Линейная, векторная алгебра. Аналитическая геометрия Конспект лекций Часть 1 Николаева

	То есть при вычислении определителя третьего порядка используются
определители второго порядка, причем																				a22					a23				– определитель матрицы, по-
																				a32					a33
лученный из A3						вычеркиванием элемента a11 (точнее, первой строки и первого
столбца, на пересечении которых стоит																				a		),					a21				a23				–	вычеркиванием эле-
																					11						a				a
																											31					33
мента a ,			a21			a22				– элемента a .
	12			a		a							13
			31				32
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дополнительным минором Mik																																		элемента aik квадрат-
ной матрицы A называется определитель матрицы, получаемой из A вычерки-
ванием i-ой строки и k -го столбца.
	ПРИМЕР.
	3	1																																				1		2 3
A										M	11	7,		M	12			5, M			21		1,								M	22	3.			A			4		5 0
2																																				3
	5			7																																			3	1 2
M11					5	0		10, M12						4	0			8, M13							4	5					19, M22							1		3		7
					1	2								3	2										3		1											3		2

и так далее: матрица третьего порядка имеет 9 дополнительных миноров.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим дополнением элемента aik квадратной матрицы A называется число Aik ( 1)i k Mik .

ПРИМЕР.

Для матрицы A :	A11 ( 1)1 1M11 7					A21 ( 1)2 1M21 1
2	A ( 1)1 2 M			12	5	A ( 1)2 2 M	22	3
	12					22
Для матрицы A :	A11	1 1 1	10 10,			A12 1 1 2 8 8,			и так далее.
3	A13	1 1 3	19 19, A22 1 2 2 7 7

Итак, с учетом сформулированных определений (1.3) можно переписать в

виде: A3 a11A11 a12 A12 a13A13 .

Перейдем теперь к общему случаю.

11

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем квадратной матрицы An порядка n называется число, которое записывается и вычисляется следующим образом:

		a11	a12	a1n
		a21	a22	a2n		n
An						a11A11 a12 A12 a1n A1n a1k A1k	(1.4)
						k 1
		an1	an2		ann

Равенство (1.4) называется разложением определителя по элементам первой строки. В этой формуле алгебраические дополнения вычисляются как определители n 1 -го порядка. Таким образом, при вычислении определителя 4-го

порядка по формуле (1.4) надо, вообще говоря, вычислить 4 определителя 3-го порядка; при вычислении определителя 5-го порядка – 5 определителей 4-го порядка и т.д. Однако если, к примеру, в определителе 4-го порядка первая строка содержит 3 нулевых элемента, то в формуле (1.4) останется лишь одно ненулевое слагаемое.

ПРИМЕР.
		3	0	0	0			2	0	0
		1	2	0	0		3 A11 0 A12 0 A13 0 A14 3					4	0
								1	4	0	3 2
		5	1	4	0							1	5
								3	1	5
		2	3	1	5

3 2 4 5 120

Рассмотрим (без доказательства) свойства определителей:

1. Определитель можно разложить по элементам первого столбца:

								n
				An a11A11		a21A21	an1An1	ai1Ai1							(1.5)
								i 1
		ПРИМЕР.
	3	4	5	6					2	3	1
	0	2	3	1	3 A 0 A 0 A 0 A 3							3 2		7	2
									0 7		2
	0	0	7	2	11	21	31	41						0	5
									0	0	5
	0	0	0	5

3 2 7 5 210

ЗАМЕЧАНИЕ. Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод: опре-

делитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

12

2. При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется:

A AT .

Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны.

3.Если в определителе поменять местами две строки (два столбца), то определитель изменит свой знак, не изменившись по абсолютной величине.

4.Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен нулю.

5.Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на число , то величина определителя умножится на это число. Отсюда, в частности, следует, что общий множитель любой строки

(столбца) можно выносить за знак определителя. Кроме того, определи-

тель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю.

6.Определитель, имеющий пропорциональные строки (столбцы), равен нулю.

7.Определитель можно разложить по элементам любой строки (любого

				n
столбца):	An ai1Ai1		ai2Ai2	ainAin aik Aik ,	i 1,2, ,n	(1.6)
или				k 1
				n
An a1k A1k			a2k A2k	ank Ank aik Aik ,	k 1,2, ,n	(1.7)
				i 1
Равенство	(1.6)	называется		разложением определителя по элементам
i-й строки.				разложением определителя по элементам
Равенство	(1.7)	называется
k -го столбца.

8.Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки

	n		n
(столбца) равна нулю, то есть при i j	aik Ajk	0 и	aik Ail	при k l.
	k 1		i 1

9.Определитель не изменится от прибавления ко всем элементам некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

10.Определитель произведения двух матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц: (A B) A B(A, B – квадратные

матрицы одного порядка).

13

2 7 3

ПРИМЕР. 4 14

6 0, так как элементы первой и второй строк

3 7 13

этого определителя соответственно пропорциональны (свойство 6).

Особенно часто при вычислении определителей используется свойство 9, так как оно позволяет в любом определителе получать строку или столбец, где все элементы, кроме одного, равны нулю.

ПРИМЕР.

	2		3		1		0			0	0	1 0					10	8	5		5
	4		1		3		5		(9)	10	8	3	5	( 1) ( 1)1 3
	5		0		2		7			1	6	2	7				1 6		7
																	11	14	2
	3		2		4		2			11	14	4	2
						3
						2
		10 4 5					( 1)				10	4	5 9	10 26		35 7
									9
2 1 3 7									2 1			3	7 2 1 6				10
			11 7		2						1	3	3	1	0	0

( 3)

( 3)

1 3	26	35	5	13	7
			2 2 5			20 5 100
2 1 ( 1)	6	10		3	2

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица A 1 называется обратной для матрицы A,

если она вместе с A удовлетворяет условию: A A 1 A 1 A E , где E – единичная матрица.

Из определения следует, что A и A 1 – перестановочные, значит, обратная матрица существует лишь для квадратной матрицы A (прямоугольные матрицы обратных не имеют).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица A называется невырожденной, если A 0. Если A 0, то A называется вырожденной.

14

		ПРИМЕР.
	1		1		2
A		2	2		4		,	A 0 по свойству 6 определителей, то есть	A – вырожден-
		0	3		7
ная.
B	1		7	,	B 3, значит, B – невырожденная.
		0
			3

ТЕОРЕМА. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем

одну.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим для определенности квадратную матрицу A третьего порядка:

a	11	a	12	a	13
A a21		a22		a23		.
		a32		a33
a31

			1			A	A	A
						11	21	31
	Покажем, что матрица вида	X			A12		A22	A32	является обратной для
				A
						A	A	A
						13	23	33

A (Aik	– алгебраические дополнения элементов aik матрицы A , i,k 1,2,3).
По условию A					– невырожденная,						т.е. A 0 X существует. Найдем
произведение A X , используя свойства 7,8 определителей:
	a11	a12	a13			A11		A21	A31
A X	a a a			1			A A		A
	21	22	23				12	22	32
	a a a				A		A A		A
	31	32	33				13	23	33

a11A11 a12 A12 a13A131 a21A11 a22 A12 a23A13A a31A11 a32A12 a33A13

a11A21 a12A22 a13A23 a21A21 a22A22 a23A23 a31A21 a32 A22 a33A23

a11A31 a12 A32				a13A33			(7)
a	A	a	A	a	A
21	31	22	32	23	33		(8)
a	A	a	A	a	A
31	31	32	32	33	33

A

1 0A 0

0	0			1		0	0
A	0				0 1		0
								.
0					0	0	1
	A

15

Аналогично доказывается, что X A E .

Следовательно, по определению матрица X является обратной для A .

Докажем единственность обратной матрицы.

Пусть невырожденная матрица A имеет две обратные: A 1					и A 1	. Тогда
по определению				1	2
		A A 1	E
						(1.8)
		1
		A 1 A E				(1.9)
		2
Умножим (1.8) слева на A 1	:	A 1 (AA 1) A 1E .
2		2	1	2

Используя свойство 2 умножения матриц и равенство (1.9), получим:

(A2 1A)A1 1 A21E EA1 1 A2 1E A1 1 A21.

Таким образом, обратная матрица единственна, что и требовалось доказать.

Обратная матрица для матрицы A n- го порядка имеет вид:

												A11					A21		A31			An1
															A12		A22		A32
					1				1														An2
				A								A13					A23		A33			An3 .
								A
															A		A		A				A
															1n		2n		3n					nn
ПРИМЕР. Найти матрицу, обратную для																						B	1		7
																								0	3	.
=3 1 существует.											1			3		7
						1											.
										3					0	1
Проверка:
			1			1 1				7 3							7			1 3			0		1	0
																												,
					3					3						0	1					0				1
							0												3				3		0
	1					1 3					7 1						7			1 3			0		1	0
										1							3					0				1	.
					3
							0								0				3				3		0

16

																																																					1				1	1
ПРИМЕР. Найти матрицу, обратную для																																														A								2			0	3
																																																											.
																																																						1			1	0
A				1			1								1												2	0		1			( 1)( 1)3 2																			2		1			4 0 A 1 суще-
				2			0								3												2	0		3
				1		1									0												1	1			0																					2		3
ствует.
						1 1				0								3							3 A					( 1)						2 1						1		1								1			A			( 1)		3 1			1					1						3
A ( 1)
11												1						0											21													1		0													31						0					3
						1 2								2			3							3				A		( 1)					2 2						1		1					1							A			( 1)		3 2							1	1						1
A ( 1)
12														1				0											22												1		0														32										2	3
						1 3						2 0																A		( 1)				2 3				1 1																	A			( 1)		3 3						1 1				2
A ( 1)																							2																									2
13												1					1												23									1					1														33									2		0
							1	3										1							3
A	1
														3				1						1				.
							4
														2				2							2
Проверка:
															1		3								1 3 1								1 1																			1	4				0 0
		1
A					A													3						1 1							2		0 3																					0			4 0				E.
															4																																					4
																		2							2 2						1		1 0																					0			0 4
Аналогично проверяется, что A A 1 E .
							КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
																		a11x1 a12x2 a1nxn b1
																		a21x1 a22x2 a2nxn b2																																																		(1.10)

an1x1 an2x2 annxn bn

17

Матрица, составленная из коэффициентов системы (1.10)

a11	a12	a1n
A a21	a22		a2n	,
	an2
an1			ann

называется основной матрицей системы (1.10), A – основной определитель

системы (1.10).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений называется Крамеров-

ской, если

1)число уравнений равно числу неизвестных;

2)основной определитель не равен нулю.

		x					b
			1					1
Рассмотрим матрицы	X	x2			и	B	b2			: Х – столбец неизвестных,
		xn					bn

В – столбец правых частей. Очевидно, что система (1.10) может быть записана в виде матричного уравнения

A X B.

(1.11)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность n чисел 1, 2, , n называется решением системы (1.10), если каждое из уравнений системы обращается в верное числовое равенство при подстановке в него чисел i вместо соответствующих переменных xi, i 1,2, ,n.

ТЕОРЕМА. Всякая Крамеровская система имеет решение, причем одно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию A 0. Значит, для основной матрицы А системы существует обратная матрица A 1 . Умножим (1.11) на A 1 слева:

A 1 (A X) A 1 B

(A 1 A) X A 1 B

X A 1 B

(1.12)

По формуле (1.12) определяется каждое из неизвестных xi, i 1,2, ,n, то есть находится решение системы (1.10), причем оно единственно, так как единственна обратная матрица A 1.

ЗАМЕЧАНИЕ. Способ решения системы (1.10) по формуле (1.12) назы-

вается матричным способом решения системы линейных уравнений.

18

ПРИМЕР. Решить систему уравнений матричным способом:

x y z 2

2x 3z 0x y 2

	1		1	1				2					x
A		2	0	3		,	B		0		,	X
													y	.
		1	1	0					2
													z

В предыдущем примере было показано, что A 4, значит, систему матричным способом решить можно. Там же была найдена обратная матрица

			1	3		1	3				x				3		1	3			2				3
	1													1
A					3	1	1			X	y					3	1	1				0				1	.
			4											4
					2	2	2									2	2	2				2				2
											z
Таким образом,				x 3,		y 1,		z 2.		Проверкой убеждаемся, что решение найде-
но верно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Матричный способ удобен, когда надо решить несколько Крамеровских систем, которые отличаются только правыми частями.

Вернемся к равенству (1.12). Из него следует, что

			A11		A21
		1			A22
	X		A12
		A
				A1n	A2n

поэтому

An1 b1								b1A11 b2A21 bnAn1							1
						1								1
	An2 b2							b1A12	b2A22 bnAn2							2	,
						A								A
	Ann bn							b1A1n	b2A2n bnAnn							n
x1		1	,	x2		2	, , xn			n	,					(1.13)

где A, i – определитель матрицы, полученной из	А заменой ее i-го
столбца на столбец правых частей системы (1.10) , i =	1,2,…,n . Формулы
(1.13) называются формулами Крамера.

РАНГ МАТРИЦЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором порядка k матрицы А называется определитель k -го порядка, составленный из элементов матрицы А, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов без изменения порядка их следования.

	1		2	3	4
ПРИМЕР. Рассмотрим матрицу A		5	0	6	1
						.
		2	3	4	5

19

Миноры первого порядка – каждый элемент матрицы A.
Миноры второго порядка:		1 2		,		1	3		,		0 1		,		2	4		,		2	4		и так далее.
		5 0				5	6				3 5				3	5				0	1

Матрица A имеет всего 18 миноров второго порядка.

	1 2		3		1	3	4		1 2		4		2	3	4
Миноры третьего порядка:	5	0	6	,	5	6	1	,	5	0	1	,	0	6	1	.
	2	3	4		2	4	5		2	3	5		3	4	5

Миноров четвертого порядка у этой матрицы нет.

ТЕОРЕМА. Если все миноры k -го порядка матрица А равны нулю, то равны нулю и все миноры старших порядков, если они существуют.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим минор порядка (k 1) . Это определитель (k 1) -го порядка, который ( по свойству 7 ) можно разложить по элементам некоторой строки (столбца ). В разложении будут алгебраические дополнения, которые с точностью до знака совпадают с минорами k - го порядка и по условию равны нулю. Поэтому равен нулю и рассматриваемый минор порядка (k 1). Аналогично равны нулю и миноры старших порядков (k 2),(k 3),…, если они существуют, что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы А называется такое целое число r, что среди ее миноров r-го порядка есть хотя бы один ненулевой, а все миноры порядка (r 1) равны нулю.

Из доказанной теоремы следует, что, другими словами, ранг матрицы – это наивысший порядок отличного от нуля минора.

Будем обозначать rA ранг матрицы A.

Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее миноры равны

нулю, то есть если матрица нулевая.
ПРИМЕР.											1		0	6
	1 2	3				0		0
												2 0		7
A	1 2	3		, r 1.	B		0	1		, r 1.	C				, r 2.
				A						B	3		0	8		C
		3					0	0
	1 2											4	0	9

20