3.9. Формула полной вероятности

Определение. События образуютполную группу, если выполняются два условия: 1)в результате испытания одно из них обязательно наступает, то есть их сумма есть достоверное событие: ; 2) события попарно несовместны, то естьпри.

Теорема. Пусть выполняются два условия:

1. События («гипотезы») образуют полную группу.

2. События имеют ненулевые вероятности:.

Тогда для всякого события справедлива формула:

,

или в краткой записи:

. (19)

Замечания. 1. Формула (19) носит название формулы полной вероятности.

2. Второе условие теоремы обеспечивает существование условных вероятностей (см. п. 3.6).

Доказательство. По свойствам операций над событиями имеем:

—сумма попарно несовместных событий. Поэтому, применяя последовательно аксиому сложения и теорему умножения, получаем:

. ▄

Решение задач с применением формулы полной вероятности рекомендуется проводить по следующему плану:

1. Введение гипотез .

2. Проверка полноты и попарной несовместности гипотез.

3. Вычисление вероятностей гипотез (например, по схеме равновозможных исходов).

4. Вычисление условных вероятностей .

5. Применение формулы (19).

Пример. Испытание: В первой урне содержится белых ичерных шаров, во второй —белых ичерных шара; из первой урны наугад (не глядя) перекладывается один шар во вторую урну, после чего из второй урны наугад извлекается шар. Найти вероятность того, что будет извлечен белый шар.

Решение. Пусть событие состоит в том, что из второй урны извлечен белый шар. Введем события (гипотезы):

—из первой урны переложен белый шар;

—из первой урны переложен черный шар.

Эти гипотезы образуют полную группу и несовместны. Далее, по схеме равновозможных исходов: . Найдем условные вероятности. Если имела место гипотеза, то есть был переложен белый шар, то во второй урне сталобелых ичерных шара; поэтому. Если имела место гипотеза, то есть был переложен черный шар, то во второй урне сталобелых ичерных шаров; поэтому. По формуле полной вероятности получаем:.

3.10. Формулы Бейеса

Рассмотрим следующую ситуацию. Имеются две внешне неразличимые урны. В урне № 1 находятся (миллион) белых шаров ичерный шар; в урне № 2, наоборот, находятсябелый шар ичерных.

Из схемы равновозможных исходов следует, что вероятность выбрать наугад урну № 1 (гипотеза ), как и вероятность выбрать наугад урну № 2 (гипотеза), обе равны. Эти вероятности называютаприорными (латинское «a priori» означает «до опыта»).

Предположим теперь, что из выбранной наугад урны также наугад извлекли один шар, и он оказался белым. Понятно, что, скорее всего, то есть с вероятностью, близкой к единице, это шар из урны № 1 ( это апостериорная вероятность гипотезы ; латинское «a posteriori» означает «после опыта»). Наоборот, «почти невозможно», то есть с апостериорной вероятностью, близкой к нулю, это шар из урны № 2.

Таким образом, информация о наступлении некоторого случайного события изменяет наши представления о вероятностях гипотез. Формулы Бейеса дают точное количественное выражение для апостериорных вероятностей гипотез.

Теорема. Пусть для событий («гипотез») и событиявыполняются три условия:

1. Гипотезы образуют полную группу.

2. Гипотезы имеют ненулевые вероятности:

.

3. .

Тогда при справедливы формулы:

или в краткой записи:

. (20)

Замечания. 1. Формулы (20) носят название формул Бейеса.

2. Второе условие теоремы обеспечивает существование условных вероятностей , а третье — существование условных вероятностей(см. п. 3.6).

Доказательство. По теореме умножения имеем (см. формулу (13) в п. 3.7):

,

откуда . Заменяя в знаменателе числоего выражением по формуле полной вероятности (19), приходим к (20). ▄

Решение задач с применением формул Бейеса рекомендуется проводить по следующему плану:

1. Введение гипотез .

2. Проверка полноты и попарной несовместности гипотез.

3. Вычисление вероятностей гипотез (например, по схеме равновозможных исходов).

4. Вычисление условных вероятностей .

5. Применение формулы (20).

Пример. Испытание: В двух урнах первого типа находится по белых ичерных шара, а в пяти урнах второго типа – соответственно побелых ичерному. Наугад выбирается урна, и из нее извлекается шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что он извлечен из урны первого типа.

Решение. Пусть событие заключается в том, что извлеченный шар оказался белым. Введем гипотезы:

–выбрана урна первого типа;

–выбрана урна второго типа.

По схеме равновозможных исходов ,. Далее,,. По формуле (20) получаем:

.