romanovskiy_romanovskaya_elementy_teorii_veroyatnostey

Статистически зависимые и независимые величины

В математическом анализе изучаются жесткие зависимости между величинами, когда каждому значению одной величины отвечает определенное значение другой. Такие зависимости называются функциональными. Например, площадь круга функционально зависит от его радиуса:

S= πr2.

Втеории вероятностей изучаются слабые зависимости между величинами, когда значению одной величины отвечает разброс значений другой величины. Такие зависимости называются статистическими.

Определение. Пусть с испытанием связаны случайные величины ξ,η. Если для любой пары чисел a, b справедливо равенство

P ( ξ < a / η < b) = P (ξ < a),

то говорят, что случайная величина ξ статистически не зависит от η. Если хотя бы для одной пары a, b это равенство не выполняется, то говорят, что случайная величина ξ статистически зависит от η.

Определение статистической независимости имеет следующий смысл: ξ не зависит от η, если информация о значениях случайной величины η не позволяет высказать никаких новых суждений о случайной величине ξ.

Пример 1. Из урны берут один за другим два шара. Пусть ξ ,η – номера первого и второго шара. Очевидно, что номер η статистически зависит от номера ξ.

Пример 2. Из урны берут один за другим два шара, при этом перед взятием второго шара первый шар возвращают в урну и производится перемешивание.

В этом случае номер второго шара η статистически не зависит от номера первого шара ξ.

31

Замечание. Ранее мы вводили понятие "независимые события": событие А не зависит от события В, если

Р(А/В) = Р(А).

Очевидно, статистическая независимость случайных величин ξ ,η означает: для любых a, b событие ξ < a не зависит от события η < b.

§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины

Напомним, что дискретная случайная величина принимает отдельные изолированные значения.

Законом распределения дискретной случайной величины ξ называется таблица

x	x		K x			,
ξ : 1		2		n
	p2
p1			K pn

где x1 < x2 < … < xn – возможные значений величины ξ, а pk (k = 1, …, n) – их вероятности, то есть рk = P(ξ =хк ).

При этом должно выполняться равенство р1 + р2 + … + рn = 1. Это равенство означает, что при испытании одно из значений заведомо реализуется. Таблица показывает, как суммарная вероятность 100% распределяется по возможным значениям случайной величины. Отсюда термин "закон распределения".

Пример. Производятся три выстрела по цели. Вероят-

	ность попадания при одном выстреле равна			2	. Найти закон
				3
	распределения числа попаданий в цель.
	Решение. Имеем схему		Бернулли,		где успехом
		2
	является попадание в цель p =		, число испытаний n = 3,
		3

ξ – число успехов после трех испытаний. Требуется найти

32

закон распределения случайной величины x.

Пользуясь формулой Бернулли					pk					= P(ξ = k) = Cnk p k q n−k ,
найдем
					2				0			1								3			1
p0	= P(ξ = 0) = C30 ×										×									=							,
																							27
					3							3
	= P(ξ = 1) = C31 ×	2			1						3									6
p1				×								=										,
		3																27
					3
					2				2			1								12
p2	= P(ξ = 2) = C32 ×										×					=							,
												3								27
					3
				2 3							1									0			8
p3	= P(ξ = 3) = C30 ×									×										=						.
																							27
				3							3

	0		1		2		3
Итого ξ :				6		12		8
		1							.
	27		27		27		27

§3. Математическое ожидание дискретной случайной величины

При решении инженерных задач, связанных с расчетом случая, фундаментальную роль играют так называемые числовые характеристики случайных величин:

математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание имеет смысл центрального значения случайной величины. дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно центра. В этом и следующем параграфах мы изучим эти понятия для дискретной случайной величины.

Пусть ξ - дискретная случайная величина с законом распределения

x	x		....	x
1		2			n	.
	p2		....
p1				pn

33

Математическим ожиданием случайной величины x

называется число:

М [ x ] = mξ = x1· p1 + x2 · p2 + … + xn · pn

(сумма произведений возможных значений на их вероятности).

Пример 1.

	1		2		3		4		5
ξ 1			1		1		1			1						mξ
:
			5		5		5					1 2 3 4 5
	5									5

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =

m 3 .

ξ5

Мы видим: если значения ξ равновозможны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим возможных значений x.

Пример 2.

	1		2				3		4				5															m	ξ
ξ 1			1				1		1				6
:																	1 2							3 4						5
			10				10		10
	10												10
	mξ		= 1×		1		+ 2 ×			1		+ 3 ×			1		+ 4 ×		1		+ 5 ×				6			= 4 .
			10						10				10				10							10

Помнить: математическое ожидание характеризует центральное значение случайной величины с учетом возможных значений и их вероятностей: маловероятные значения вносят малый вклад в формирование математического ожидания, наиболее вероятные значения вносят основной вклад.

Свойства математического ожидания. 10. М [ a ] = а.

Математическое ожидание неслучайной величины равно самой величине.

20. М [ а x ] = a M [ x ].

Неслучайный множитель выносится за знак математического ожидания.

30. M [ x + h ] = M [ x ] + M [ h ].

34

Математическое ожидание суммы случайных величин

равно сумме математических ожиданий.
40.	Если x, h статистически независимы, то
	M [ x · h ] = M [ x ] · M [ h ].
Доказательство.
1. Имеем:			a		откуда получаем		ma = 1· a = a.
			a :	,
			1
2. Пусть
x	x		K x		ax		ax		K ax		,
ξ : 1		2		n	, тогда aξ :	1		2		n
							p2
p1	p2 K pn				p1				K pn

откуда М [ а x ] = ax1· p1 + ax2· p2 +…+ axn· pn = a M [ x ].

Для наглядности далее будем предполагать, что x, h принимают два возможных значения:

x			x			;
ξ :	1			2
			p2
p1
	x		+ y
3. x + h :		1		1
			p11

y

y

h :

1

2

.

q1

q2

x

+ y

2

x

2

+ y

x

2

+ y

;

1

1

2

p12

p21

p22

	2	2		2
M [ x + h ] = ∑ pij (xi + y j ) = ∑ pij xi + ∑ pij y j = I1 + I2 ;
	i, j=1	i, j=1	i, j=1
I1 = p11 x1 + p12 x1 + p21 x2 + p22 x2 = (p11 + p12)x1 + (p21 + p22)x2.
p11 + p12 = P(ξ = x1		иη = y1 ) + P(ξ = x1		иη = y2 ) =
	123	123	123	123
= P(ξ = x1	иη = y1 или y2 ) = P( AW) = P( A) = P(ξ = x1 ) = p1 ;
123	1442443
A	W

доказано: р11 + р12 = р1, аналогично получим: р21 + р22 = р2, тем самым I1 = p1x1 + p2x2 = M [ x ].

Также доказывается, что I2 = M [ h ].

4. В силу теоремы умножения для независимых

x × y x × y				2	x	2	× y x		2	× y	2
	1	1	1				1
событий имеем: x · h :	p1q1		p1q2		p2 q1			p2 q2				.

35

Тогда

M[ ξ · η ] = p1q1x1y1 + p1q2x1y2 + p2q1x2y1 + p2q2x2y2 =

=(p1x1 + p2x2) · (q1y1 + q2y2) = M [ ξ ] · M [ η ].

§4. Дисперсия дискретной случайной величины

Пусть
x	x		K x			;
ξ : 1		2		n
	p2
p1			K pn
mξ = x1· p1 + x2 · p2 + … +			xn · pn – математическое ожидание

ξ(центр);

ξ– mξ – отклонение ξ от центра;

(ξ – mξ)2 – квадрат отклонения ξ от центра. Очевидно,

(ξ – m )2		(x1	− mξ )	2	(x2 − mξ )	2	K (xn − mξ )		2
	:									.
ξ			p1		p2		K	pn

Дисперсией дискретной случайной величины ξ называется математическое ожидание квадрата отклонений от центра:

D[ ξ ] = Dξ = M[(ξ – mξ)2] = p1 (x1– mξ)2 + p2 (x2– mξ)2 +…+ + pn(xn – mξ)2.

												1		2				3						4		5
	Пример 1.								ξ :				1	1				1						1		1			,			m = 3,
																																ξ
														5				5						5		5
												5
D =		1	(1 − 3)2			+		1		(2 − 3)2 +									1	(3 − 3)2 +										1	(4 − 3)2 +				1	(5 − 3)2 = 2
ξ	5					5												5											5					5
	Пример 2.
			1			2			3					4				5
		ξ :				1			6					1				1						, m = 3, D									ξ	= 1.
			1																								ξ
						10			10					10
			10																10

36

Помнить: дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно центра с учетом возможных значений и их вероятностей.

Свойства дисперсии: 10. D [ a ] = 0;

20. D [ a ξ ] = a2 Dξ;

30. если ξ, η статистически независимы, то

D [ ξ + η ] = D [ ξ ] + D [ η ]. 40. Dξ = M [ξ 2 ] – mξ2 .

Доказательство.

Первое и второе свойства непосредственно вытекают из определения и соответствующего свойства математического ожидания (доказать самостоятельно).

30. D [ ξ + η] = M [(ξ + η – mξ + η)2] = M [(ξ + η – mξ –

– mη)2] = M [(ξ – mξ+ η – mη)2] = M [(ξ– mξ)2 + (η – mη)2 + + 2(ξ– mξ)(η – mη)] = M [(ξ– mξ)2 ] + M [(η – mη)2] + 2 M [ξ –

– mξ ]·M[η – mη] = Dξ +Dη +2(mξ – mξ)(mη – mξ) = Dξ +Dη, что и требовалось.

Здесь существенно использовалась статистическая независимость случайных величин ξ – mξ, η – mη.

40. Dξ = M [(ξ– mξ)2 ] = M [ξ 2 – 2 ξ mξ + mξ2 ] = M [ξ 2] –

– 2 M [ξ ]· mξ + mξ2 = M [ξ 2] – mξ2 .

Величина

σξ = Dξ

называется среднеквадратическим отклонением (СКО)

случайной величины ξ . Очевидно, σξ имеет тот же смысл, что и Dξ – характеризует разброс случайной величины относительно центра с учетом возможных значений и их вероятностей. СКО имеет ту же физическую размерность, что и случайная величина ξ.

37

§ 5. Закон распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины

Мы знаем, что закон распределения дискретной случайной величины ξ задается таблицей, в которой перечислены ее возможные значения и указаны их вероятности. Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в виде такой таблицы невозможно, так как в этом случае вероятности отдельных значений равны нулю.

Пример.

	Испытание: берут наугад точку ξ на
0 1	1 x числовой оси так, что значения на от-

3резке [0, 1] равновозможны, остальные

ξ–

непрерывная случайная величина.

Найдем

	1			благоприятная длина		0
P ξ =			=		=		= 0 .
						1
	3			вся возможная длина

Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан двумя способами:

1.с помощью функции распределения F (x);

2.с помощью плотности вероятности f (x).

Функция распределения

Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина ξ.

Зафиксируем произвольное число х. В

x	зависимости	от случая возможны
	три исхода испытания:
	ξ > x, ξ = x,	ξ < x.

Каждое из этих трех событий случайно, поэтому имеет смысл говорить об их вероятности. Обозначим

F (x) = P (ξ < x).

38

Функция F(x) называется функцией распределения случайной величины ξ.

F(x) 1

0

x

Рис. 11

Свойства функции распределения

10. 0 ≤ F (x) ≤ 1;

20. F (x) монотонно не убывает (рис. 11); 30. F (– ∞) = 0, F (+ ∞) = 1;

40. P (α<ξ< β) = F (β) – F (α).

Доказательство.

1.Это свойство вытекает из того, что вероятность любого события есть число, принадлежащее [0, 1].

2.Это свойство вытекает из того, что при увеличении х

интервал ( – ∞, х) расширяется, поэтому вероятность попадания в этот интервал не уменьшается.

3. F (– ∞) = P(ξ < − ∞) = 0 ,

14243

Ο

F (+ ∞) = P(ξ < ∞) = 1.

123

Ω

4. Имеем:	α	β	x

F(β) = P (ξ < β) = P(ξ < α или ξ = α или ξ (α,β)) =

=P (ξ < α) + P (ξ = α) + P (ξ (α, β)) = F (α) + 0 + P (α<ξ< β).

Отсюда вытекает требуемое равенство 40.

Замечание. Функция распределения F (x) имеет смысл и для дискретных случайных величин. Например, функция распределения случайной величины

39

ξ :	1	2	3
		0,25
	0,25		0,5

представляет собой кусочно-постоянную функцию, график которой изображен на рис. 12 (кружок означает, что в этом месте отсутствует точка на графике).

F (x)

1
0,5
0,25
0	1	2	3	x
		Рис. 12

Проверим это для случаев х >3, 2≤ х< 3. В первом случае имеем

F (x) = P (ξ < x) = P (ξ = 1 или ξ = 2 или ξ = 3) =

=P (ξ = 1) + P (ξ = 2) + P (ξ = 3) = 0,25 + 0,25 + 0,5 = 1.

Во втором случае

F (x) = P (ξ = 1 или ξ = 2) = Р (ξ = 1) + Р (ξ = 2) = = 0,25 + 0,25 = 0,5.

Оставшиеся случаи 1≤ х< 2, x<1 предлагаем рассмотреть самостоятельно.

Плотность вероятности

		[	]	Пусть с испытанием связана непрерыв-
0 x			x + х	x ная случайная величина ξ.

Плотностью вероятности случайной величины ξ в точке х называется предел отношения вероятности попадания в отрезок [x, x + x] к длине отрезка x при условии, что отрезок стягивается к точке х:

f (x) = lim	P(ξ [x, x + x])	.
x→0	x

Нестрого говоря, плотность вероятности – это вероятность попадания в отрезок длины 1.

40