу Маклорена.

26.Записати формулу Тєйлора.

27.Сформулювати правило Лопіталя.

Рекомендована література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 7. Дослідження функцій та побудова їх графіків План вивчення теми

1.Область визначення функції.

2.Неперервність функцій.

3.Точки розриву 1-го та 2-го роду.

4.Асимптоти функції.

5.Дослідження функції на екстремум.

6.Необхідна і достатні умови існування екстремуму.

7.Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

8.Побудова графіків функцій.

Начальні цілі

Знати математичний апарат та розуміти процедуру дослідження функцій, вміти виконувати побудову їх графіків.

Завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно рекомендується ознайомитись з основами дослідження функцій та побудови їх графіків. Письмово надайте відповіді на запитання для самостійної роботи.

Питання для самоконтролю

1.Яка функція називається неперервною в точці?

2.Яка функція називається неперервною на відрізку?

3.Сформулювати властивості неперервних функцій.

4.Що називається асимптотою функції, Якими бувають асимптоти?

5.Сформулювати необхідну і достатні умови існування екстремуму функції однієї змінної.

19