romanovskiy_romanovskaya_elementy_teorii_veroyatnostey

=− 12 + 22 = 12 .

λλ λ

Здесь, аналогично, учтено, что

Помнить:

mξ = 1 , Dξ = 12 ,

λ λ

			1 2		λ
lim x −					e− x	= 0 .
x→∞			λ
σ =	1	.				(17)
ξ

λ

3. Найдем функцию распределения F (x).

x

F (x) = P(ξ< x) = ∫ f (t)dt .

−∞

Пусть х ≤ 0: F (x) = P (ξ < x) = 0,

x>0: F ( x ) = P (− ∞ < ξ ≤ 0 + 0 < ξ < õ ) = P (0 < ξ< x ) = .

x

x

−

λ

e

− λt

x

λ

=

∫

f (t ) dt

= λ e

t dt =

= 1 − e − x .

λ

∫

− λ

0

0

0

Следовательно,

0

при

x

0;

F(x) =

− e−λx при

x > 0.

1

График F (x):

F(x)

1

0

x

Рис. 19

4. Примерами показательных случайных величин являются продолжительность телефонного разговора, время

51

безотказной работы автоматической линии. Имеет место следующий более общий результат.

Рассмотрим простейший поток событий. Обозначим Т промежуток времени между соседними событиями потока

(рис. 20).

	Т
			ось
соб.		след.	времени
	Рис. 20	соб.

Утверждение. Т – показательная случайная величина с параметром λ, равным интенсивности данного простейшего потока.

Доказательство. Вычислим функцию распределения F (x) случайной величины. Пусть:

1). х ≤ 0: F (x) = P(T < x) = 0;

123

Ο

2). x > 0: F (x) = P (0≤ T ≤ x) = Р (за время х более одного события) = 1 – Р (за время х ни одного события) =

		a 0		−a =1 − e−a =		λ
	1 −		e		1 − e−		x .
		0!
	Мы получили:
					0		при
				F(x) =	− e−λx		при
				1
	Отсюда следует
				′			0
				f (x) = F (x) =
						λe−λx

что и требовалось доказать.

x ≤ 0; x > 0.

при	x ≤ 0;
при	x > 0,

Мы использовали, что число событий простейшего потока с интенсивностью λ, наступающих за время х, является пуассоновской случайной величиной с параметром

а = λх.

52

§5. Нормальный закон

Непрерывную случайную величину ξ называют нормальной с параметрами (a, σ) и пишут ξ = N (a, σ), если ее плотность вероятности дается формулой

	f (x) =	1			−	( x−a)2
						2
					e	2σ .
		σ 2π

График f (x) изображен на рис.21.

f (x)

	0	a + 3σ x
a – 3 σ	a
	Рис. 21

Можно доказать:

1.Площадь бесконечной фигуры между кривой f (x) и осью абсцисс равна 1.

2.Параметры (a, σ) нормальной случайной величины

ξ имеют смысл математического ожидания и среднеквадратического отклонения (СКО):

mξ = a,			Dξ = σ2, σξ = σ.				(18)
	1		x − a
3. F(x) =		+ Ф				, где Ф (х) - функция Лапласа (12).
	2			σ

Следующие свойства 4-6 вытекают из 2,3 с учетом свойств функции распределения случайной величины и функции Лапласа.

4.		β − a		α − a	(19)
	P(α < ξ < β) = Ф		− Ф	.
		σ		σ

53

Действительно,

1

β− a

1

α − a

P(α < ξ < β) = F(β) − F(α) =

+ Ф

−

−Ф

=

2

2

σ

σ

β− a

α − a

= Ф

−Ф

.

σ

σ

5.P(| ξ − a |< ε) = 2Ф ε .

σ

Имеем

P(| ξ−a|<ε) =P(a−ε<ξ<a+ε) =Ф	a+ε−a	−Ф		a−ε−a		=
	σ			σ

=Ф ε +Ф ε =2Ф εσ σ σ

6.P(| ξ− a |< 3σ) ≈ 1 .

Всамом деле

P(| ξ − a |< 3σ) = 2Ф 3σ = 2Ф(3) ≈ 1.

σ

Значения нормальной случайной величины с практической достоверностью лежат в интервале (а ± 3σ) (рис 21) (правило трех сигм).

7. Примеры нормальных случайных величин

1.Показание измерительного прибора. В этом случае а – истинное значение измеряемой величины, σ характеризует точность прибора (называется среднеквадратической ошибкой прибора).

2.Размер серийно изготовляемой детали. В этом

случае а – размер детали по	ГОСТу, σ
характеризует точность технологии.

3.Величина анодного тока в электронной лампе.

4.Высота стебля пшеницы на поле, и т. д.

Помнить: нормальный закон широко распространен в природе и в практической деятельности человека, связанной

54

со случайными факторами. Причина этого будет объяснена в главе 5.

Замечание. Случайные величины ξ1, ξ2, … , ξn называются независимыми в совокупности (кратко: независимыми), если знание значений любой части из них не дает новой информации об остальных. Справедливо следующее утверждение: если случайные величины ξ1, ξ2, … , ξn независимы и нормальны с одними и теми же а, σ, то сумма ξ1 + … + ξn также нормальна, при этом имеет место формула:

			ξ +K+ ξ						ε
				n						n
P			1		− a	< ε		= 2Ф			.
			n						σ

Глава 4. Совместные распределения случайных величин

Пусть с испытанием связаны две случайные величины ξ1, ξ2. Будем кратко говорить: (ξ1, ξ2) – случайная точка на плоскости. Будем говорить, что (ξ1, ξ2) – случайная точка дискретного типа, если множество ее реализаций в результате испытания состоит из отдельных, изолированных точек, и непрерывного типа, если множество ее реализаций заполняет сплошь области на плоскости или всю плоскость. В основе изучения совместных свойств случайных величин ξ1, ξ2 лежит совместный закон распределения или, в других терминах, закон распределения случайной точки.

§1. Закон распределения случайной точки дискретного типа на плоскости

Совместное распределение двух случайных величин ξ1, ξ2 в дискретном случае задается перечислением всех возможных реализаций случайной точки (ξ1, ξ2) и указанием их вероятностей. Это удобно делать с помощью таблицы с двумя входами:

55

ξ2	y1		y2		…		yn
ξ1
х1	P11		P12		…		P1n
х2	P21		P22		…		P2n
…	… …		…				…
хm	Pm1		Pm2		…		Pmn
	m		n
При этом ∑∑ Pij					= 1 .
	i =1		j =1

Здесь хi (i =1, …, m) – всевозможные значения случайной величины ξ1, yj (j = 1, …, n)-

всевозможные значения случайной величины ξ2,

Pij = P (ξ1 = xi и ξ2 = yj).

Таблица показывает, как суммарная вероятность 100% распределена между значениями случайной точки.

По данной таблице можно найти законы распределения случайных величин ξ1 и ξ2. Значения случайных величин даны в таблице. Вероятности значений ξ1 вычисляются суммированием по строкам таблицы, то есть

n

pi = P (ξ1 = xi) = ∑ Pij .

j =1

Вероятности значений ξ2 вычисляются суммированием

m

по столбцам таблицы, то есть pj = P (ξ2 = yj) = ∑ Pij .

i=1

Обратное неверно. Закон распределения случайной точки восстанавливается по законам распределения координат только в случае, когда ξ1, ξ2 независимы.

Пример. В урне имеются три шара с номерами 1, 2, 3. Берут наугад из урны один за другим 2 шара. Обозначим ξ1 – номер 1-го шара, ξ2 – номер 2-го шара. Найти закон распределения случайной точки (ξ1, ξ2), законы распределения

случайных величин ξ1 и ξ2.

Решение. Найдем закон распределения дискретной случайной точки (ξ1, ξ2):

56

ξ2		1			2		3							P11 = P (ξ1 = 1 и ξ2 = 1) =
ξ1														= P (ξ1 =1) P (ξ2 = 1/ξ1 =1) =
					1		1				1
1		0												=	1	· 0 = 0.
					6		6				3
														3
2		1			0		1				1			P12 = P (ξ1 = 1 и ξ2 = 2) =
														= P (ξ1 =1) P (ξ2 = 2/ξ1 =1) =
		6					6				3
3		1			1		0					1		=	1	·	1	=	1	.
		6			6						3
														3		2		6
		1			1		1
		3			3		3

Аналогично находятся все остальные вероятности возможных значений случайной точки (ξ1, ξ2).

Законы распределения случайных величин ξ1 и ξ2, очевидно, имеют вид:

	1		2		3					1		2			3
ξ :		1	1		1			;	ξ :		1	1		1
1									2
			3		3							3
	3									3					3

§2. Закон распределения случайной точки непрерывного типа на плоскости

В непрерывном случае совместное распределение случайных величин ξ1, ξ2 не может быть задано (как и в случае одной непрерывной случайной величины ξ) таблицей, так как в этом случае вероятности отдельных реализаций случайной точки (ξ1, ξ2) равны нулю. Совместное распределение задается, как и в случае одной случайной величины, двумя способами: с помощью функции распределения F(х,у) и плотности вероятности f(х,у).

Функция распределения случайной точки (ξ1, ξ2) определяется равенством

F (x, y) = P(ξ1 < x, ξ2 < y)

57

Плотность вероятности случайной точки (ξ1, ξ2) определяется равенством

	f (x, y) = lim		P(x < ξ< x + Dx, y < ξ < y + Dy)
			1		2
					Dx × Dy
		x←0
		y→0
y					f(x,y)
						V=1
y							y
0	x			x
	Рис. 22				x	Рис. 23

Другими словами, плотность вероятности случайной точки (ξ1, ξ2) в точке (х,у) есть предел отношения вероятности попадания в заштрихованный прямоугольник (рис.22) к площади этого прямоугольника при условии, что прямоугольник стягивается к точке (х,у). Нестрого говоря, плотность вероятности случайной точки – вероятность попадания на участок с площадью единица.

Перечислим без доказательства основные свойства плотности вероятности f(х,у) (первые 4 из них аналогичны свойствам плотности вероятности f(х) одной непрерывной случайной величины, 5-е и 6-е указывают связь закона распределения случайной точки (ξ1, ξ2) с законами

распределения ее координат). 10. f (x, y) ≥ 0;

20. Вероятность попадания случайной точки в любую область D на плоскости дается формулой

P ((x1, x2) Î D) = ∫∫ f (x, y)dxdy .

D

30. Объем фигуры, заключенной между плоскостью

58

f (x, y)

(21)

и

хОу и графиком плотности (рис.23), равен единице: V = 1. 40. f (x, y) = Fxy' (x, y) .

50. Законы распределения координат случайной точки (ξ1,ξ2) восстанавливаются по совместному закону распределения по формулам

∞	∞
f1 (x) = ∫ f (x, y)dy ,	f 2 ( y) = ∫ f (x, y)dx	(20)
−∞	−∞
60. Совместный закон	распределения восстанав-

ливается по законам распределения координат только в случае, когда ξ1, ξ2 независимы. В этом случае верна формула

f (x, y) = f1 (x) × f 2 ( y)

Последнее равенство является необходимым достаточным условием независимости ξ1, ξ2.

Отметим, что функция распределения F(х,у) имеет смысл и в дискретном случае. В непрерывном случае при изучении совместных свойств случайных величин, как правило, удобнее пользоваться плотностью вероятности f(х,у).

Пример. Случайная точка (x1, x2) равномерно распределена в треугольнике со сторонами: х = 0, y = 0, x + y = 3.

Найти: совместную плотность f(x,y), плотности вероятности f1(x), f2(y) случайных величин x1, x2. Проверить

зависимы x1 и x2 или нет.

Решение. Так как случайная точка (x1, x2) равномерно распределена в треугольнике AOB (рис. 24), то f (x, y) = const для точек из DАОВ. Тогда, используя свойство 30, имеем

Sосн · h = 1, следовательно

			9	· h = 1, откуда h =				2	и
		2
	h						9
					2
							если (x, y) Î D;
O	B					,
					9
	3 y	f (x, y) =
A							если (x, y) Ï D.
				0,
3
x	Рис. 24	59

По формулам (20) находим:

y

∞

∞

f1 (x) = ∫ f (x, y)dy .

3

−∞

Если х Ï [0, 3], то f (x, y)=0 (рис.25)

и, следовательно, f1 (x) = 0.

Если хÎ [0,3], то f (x, y) =

2

, откуда

3− x

9

2

2(3 - x)

0

х

3 х

х

f1 (x) =

dy =

.

– ∞

9

∫0

9

Рис. 25

Окончательно,

2(3 - x)

f1

(x) =

,

x Î[0,3];

9

0,

x Ï[0,3].

Аналогично,

2(3 - y)

f 2

( y) =

,

y Î[0,3];

9

0,

y Ï[0,3].

Так как f1(x) · f2 (y) ¹ const, то равенство (21) не выполняется, следовательно x1, x2 статистически зависимы.

§3. Ковариация двух случайных величин. Коэффициент корреляции

1. Пусть с испытанием связаны случайные величины ξ1,ξ2 с числовыми характеристиками (а1,σ1), (а2,σ2).

Ковариацией случайных величин x1, x2 называется число

cov (x1, x2) = M [(x1 –

a1) (x2 –

a2)].

Из определения следует: в дискретном случае

cov(ξ,ξ) =

∑

p

ij

(x

i

- a

1

)(y

j

- a

2

).

(22)

1 2

i, j

60