2. Умножение событий.

Определение. Событие называетсяпроизведением событий и, если оно заключатся в том, что в результате испытания наступают оба событияи.

Обозначение: .

Геометрически произведение событий иллюстрируется пересечением фигур и(рис. 5).

Рис. 5.

Описание произведения событий связано с употреблением союза И.

В примере со стрельбой по мишени наступление произведения событий означает попадание в пересечение фигури.

Определение. 1. События иназываютсянесовместными, если невозможно их совместное наступление при одном испытании, то есть если .

2. События , образующие конечную или бесконечную совокупность, называютсяпопарно несовместными, если любые два из них несовместны: при.

Геометрически несовместность событий ииллюстрируется тем, что фигурыине пересекаются (рис. 6).

3. Противоположное событие.

Определение. Событие называетсяпротивоположным событию , если оно заключатся в том, что в результате испытания событиене наступает.

Рис.6.

Обозначение: .

Геометрически противоположное событие иллюстрируется дополнением фигурыдо(рис. 7).

Рис. 7.

Описание противоположного события связано с употреблением отрицательной частицы НЕ.

В примере со стрельбой по мишени наступление противоположного события означает непопадание в фигуру .

Порядок выполнения операций, как и в случае чисел, регулируется скобками. По умолчанию принят следующий порядок действий: сначала выполняются операции перехода к противоположному событию, затем операции умножения, и последними — операции сложения.

Пример. Запись равносильна записи с использованием скобок:.

2.3. Свойства операций над событиями

Из определения операций над событиями вытекает ряд свойств этих операций, которые удобно разбить на несколько групп.

1. Операции с участием достоверного и невозможного событий.

.

Для всякого события :

.

2. Операции с одним событием:

3. Алгебраические свойства:

Для любых двух событий иимеют место равенства:

Коммутативность (переместительный закон):

Ассоциативность (сочетательный закон):

Дистрибутивность (распределительный закон):

;

.

Замечание. Свойства этой группы, за исключением последнего, имеют привычный вид, поскольку они справедливы для операций сложения и умножения чисел. Последнее свойство имеет аналогию в свойстве операций объединения и пересечения множеств, а также в свойстве логических операций над высказываниями – дизъюнкции (логического сложения, операции ИЛИ) и конъюнкции (логического умножения, операции И) [11].

4. Связь сложения и умножения событий с переходом к противоположному событию выражается законом двойственности:

.

5. Если событие влечет за собой событие:, то,.

2.4. Относительная частота события

Определение. Пусть при проведении испытаний событиенаступилораз.Относительной частотой события в данной серии испытаний называется отношение:

. (4)

Пример. Испытание — однократное бросание монеты. Событие — выпадение герба. Если после семи бросаний оказалось, что герб выпал пять раз, то.

Замечания. 1. Для вычисления относительной частоты необходимо фактически осуществить серию испытаний.

2. В разных сериях испытаний относительная частота принимает различные значения.

3. Как показывает практика, для некоторых испытаний и связанных с ними случайных событий относительная частота проявляет свойство устойчивости: при большом числе испытаний значенияколеблются в небольшом диапазоне.Именно такие испытания и события рассматриваются в теории вероятностей.