- •Лекції з курсу «Нарисна геометрія та інженерна графіка»
- •«Гірництво» усіх форм навчання Лекція № 1. Метод проеціювання. Ортогональні проекції точки
- •Лекція № 2. Пряма. Взаємне положення двох прямих
- •Лекція № 3. Взаємне положення двох прямих
- •Лекція № 4. Площина
- •Лекція № 5. Взаємне положення прямої та площини, двох площин
- •Лекція № 6. Перетин двох площин, прямої та площини
- •Лекція № 7. Методи перетворення ортогонального креслення
- •Лекція № 8. Методи перетворення ортогонального креслення
- •1. Метод площинно-паралельного переміщення
- •2. Метод обертання навколо вісі, перпендикулярної до однієї з площин проекцій
- •3. Метод обертання навколо головних ліній креслення (фронталі і горизонталі)
- •4. Метод обертання навколо слідів площини (суміщення)
- •Лекція № 9. Геометричні поверхні
- •Лекція № 10. Перетин поверхні площиною. Перетин прямої та поверхні
- •Лекція № 11. Взаємний перетин геометричних поверхонь
- •Лекція № 12. Види, розрізи, перерізи, виносні елементи. Гост 2.305-68
- •Лекція № 13. Аксонометричні проекції
- •Лекція № 14. Проекції з числовими позначками (пчп)
- •3. Взаємне положення двох прямих.
- •Лекція № 15. Пчп. Площина
- •11.2. Взаємне положення двох площин.
- •3. Взаємне положення прямої та площини.
- •Лекція № 16. Топографічні поверхні
- •Лекція № 17. Підсумкова лекція
Лекція № 5. Взаємне положення прямої та площини, двох площин
План лекції
1. Паралельність прямої та площини.
2. Паралельність двох площин.
3. Перпендикулярність прямої та площини.
4. Перпендикулярність двох площин.
5. Перпендикулярність двох прямих загального положення.
1. Паралельність прямої та площини. Пряма паралельна до площини, якщо вона паралельна до будь-якої прямої цієї площини. Для рішення задачі необхідно:
в площині побудувати пряму загального положення;
виходячи з умов паралельності двох прямих, побудувати необхідну пряму.
Приклад 1: Через т. А побудуватиl║∑, l є A.
m є ∑
l2║m2
l1║m1
──────
Рис. 5.1 l║∑ (рис. 5.1).
Приклад 2: Через т. А побудувати площину ∆, паралельноl.
1. a2 є А2
а2║l2
. a1 є А1
а1║l1
2. b2 є А2
b1 є А1
──────
Рис. 5.2 ∆ (a×b)║l (рис. 5.2).
Приклад 3: Перевірити паралельність прямої l до Г.
n2║l2
n2×m2=12
11 є m1
n1╫l1
──────
l╫Г(A, m) (рис. 5.3).
Конкретне рішення кожної геометричної задачі залежить від положення проекцій геометричних образів. Рис. 5.3
2. Паралельність двох площин. Дві площини паралельні, якщо дві пересічні прямі однієї площини паралельні двом пересічним прямим іншої площини. Якщо площини задані слідами, то у паралельних площин мають бути паралельні сліди.
Приклад 1: Через т. А побудувати ∑║∆, ∑ є А.
∆(l×m)
a2║l2, a2 є A2
b2║m2, b2 є A2
a1║l1, a1 є A1
b1║m1, b1 є A1
─────────
∑(a×b) ║∆(l×m) (рис. 5.4).
Рис. 5.4
Приклад 2: Через т. А побудувати Г ║Θ, Г є А.
План рішення:
через т. А будують пряму рівня паралельно Θ;
будують слід цієї прямої:
1. h є А
2. h║Θ
3. F1F2×h2=F
4. Гп2 є F
Гп2║Θп2
5.Гп1║h║Θп1
────────────
Рис. 5.5 Г║Θ (рис. 5.5)
3. Перпендикулярність прямої та площини. Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох пересічних прямих цієї площини. За пересічні прямі необхідно використати фронталь та горизонталь, тоді l2┴f2, a l1┴h1.
Приклад. Через т. А побудуватиl┴∑(∆ABC).
h є АВС
f є АВС
l1┴h1
l1 є А1
l2┴f2
l2 є A2
──────────
l┴∑(∆ABC) (рис. 5.7).
Рис. 5.7
4. Перпендикулярність двох площин. Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них має перпендикуляр до другої площини. Рішення задачі складається з двох етапів.
Будують пряму, перпендикулярну до заданої площини
До прямої перпендикуляру добудовують іншу пряму довільного положення. Дві пересічні прямі і сформують площину, перпендикулярну до заданої.
Приклад: Побудувати ∆┴∑, ∆ є А.
1. l2 є А2
l2┴∑п2
2. l1 є А1
l1┴∑п1
3. m2 є A2
m1 є A1
─────────
∆(m×l) ┴∑ (рис. 5.8).
Рис. 5.8
5. Перпендикулярність двох прямих загального положення. Дві прямі загального положення взаємно перпендикулярні, якщо одна з них належить до площини, перпендикулярної до іншої прямої.
Приклад (рис.5.9). Через т. А побудувати l┴m.
План рішення:
1) через т. А будуємо Г є А, Г┴m, площину Г задають пересічними f та h, при цьому:
f2┴m2
h1┴m1
h2║x║f1
2) будуємо точку перетину прямої m і Г, для цього пряму заключають у допоміжну горизонтально-проекцюючу площину, будують точки перетину.
1. m є ∑
∑┴П1
2. ∑┴Г=1,2
3. 1121
4. 12 є h2
22 є f2
5. 1222×m2=K2
K1 є m1
6. A2K2 – l2
A1K1 – l1
────────
l ┴m
(рис. 5.9).
Контрольні питання.
1. Як побудувати пряму паралельно до заданої площини?
2. Сформулюйте умову паралельності двох площин.
3. Назвіть умову перпендикулярності прямої та площини, двох площин.