- •Министерство транспорта российской федерации
- •Введение. Предмет теории вероятностей
- •Глава 1. Комбинаторика
- •1.1. Факториалы
- •1.2. Принцип умножения
- •1.3. Перестановки
- •1.4. Размещения.
- •1.5. Сочетания.
- •Глава 2. Случайные события
- •2.1. Классификация случайных событий
- •2.2. Операции над событиями
- •1. Сложение событий.
- •2. Умножение событий.
- •3. Противоположное событие.
- •2.3. Свойства операций над событиями
- •2.4. Относительная частота события
- •Свойства относительной частоты
- •Глава 3. Свойства вероятности
- •3.1. Аксиоматическое введение вероятностей
- •3.2. Непосредственные следствия из аксиом
- •3.3. Схема равновозможных исходов
- •3.4. Алгоритм реализации схемы равновозможных исходов
- •3.5. Эмпирический закон больших чисел
- •3.6. Условная вероятность
- •3.7. Теорема умножения
- •3.8. Независимость событий
- •I. Независимость двух событий.
- •II. Независимость событий в совокупности.
- •3.9. Формула полной вероятности
- •3.10. Формулы Бейеса
- •3.11. Схема независимых испытаний Бернулли
- •3.12. Локальная теорема Лапласа
- •I. Дифференциальная функция Лапласа.
- •II. Предельное равенство.
- •3.13. Интегральная теорема Лапласа
- •I. Интегральная функция Лапласа.
- •II. Предельное равенство.
- •Список литературы
- •Оглавление
- •Глава I. Комбинаторика……….……………………….……….. 4
- •Глава II. Случайные события. ……………..………..…….… 10
- •Ястребов м.Ю.
3.11. Схема независимых испытаний Бернулли
Определение. Испытания образуют относительно исходапоследовательность независимых испытаний по схеме Бернулли, если выполняются два условия:
1. Исходы испытаний независимы в совокупности.
2. Вероятность исхода во всех испытаниях одинакова и равна.
Терминология: — успех,— вероятность успеха,— неудача,— вероятность неудачи.
Пример. Многократные бросания монеты образуют по отношению к исходу , заключающемуся в выпадении герба, последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха.
Введем обозначение: – вероятность того, что при проведениииспытаний по схеме Бернулли успех будет иметь место ровнораз.
Теорема (о вероятности числа успехов). Справедлива формула:
. (21)
(Здесь – число сочетаний изпо; см. п. 1.5).
Доказательство. Пусть — событие, которое заключается в том, что при проведениииспытаний успех будет иметь место ровнораз, так что. Тогдаявляется суммой попарно несовместных событий, каждое из которых имеет вид произведения (одновременного наступления) событий:
, (22)
причем среди множителей раз встречается успехираз — неудача:
,
и
. (23)
В серии из испытаний можно выбратьномеров успешных испытанийразличными способами. Поэтому число слагаемых в сумме (23) равно(см. последние примеры в п. 1.5 и в п. 3.4).
Вероятность отдельного слагаемого вычисляется по теореме умножения для независимых событий (исходы разных испытаний, по предположению, не влияют друг на друга):
,
поскольку в произведении (22) содержится множителей-успехов, имеющих вероятность, имножителей-неудач, вероятность которых равна.
В результате в (23) имеем одинаковых слагаемых, равных. Поэтому. ▄
Пример. Испытание: из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад извлекается один шар (после чего возвращается обратно). Успех – извлеченный шар оказался белым. Найти вероятность того, что из семи испытаний ровно четыре будут успешными.
Решение. По схеме равновозможных исходов находим вероятность успеха в одном испытании: . Далее,,
. Применяя формулу (21), получаем:
.
3.12. Локальная теорема Лапласа
Последний пример показывает, что даже при относительно небольших значениях вычисление вероятностейпо точной формуле (19) с использованием факториалов и степеней затруднительно. Поэтому имеется потребность в такой приближенной формуле для вероятности, которая не приводила бы к слишком громоздким вычислениям с непомерно большими промежуточными результатами. Такую формулу доставляет локальная теорема Лапласа.
I. Дифференциальная функция Лапласа.
Определение. Дифференциальной функцией Лапласа называется функ-
ция .
График дифференциальной функции Лапласа приведен на рис. 10.
Рис. 10.
Свойства функции .
1. при всех .
2. — четная функция, то есть . График функции симметричен относительно оси ординат.
3. .
Стремление к нулю в последнем пределе достаточно быстрое. Так, с точностью до четырех знаков после запятой .
Для отыскания значений функции имеются таблицы и стандартные компьютерные программы.