romanovskiy_romanovskaya_elementy_teorii_veroyatnostey

возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

8.7.Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III – большой риск. Среди этих клиентов 50%- первого класса риска, 30% – второго и 20% третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0,01; второго – 0,03; третьего – 0,08. Какова вероятность того, что: а) застрахованный получит

денежное вознаграждение за период страхования; б) получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?

8.8.Страховая компания заключает однотипные договоры, причем страховая премия составляет 1 млн. рублей, а при наступлении страхового случая компания должна выплатить 20 млн. рублей. Известно, что страховой случай наступает примерно в 4% случаев. Фирме удалось застраховать 500 клиентов. Какова вероятность того, что доход фирмы будет: а) 100 млн. рублей; б) более 100 млн. рублей?

8.9.Торговая фирма продала 1000 единиц товара, получая прибыль по 50 тыс. рублей с каждой единицы. Гарантийный ремонт фирма осуществляет своими силами и терпит при этом убыток – около 200 тыс. рублей. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 будет заключен доход фирмы, если в среднем гарантийный ремонт приходится делать в каждом десятом случае.

8.10.После рекламной компании, проведенной в городе с населением 200 тыс. человек, строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, получила 50 заявок. Какова вероятность того, что в городе с населением 20 тыс. человек число заявок будет не менее пяти?

8.11.В среднем 20% пакетов акций на аукционе продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность

141

того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2 пакетов; б) не более 2; в) хотя бы 2 пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.

8.12.В страховой компании 10000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 рублей. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать 0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50000 руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

8.13.В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) не менее двух договоров.

8.14.Предполагается, что 10% открывающихся малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность?

8.15.У страховой компании имеются 10000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 500 рублей. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50000 рублей. Какова вероятность того, что: а) страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств, поступавших от клиентов.

8.16.Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

142

8.17.Сделано два высокорисковых вклада: 20 млн. в компанию А и 18 млн. в компанию В. Компания А обещала 40% годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,3, компания В обещает 30% годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,2. Составить закон распределения случайной величины – суммы вкладов, полученных от двух компаний через год. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

8.18.В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислить числовые характеристики этой случайной величины.

8.19.Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращаемых в срок кредитов из 5 выданных. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

8.20.В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1000 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размер выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

8.21.Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцам будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5; 0,6; 0,7. Найти числовые характеристики этой случайной величины и построить функцию распределения.

8.22.Текущая цена акций может быть смоделирована с по-

мощью нормального закона распределения с параметрами а = 15 ден.ед., σ = 0,2 ден.ед. 1. Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден.ед.;

143

б) не ниже 15,4 ден.ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден.ед. 2. С помощью правил трех сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

8.23.Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 20% рабочих дней она была

ниже 88 ден.ед.; а 75% – выше 90 ден.ед. Найти: а) математическое ожидание и СКО цены ценной бумаги; б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден.ед.; в) с надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине).

8.24.Годовой доход лиц, подлежащих налогообложению

(доход превышает уровень х0), достаточно хорошо описывается случайной величиной ξ, имеющей распреде-

ление Парето: F (x) = 1−		x		0	α
						при х > x0 > 0, а иначе
F (x) = 0, где х0, α > 3 –			x
			параметры. Найти плотность
распределения,	математическое						ожидание	и

дисперсию.

8.25.Рассматривается случайная точка (ξ1 , ξ2 ) , где ξ1 – по-

ставка сырья, ξ2 – поступление требования на него. Известно, что поступление сырья и поступление требования на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Определить: а) совместную плотность и функцию распределения случайной

точки (ξ1 , ξ2 ) ; б) плотности вероятности и функции

распределения составляющих ξ1 и ξ2; в) зависимы или независимы ξ1 и ξ2; г) вероятности того, что поставка сырья произойдет до и после поступления требования.

8.26.Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составит 1%, а среднее квадратическое отклонение оценивается как 0,5%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изме-

нится не более, чем на 2%. Задачу решить: а) с помощью

144

леммы Чебышева; б) с помощью неравенства Чебышева.

8.27.Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более, чем на 3%.

8.28.Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.

8.29.Вероятность того, что акции переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,8. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

8.30.Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля для страховых случаев отклонится от 0,1 не более, чем на 0,01 (по абсолютной величине).

9.Элементы математической статистики

Взадачах 9.1.-9.4. по данным выборки случайной величины ξ:

1) составить выборочное распределение;

2) построить гистограмму относительных частот;

3) построить выборочную функцию распределения;

4) найти состоятельные и несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии.

9.1. Выборочное обследование оплаты труда 50 работников предприятия дали следующие результаты:

214, 204, 212, 201, 190, 222, 226, 216, 228, 240, 224, 220, 200, 204, 240, 190, 218, 232, 254, 224, 204, 221, 256, 260, 228, 232, 204, 282, 230, 214, 242, 222, 260, 198, 216, 198, 232, 242, 216, 226, 208, 221, 202, 204, 222, 196, 222, 238, 224, 223.

145

9.2.В ходе проведения эксперимента получен следующий набор данных:

32, 26, 16, 44, 28, 40, 30, 31, 17, 30, 37, 32, 42, 31, 36, 49, 35, 21, 25, 40, 27, 25, 33, 34, 27, 43, 19, 23, 36, 48, 31, 35, 43, 32, 26, 35, 33, 45, 19, 22, 28, 49, 23, 32, 33, 27, 43, 35, 23, 44.

9.3.Результаты взвешивания 50 случайно отобранных пачек чая приведены ниже (в граммах):

150, 147, 152, 148, 149, 153, 151, 150, 149, 147, 153, 151, 152, 151, 149, 152, 150, 148, 152, 150, 152, 151, 148, 151, 152, 150, 151, 149, 148, 149, 150, 150, 151, 149, 151, 150, 151, 150, 149, 148, 147, 153, 147, 152, 150, 151, 149, 150, 151, 153.

9.4.Регистрация размеров продаваемой магазином мужской обуви дала следующие данные о 80 покупках:

39, 40, 38, 43, 41, 42, 40, 38, 41, 42, 41, 40, 42, 39, 41, 41, 36, 43, 41, 42, 38, 41, 40, 42, 41, 42, 42, 40, 41, 41, 39, 42, 40, 40, 39, 41, 39, 38, 40, 41, 41, 40, 40, 39, 42, 40, 43, 37, 40, 42, 43, 42, 38, 40, 40, 41, 41, 41, 40, 43, 42, 42, 39, 43, 41, 40, 43, 41, 42, 42, 39, 40, 43, 41, 42, 41, 42, 40, 41.

В задачах 9.5.-9.10. по сгруппированным данным

выборки случайной величины ξ найти:

1)состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии;

2)найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем р=0,95.

9.5. Данные о месячной зарплате служащих одного из предприятий (в условных единицах) заданы следующей таблицей:

	Зарплата	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
	сотрудников
	Кол-во	17	20	13	11	9
	сотрудников

9.6. С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской одежды проведено выборочное обследование определенных половозрастных групп детского населения и получено следующее

146

распределение количества детей по величине обхвата груди:

	Обхват
	груди,	54-58	58-62	62-66	66-70	70-74	74-78
	см
	Кол-во	21	43	59	62	26	14
	детей

9.7. Имеются следующие данные по времени, затраченному рабочими на обработку одной детали:

	Время	4-	4,5-	5-	5,5-	6-	6,5-	7-	7,5-	8-
	(мин)	4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5
	Число	4	14	55	92	160	96	61	11	2
	рабочих

9.8. Имеются следующие выборочные данные о распределении рабочих по стажу:

	Стаж
	работы,	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16
	лет
	Число	2	4	5	10	13	8	6	2
	рабочих

9.9. Выборочное обследование величин вклада в сбербанке по 100 лицевым счетам дало следующие результаты:

	Интервалы	50 и	50-	100-	500-	1000-	1500-	2000-	более
	вклада	менее	100	500	1000	1500	2000	5000	5000
	Число	5	10	15	30	25	10	5	3
	счетов

9.10. Рабочие одного из предприятий отрасли распределены по возрасту следующим образом:

	Возраст,	до 20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45 и
	лет							выше
	Число	20	70	30	80	90	60	50
	рабочих

147

9.11. В сводке представлены данные о росте выпуска продукции на предприятиях области (валовая продукция в отчетном году в процентах по отношению к предыдущему): 93, 100, 142, 90, 108, 97, 107, 87, 109, 101, 91, 137, 82, 103, 99, 138, 108, 138, 136, 109, 92, 103, 97, 103, 112, 81, 135, 107, 105, 134, 91, 121, 106, 111, 107, 106, 122, 125, 127, 126, 107, 112, 94, 116, 84, 104, 102, 104, 131, 141, 106, 137, 132, 129, 96, 112, 105, 106, 101, 124, 106, 114, 147, 113, 102, 131, 107, 95, 139, 133, 113, 107, 114, 124, 115, 110, 149, 128, 125, 117, 141, 113, 94, 120, 85, 133, 107, 116, 128, 104, 118, 119, 93, 110, 133, 122, 116, 107, 115, 123, 126, 118, 99, 118, 108, 117, 110, 95, 119, 109, 129, 118, 96, 108, 115, 89, 121, 116, 91, 127.

Требуется выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины ξ и проверить ее с помощью критерия Пирсона при уровне значимости α=0,05.

III.Задания для контрольной работы

1.Решить задачу, используя классическое определение

вероятности

1.1.Студенческая группа из 12 девушек и 8 юношей выбирает старосту и профорга. Какова вероятность выбрать двух юношей?

1.2.Из колоды в 36 карт берут наугад 2 карты. Какова вероятность, что они окажутся одинакового цвета?

1.3.В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 3 человека. Какова вероятность, что они мужчины?

1.4.В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

1.5.Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в двух из 30 магазинов, среди которых находятся и два известных вам магазина. Какова

148

вероятность того, что в течение месяца они оба будут проверены?

1.6.Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказалось три бракованных. Произведена выборка из пяти изделий. Найти вероятность того, что в выборке не будет ни одного бракованного изделия.

1.7.Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

1.8.Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны пять деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей две окажутся бракованными?

1.9.На склад привезли 50 ящиков комплектующих изделий для одного из видов ЭВМ, но среди них оказалось четыре ящика комплектующих для другого вида ЭВМ. Наудачу взяли шесть ящиков. Найти вероятность того, что в одном из этих шести ящиков окажутся некомплектные детали.

1.10.В партии из 15 однотипных стиральных машин пять машин изготовлены на заводе А, а 10 – на заводе В. Случайным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что две из них изготовлены на заводе А.

2.Решить задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей

2.1.Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?

2.2.Вероятность для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, получить контракт в стране А равна 0,4, вероятность выиграть его в стране В равна 0,3. Чему равна вероятность того, что

149

компания получит контракт хотя бы в одной стране?

2.3.Покупатель может приобрести акции 2 компаний

Аи В. Надежность 1-й оценивается экспертами на уровне 90%, а 2-й – 80%. Чему равна вероятность того, что обе компании в течение года не станут банкротами?

2.4.Покупатель может приобрести акции 2 компаний

Аи В. Надежность 1-й оценивается экспертами на уровне 90%, а 2-й – 80%. Чему равна вероятность того, что в течение года наступит хоть одно банкротство?

2.5.Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех накладных только две оформлены правильно.

2.6.На сахарном заводе один из цехов производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что 1 из 100 кусочков сахара разбит. Если вы случайным образом извлекаете 2 кусочка сахара, чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 1 из них будет разбит? Предполагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности отбора.

2.7.Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке продукции от первого из смежников равна 0,05, от второго – 0,08. Найти вероятность сбоя в работе предприятия.

2.8.Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.

2.9.Вероятность того, что книга имеется в 1-й библиотеке, равна 0,5, во второй – 0,7, в 3-й – 0,4. Какова вероятность наличия книги хотя бы в одной библиотеке?

2.10.Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9. Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное?

150