romanovskiy_romanovskaya_elementy_teorii_veroyatnostey

								n				= xi и ξ2 = y j ) .
q j = P(ξ2 = y j ) = ∑ P(ξ1
								i=1
Имеем:
	1		2			3			1			2		3
				1		1							1		1
x1 :		1						, x2 :		1						.
			3									2		6
	6					2			3

				M [ξ] = 1×																				1					+ 2 ×								1								+ 3 ×							1					=			7		= 2							1		;
							1															6												3																2									3									3
				M [ξ] = 1×																						1			+ 2 ×									1								+ 3 ×								1					=		11				= 1					5		;
							2															3												2																6									6											6
				D[ξ] = M [(ξ- m )																																				2																			2				- m					2		;
																																														] = M [ξ]
																																	ξ																																			ξ
																						1												1																1													1 2									5
				D[ξ] = 1×																									+	4 ×										+ 9 ×																	- 2											=								;
							1															6												3																2													3									9
																						1												1																1													5 2									17
				D[ξ2 ] = 1×																									+	4 ×											+ 9 ×																		- 1									=										.
																						3												2																6																						36
																																																															6
				σξ =														5		; σξ =																							17					.
																9
							1																						2											36
Коэффициент корреляции найдем по формуле
															M [ξ×ξ] - mξmξ
				rξξ =																		1								2																1				2						.
																										σξ ×σξ
				1			2
																														1										2
Имеем
M[ξ× ξ] =1×1×									1							+ 2 ×									1									+ 3 ×	1				+ 2 ×												1							+ 4 ×						1			+ 6 ×								1		+ 3×		1	+ 6 ×	1	+
1			2				18															9												6																12													6									4						36		18
+ 9 ×	1	=		77	.
				18
12
						77					-						7		×		11											77												-			77
Тогда rξξ = 18																3 6													=		18																18												= 0 .
			1	2						5						17																				5											17
												×																												×
							9									36																		9													36

Этот результат можно предвидеть, так как x1 и x2 независимы из условия.

111

Пример 21. Ниже приведены данные о заработной плате работников определенной отрасли. Было обследовано 100 человек.

Зарплата	190-	192-	194-	196-	198-	200-	202-	204-	206-
в	192	194	196	198	200	202	204	206	208
долларах
Число
человек	1	5	9	22	28	19	11	4	1
(ni)

Пусть случайная величина ξ – зарплата наугад взятого работника. Требуется для случайной величины ξ:

1.Составить выборочное распределение.

2.Построить гистограмму и график выборочной функции распределения.

3.Найти состоятельные и несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

4.Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95.

5.На основании анализа формы полученной гистограммы выдвинуть гипотезу о законе

распределения и проверить справедливость гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05.

Решение:

1. Составим таблицу 1 (см.§2 главы 6). Учитывая, что объем выборки n=100, получим

190-		192-			194-			196-			198-			200-			202-			204-			206-
192		194			196			198			200			202			204			206			208
1		5			9			22			28			19			11			4			1
100		100			100			100			100			100			100			100			100

112

2. Построим гистограмму (см. рис.28)

f*(x)

28 ∙

100

22 ∙

100

19 ∙

100

11 ∙

100

1009 ∙

5

100 ∙

4 ∙

100

1001 ∙

0∙

∙		∙					∙			∙		∙				∙	∙			∙					∙	∙
190		192			194			196			198			200			202			204			206			208		х

113

Для построения графика выборочной функции распределения (см. рис.29) составим таблицу 2 (см. §3 главы 6).

191		193			195			197			199			201			203			205			207
1		5			9			22			28			19			11			4			1
100		100			100			100			100			100			100			100			100

F*(x)

1	∙
99	∙
100
95	∙
100
84	∙
100
65	∙
100
37	∙
100
15 ∙
100
6	∙
100
1	∙
100∙		∙		∙		∙			∙	∙		∙		∙			∙	∙
0		191		193		195		197		199		201		203		205		207		х

3. Найдем оценки математического ожидания а* и дисперсии D*.

Если в качестве элементов выборки (40) взять середины интервалов βi, i=1,2,…,m, то формулы (42), (43)

114

примут вид

m

∑ β i n i

a * =

=

i = 1

,

x

n

m

∑ (β i

−

)2 ni

D * = S 2 =

x

i =1

,

n − 1

где ni – частоты попадания в интервал (даны в условии).

Тогда получим:

a* =

=

1

(191×1 +193× 5 +195 ×9 +197 × 22 +199 × 28 + 201×19 +

x

100

203×11+ 205× 4 + 207 ×1) = 198,96

D * = S 2

=

1

[(191 - 198 ,96 ) 2 ×1 + (193 - 198 ,96 ) 2 × 5 +

99

+(195 -198,96)2 ×9 + (197 -198,96)2 × 22 + (199 -198,96)2 × 28 +

+(201 -198,96)2 ×19 + (203 -198,96)2 ×11 + (205 -198,96)2 × 4 +

+(207 -198,96)2 ×1]= 1 [63,3616 +177,608 +141,1344 + 84,5152 +

99

+0,0448 + 79,0704 +179,5376 +145,9264 + 64,6416] = 9,453.

4.Построим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

В силу формул (44), (45) с р=0,95 имеют место интервальные оценки:

198,96 -	3,07		t0,975 (99) < a < 198,96 +			3,07		t	0,975 (99),
10					10
99 × 9,453				< D <	99 × 9,453		.
		χ 02,975 (99)			χ 02,025 (99)

По таблице квантилей (IV,V) найдем: t0,975(99)=1,99;

χ02,975 (99) = 130;

χ02,025 = 74.

115

Подставляя эти значения, получим:

с вероятностью 0,95 верны неравенства

198,96 − 0,61 < a < 198,96 + 0,61,

198,35 < a < 199,57,

7,1988 < D < 12,6466.

5. Построенная гистограмма по форме напоминает график плотности вероятности нормального распределения. Поэтому естественно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении случайной величины ξ. Проверим справедливость выдвинутой гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05. Тогда гипотетическая функция распределения случайной величины ξ имеет вид:

F(x) = 1 + Ф( x − a* ) . 2 σ*

Далее используем правило проверки гипотезы. 1. Вычисляем квантиль χ p2 (m − l − 1).

Имеем р=1-α=0,95, m=9, l=2.

По таблице IV приложения находим

χ02,95 (9 − 2 −1) = χ 02,95 (6) = 12,6.

2.По формуле (48) вычисляем Zвыб. Для этого удобно результаты вычислений вносить в следующую таблицу

	nk			1			5			9			22				28			19			11			4			1
	n		100			100			100			100				100			100			100			100			100
	Рк		0,002			0,0512			0,1158			0,2099				0,2548			0,2058			0,1106			0,0395			0,0094
			Вероятности попадания рi в интервалы будем
вычислять по формуле															β − a* ) − Ф(α − a* ).
							P(α < ξ < β) = Ф(
															σ*					σ*

Было получено а*=198,96, σ*=3,07.

116

p = p(190 < ξ < 192) = Ф(192 −198, 96) − Ф(190 −198, 96) =
1	3, 07	3, 07

=Ф(−2, 267) − Ф(−2, 918) = Ф(2, 918) − Ф(2, 267) = 0, 4982 − 0, 4962 =

=0, 002.

p2 = p(192 < ξ < 194) = Ф(194 −198, 96) − Ф(−2, 267) = 3, 07

= Ф(2, 267) − Ф(1, 616) = 0, 4982 − 0, 4474 = 0, 0512

p3 = p(194 < ξ < 196) = Ф(196 −198,96) − Ф(−1, 616) = 3, 07

= Ф(1, 616) − Ф(0,964) = 0, 4474 − 0, 3316 = 0,1158

p

= p(196 < ξ < 198) = Ф(

198 −198, 96

) − Ф(−0,964) =

4

3, 07

= Ф(0,964) − Ф(0, 312) = 0,3316 − 0,1217 = 0, 2099

p

= p(198 < ξ < 200) = Ф(

200 −198, 96

) − Ф(−0, 312) =

5

3, 07

= Ф(0,3388) + Ф(0,312) = 0,1331+ 0,1217 = 0, 2548

p

= p(200 < ξ < 202) = Ф(

202 −198, 96

) − Ф(

200 −198, 96

) =

6

3, 07

3, 07

= Ф(0,9902) − Ф(0,3388) = 0,3389 − 0,1331 = 0, 2058

p

= p(202 < ξ < 204) = Ф(

204 −198, 96

) − Ф(

202 −198, 96

) =

7

3, 07

3, 07

= Ф(1, 6417) − Ф(0, 9902) = 0, 4495 − 0, 3389 = 0,1106

p

= p(204 < ξ < 206) = Ф(

206 −198,96

) − Ф(

204 −198,96

) =

8

3, 07

3, 07

= Ф(2, 2932) − Ф(1, 6417) = 0, 489 − 0, 4495 = 0, 0395

p

= p(206 < ξ < 208) = Ф(

208 −198,96

) − Ф(

206 −198, 96

) =

9

3, 07

3, 07

= Ф(2, 9446) − Ф(2, 2932) = 0, 4894 − 0, 489 = 0, 0094

117

Zвыб = (0, 01- 0, 002)2					100					+ (0, 05 - 0, 0512)2 ×				100				+
				0, 002							0, 0512
+(0, 09 - 0,1158)2 ×				100					+ (0, 22 - 0, 2099)2				100				+
				0,1158
											0, 2099
+(0, 28 - 0, 2548)2				100				+ (0,19 - 0, 2058)2				100				+
											0, 2058
0, 2548
+(0,11- 0,1106)2				100		+ (0, 04 - 0, 0395)2					100				+
											0, 0395
0,1106
+(0, 01- 0, 0094)2				100			= 3, 2 + 0, 0027 + +0, 5748 + 0, 00002 +
0, 0094

+0, 2492 + 0,1213 + 0, 0003 + 0, 0005 + 0, 002 = 4,151 3. Окончательно имеем

Zвыб=4,151<12,6= χ 02,95 ,

что означает: гипотезу о нормальном распределении случайной величины ξ принимаем.

II.Задачи для самостоятельного решения

1.Непосредственное вычисление вероятностей

1.1.В магазин поступило 12 компьютеров, среди которых три имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых дефектов.

1.2.Из урны, в которой имеется 10 белых и 5 черных шаров берут наугад два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара – белые; б) оба шара – черные; в) шары одинакового цвета; г) шары разного цвета.

1.3.Студент выучил 40 вопросов из 50. Какова вероятность, что он правильно ответит на все три вопроса билета?

1.4.Из колоды 36 карт берут наугад 3 карты. Какова вероятность того, что они одинакового цвета?

1.5.В лотерее 1000 билетов, из них 100 выигрышных.

118

Какова вероятность того, что из пяти купленных билетов: а) нет ни одного выигрышного; б) хотя бы один выигрышный?

1.6.Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и помнил лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

1.7.В ящике мастера 20 годных деталей и 4 дефектных. Какова вероятность, что из двух взятых деталей хотя бы одна дефектная?

1.8.В ящике 10 деталей, из них 4 окрашены. Какова вероятность того, что из трех наугад взятых деталей: а) все три окрашены; б) две окрашены?

1.9. В ящике 10 деталей с номерами №1, №2, …, №10. Какова вероятность того, что среди взятых наугад трех деталей содержится: а) деталь №1; б) детали №1 и №2.

1.10.Какова вероятность угадать трехзначное число, если известно, что первая цифра равна 1?

1.11.Какова вероятность угадать четырехзначное число, если оно начинается цифрой 5 и остальные цифры разные?

1.12.Среди 17 студентов, из которых 8 девушек разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся: а) четыре девушки; б) четыре юноши?

1.13.В партии из 20 изделий четыре изделия имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад пяти изделий два изделия окажутся дефектными.

1.14.В группе из 12 студентов и 8 студенток случайным образом выбирают делегацию на конференцию. Найти вероятность того, что она будет иметь одинаковое представительство студентов и студенток, если делегация состоит: а) из двух человек; б) из четырех человек.

1.15.Среди 100 изделий 20 бракованных. Найти вероятность

119

того, что среди пяти наугад взятых изделий будет три бракованных.

1.16.На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Из них выбирают случайным образом три карточки и выкладывают одну за другой. Найти вероятность того, что получится: а) число 123; б) число, начинающееся с 2; в) число, не содержащее цифры 3; г) число, состоящее только из нечетных цифр; д) четное число.

1.17.Пять карточек, на которых написаны цифры от 1 до 5, тщательно перемешивают и затем выкладывают одну за другой. Найти вероятность того, что получится число: а) третья цифра которого – 4; б) которое начинается с 23; в) нечетное.

1.18.В лифт 6-этажного дома сели 4 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Найти вероятности следующих событий: А-все вышли на разных этажах; В - хотя бы два сошли на одном этаже.

1.19.Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города: а) три сбербанка; б) хотя бы один?

1.20.Два студента условились встретиться между 1200 и 1300, при этом пришедший первым ждет 15 минут и уходит. Какова вероятность встречи?

1.21.Плоскость разграфлена параллельными прямыми на расстоянии L см. На неё бросается монета радиуса R (2R < L). Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной прямой.

1.22.В квадрат вписан круг. Внутри квадрата наудачу выбирается точка. Найти вероятность того, что она не попадет в круг.

1.23.На отрезке [ – 2, 2] наугад выбираются две точки х и y. Найти вероятность неравенства Р (| x - y | ≤1).

120