romanovskiy_romanovskaya_elementy_teorii_veroyatnostey

Свойства плотности вероятности: 10. f (x) ≥ 0 при всех х.

β

20. P (ξ (α,β)) = ∫ f (x)dx

α

вероятность попадания в интервал равна заштрихованной площади (рис. 13).

f(x)

0

α

β

x

Рис. 13

30. Площадь S бесконечной фигуры, ограниченной графиком плотности f (x) и осью абсцисс, равна 1 (рис. 13):

S = 1.

Доказательство.

1.Это свойство вытекает из того, что предел неотрицательной функции неотрицателен.

2.Имеем

			P(x < ξ < x + x)			F(x + x) − F(x)	′
f (x) = lim					= lim		= F (x) .
			x			x
	x→0				x→0
Отсюда получаем
β
∫ f (x)dx = F (β) − F (α) = P(α< ξ< β) ;
α
учтено свойство 40 функции распределения.
	∞
3. S =	∫	f (x)dx = P(ξ (−∞,+∞)) = 1 .
				14243
−∞				Ω

Помнить: кривая плотности вероятности показывает, как суммарная вероятность 100% распределяется по интервалам.

41

Замечание. Рассмотрим два крайних случая (рис.14, 15). В первом случае с вероятностью, близкой к единице, случайная величина ξ принимает значения, близкие к х0, в этом случае можно без большой погрешности считать, что ξ- неслучайная величина: ξ ≈ х0. Во втором случае суммарная вероятность 100% приблизительно равномерно распределена по широкому спектру возможных значений, то есть в этом случае ξ сильно случайная величина.

f (x)

f (x)

0	x0	x	0	x
	Рис. 14			Рис. 15

Связь между f (x) и F(x)

Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина ξ с плотностью вероятности f (x) и функцией распределения F (x). Справедливы равенства

			x
10. F (x) = ∫ f (s)ds ;
			−∞
2	0	.	′
			f (x) = F (x) .
Доказательство.
1.			F ( x ) = P (ξ ( − ∞ , x )) =	x	по свойству плотно-
				∫ f ( x )d x

− ∞

сти вероятности.

2. Это свойство было доказано выше (см. доказательство свойства 20 плотности).

Пример. Берут наугад точку ξ на оси так, что значения на [0, 1] равновозможны, а остальные невозможны.

42

Найти: а) функцию распределения F(x); б) плотность

вероятности f(x).
Решение. а) F(x) – ?	[			]
Пусть	0	ξ 1			x

1.х ≤ 0: F (x) = P (ξ < x) = 0.

2.0 < x≤ 1: F (x) = P (ξ < x) = P ( – ∞ < ξ≤ 0 или 0 < ξ < x) =

=P( – ∞ < ξ ≤ 0) + P (0 < ξ < x) = 0 + x = x.

1

3.x > 1: F (x) = P (ξ < x) = P (ξ≤ 0 или 0 < ξ ≤ 1 или 1 <ξ < x) =

=P (ξ ≤ 0) + P (0 < ξ ≤ 1) + P( 1 < ξ < x) = 0 + 1 + 0 = 1.

Окончательно имеем

0,		если		x ≤ 0;
		если 0		< x ≤ 1;
F(x) = x,
		если		x > 1.
1,
б) f (x) – ?				′
		f (x) = F (x) , отсюда
	0,		если	x ≤ 0;
f (x) =				0 < x ≤ 1;
	1,		если
			если	x > 1.
	0,

F(x) 1

0

1

x

f (x) 1

S = 1

0

1

x

Замечание. Если график плотности вероятности имеет вид, изображенный на рис. 16, то говорят, что случайная величина ξ равномерно распределена на [a, b].

f (x)

1

b − a

S = 1

0

a

b

x

Рис. 16

График функции распределения для такой случайной величины имеет вид, изображенный на рис. 17.

43

F(x)

1

0

a

b

x

Рис. 17

Числовые характеристики

Напомним, что для дискретной случайной величины числовые характеристики определяются формулами:

n

mξ = x1p1 + x2p2 + … xnpn = ∑ xk pk ;

k =1

n

Dξ = M [(ξ – mξ)2] = ∑(xk − mξ)2 pk ;

k =0

σ= D .

ξξ

Числовые характеристики непрерывной случайной величины определяются формулами

	+∞		+∞
m =	∫	x f (x)dx ; D =	∫	(x − m )2		f (x)dx ; σ =		.
							D
ξ		ξ			ξ	ξ	ξ
	−∞		−∞

Эти величины имеют такой же смысл, как в дискретном случае: математическое ожидание характеризует центральное значение случайной величины, дисперсия и СКО – разброс относительно центра. Сохраняют, как можно доказать, все свойства математического ожидания и дисперсии, доказанные в дискретном случае.

Пример. Найти числовые характеристики для

равномерно распределенной на [a, b] случайной величины ξ. Решение. Имеем из замечания (рис.16)

	0 ,		если	x < a ;
	1
f ( x ) =		,	если	a ≤ x ≤ b ;
b − a				x > b.
	0 ,		если
			44

Тогда

+∞	1	b	1		x2
mξ = ∫ x f (x)dx =		∫ xdx =
−∞	b - a a		b - a	2

b

= b2 - a2 = a +b

2(b - a) 2

a

+∞

2

b

a + b

2

1

Dξ = ∫ (x - mξ )

f (x)dx = ∫

x -

×

dx =

−∞

a

2

b - a

1

b

2

(a + b)

2

=

∫

- (a + b)x +

x

4

dx =

b - a a

1

x 3

(a + b)x 2

(a + b) 2

b

=

-

+

x

=

b - a

3

2

4

a

1

b3

- a 3

(a + b)(b 2 - a 2 )

(a + b) 2 (b - a)

(b - a)

2

=

-

+

=

.

b - a

3

2

4

12

Следовательно,

D = (b - a) 2

σ = b − a .

mξ= a + b ,

,

(14)

2

ξ

12

ξ

12

Глава 3. Основные законы распределения

Рассмотрим законы распределения, наиболее часто встречающиеся в прикладных задачах, связанных с учетом случайных факторов:

1.биномиальный закон (закон Бернулли);

2.равномерный закон;

3.закон Пуассона;

4.показательный закон;

5.нормальный закон (закон Гаусса).

§1. Биномиальный закон

Дискретная случайная величина ξ называется биномиальной (подчиненной биномиальному закону распределения) с параметрами (n, p), если она принимает

45

значения 0, 1, 2, …, n и вероятности этих значений даются формулой

p	k	= P(ξ= k) = C k p k q n−k , k = 0, 1, …,		n, q = 1 – p,		p (0, 1).
		n
			n
		1. Проверим, что ∑ pk = 1 .
			k =0
Воспользуемся формулой бинома Ньютона:
			n	(Cnk = Cnn−k ) .
		(a + b)n = ∑Cnk a k b n−k
			k =0
Отсюда следует:
		n	n
		∑ pk = ∑ Cnk p k q n−k = ( p + q) n = 1n = 1 .
		k =0	k =0
		2. Числовые характеристики даются формулами
			Dξ = npq, σξ =
		mξ = np,		npq .		(15)

(будут доказаны позднее, см.§2 главы 5).

3. Наиболее вероятное значение биномиальной случайной величины k0 (pk = max) вычисляется из двойного неравенства:

np – q ≤ k0 ≤ np + p.

4. Пример биноминальной случайной величинычисло успехов в серии из n независимых испытаний. Здесь параметром р служит вероятность успеха при одном испытании.

§2. Равномерный закон

Непрерывная случайная величина ξ называется равно-

мерно распределенной на [a,b], если ее плотность вероятности дается формулой

	1		x [a, b],
		при
f (x) = b − a
	0	при	x [a, b],

график f (x) см. рис. 16.

1. График функции распределения F (x) см. на рис. 17.

46

2.Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины x даются формулами (14).

3.Примерпоказание рулетки.

§3. Закон Пуассона

Дискретная случайная величина ξ называется распределенной по закону Пуассона с параметром а, если она принимает любые целые неотрицательные значения и вероятности значений даются формулой

pk

= P(ξ = k) =

a k

e −a , k = 0, 1, 2, … .

∞

k!

1. Проверим, что ∑ pk = 1 .

∞

∞

k =0

∞

a

k

a

k

∑ pk = ∑

×e

−a = e −a ∑

= e

−a ×e a = 1.

k =0

k =0

k!

k =0

k!

2. Найдем числовые характеристики

k −1

∞

∞

k

∞

a

mξ = ∑ k × p k = ∑ k

a

e −a = a × e −a ∑

=

(k - 1)!

k =0

k =1

k!

k =1

∞

k

= a × e−a ∑

a

= a × e−a × ea = a .

k =0 k!

Аналогично можно доказать:

∞

Dξ = ∑ (k - a) 2 × pk = a .

k =0

Помнить mξ = a, Dξ = a, sξ =

a .

(16)

3. Примеры:

1)число отказов конвейера за фиксированное время t,

2)число вызовов, поступающих на АТС за фиксированное время t,

47

3)число пассажиров, входящих на станцию метро за фиксированное время τ,

4)число автомашин, прибывающих на автозаправочную станцию за фиксированное время τ.

4. Все перечисленные выше примеры можно охватить единой схемой, которую мы сейчас рассмотрим.

Последовательность событий, происходящих одно за другим, называется потоком событий. Поток событий называется регулярным, если события наступают в определенные заранее известные моменты времени, и случайным, если события наступают в случайные моменты времени. Далее будем говорить только о случайных потоках, слово "случайный" будем опускать.

Поток событий называется стационарным, если в каждую секунду наступает в среднем одинаковое число событий потока. Это означает, что математическое ожидание числа событий, наступающих в данную секунду равно математическому ожиданию числа событий, наступающих в следующую секунду.

Поток событий называется ординарным, если события происходят не одновременно, а одно за другим; более точно: если вероятность одновременного наступления двух или нескольких событий мала по сравнению с вероятностью наступления одного события в данный момент времени.

Поток событий называется потоком с отсутствием последействия, если информация о числе событий, наступивших в прошлом, не позволяет сделать никаких прогнозов о числе событий, которые наступят в будущем. Это свойство означает полную стихийность потока.

Поток событий называется простейшим, если он обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия.

Обозначим через λ– среднее число событий простейшего потока, наступивших за единицу времени. В силу свойства

48

стационарности l=const. Число l называется интенсивностью простейшего потока, является его полной характеристикой.

Обозначим x число событий простейшего потока, наступающих за фиксированное время t. Можно доказать, что случайная величина x подчинена закону Пуассона:

	pk	= P(ξ = k) =	a k	e −a , k = 0, 1, 2, …, где а = lt.
			k!

Очевидно, а – среднее число событий простейшего потока, наступающих за время t; то есть математическое ожидание числа событий, наступающих за время t. Рассмотренные выше четыре примера потока событий являются приближенно простейшими, если в качестве периода времени t взять промежуток времени, на котором имеет место стационарность потока. Поэтому при данном условии число событий за время t в этих примерах подчинено закону Пуассона с параметром а = lt.

§4. Показательный закон

Непрерывная случайная величина x называется показательной (подчиненной показательному закону распределения), если ее плотность вероятности дается формулой

	0	при	x < 0;
f (x) =			x ³ 0.
λe−λx		при

Число l называется параметром показательной случайной величины.

График плотности вероятности имеет вид.

f(x)

λ

0	x
	Рис. 18

49

1. Покажем, что площадь бесконечной фигуры S между графиком функции f (x) и осью абсцисс равна 1.

∞

λ

e

−λx

∞

S = ∫ λe− x dx

= λ

= 0 − (−1) = 1 .

0

− λ

0

2. Найдем числовые характеристики:

∞

∞

x = u

e

−λx

ν

mξ = ∫ x f (x)dx = λ∫ xe−λx dx =

dx = du

v

=

− e−λx

=

−∞

0

λ

λ

∞

1 ∞

1

∞

1

xe− x

λ

λ

∫ e

−

x

− x

=

λ−

+

dx

= −

e

=

.

0

0

λ

λ

λ

0

λ

Здесь учтено, что

lim xe−

λ

= lim

x

= lim

1

= 0 .

x

λeλx

x→∞

x→∞ eλx

x→∞

∞

∞

1 2

e−

λ

Dξ = ∫ (x − mξ )2 f (x)dx = λ∫

x −

x dx

=

−∞

0

λ

1

2

2

∞

λ

−

1

−λx

x−

=u e− xdx= dv

x

e

2

∞

1

λ

λ

λ

=

−λx

= λ−

+

∫ x−

e− xdx

=

1

e

λ

λ0

λ

2 x−

dx= du v = −

λ

λ

0

1

λ

1

∞

1

x −

= u e−

x dx = dv

λ

λ

=

+

2

x −

e

−

x dx =

=

2

λ

∫0

λ

dx = du

v = −

e

− x

λ

λ

1

λ

∞

x

−

e

−

x

∞

2e−λx

∞

1

λ

1

λ

1

2

=

+

2

−

+

∫ e− x dx =

−

−

=

2

2

2

2

λ

λ

λ0

λ λ

λ

0

0

50