Линейная, векторная алгебра. Аналитическая геометрия Конспект лекций Часть 1 Николаева

	0		0	1			1		2	0	4
								1	1	2	3
D		2	3	1		, r 3;	F					.
						D	0		1	2	1
		5	0	6
								1	0	4	2

Матрица F , очевидно, имеет ненулевой минор второго порядка, напри-

1 2

мер, , но все ее миноры третьего порядка – их всего 16 – равны нулю,

1 1

поэтому rF 2. Для того чтобы обнаружить этот факт без трудоемких вычислений, введем понятие элементарных преобразований.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарными преобразованиями матрицы называ-

ются следующие действия:

1)умножение любой строки на число 0;

2)перемена местами двух строк;

3)прибавление ко всем элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число 0;

4)отбрасывание нулевой строки;

5)отбрасывание одной из двух пропорциональных строк;

6)те же преобразования со столбцами.

ТЕОРЕМА. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. С их помощью всякую матрицу можно привести к диагональному виду, и ее ранг равен количеству ненулевых элементов на главной диагонали (без доказательства).

Покажем теперь, что ранг матрицы F из последнего примера равен 2.

1		2	0	4
	0	1 2		1		1	2 0	4		1	0 0	0		1	0
F									F							F .
0		1 2		1			1 2		1		1 2					2
						0		1		0		1		0	1
	0	2	4	2
При переходе от F к F1 и F2								использовались элементарные							преобразо-

вания 3), 5), 6): первую строку F прибавили ко второй и четвертой, затем отбросили две из трех пропорциональных строк; далее первый столбец F1 прибавили ко второму и четвертому с коэффициентами 2 и (-4) соответственно и два из трех пропорциональных столбцов отбросили. По теореме rF rF1 rF2 2.

Вычислить rF , очевидно, можно было, получив лишь матрицу F1, не выполняя дальнейших преобразований.

21

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

a11x1 a12x2 a1nxn b1
		a22x2	a2nxn	b2
a21x1					(1.14)

am1x1 am2x2 amnxn bm

	a		a12
		11
Матрица A	a21		a22
	a		a
		m1	m2

мы (1.14), а

a1n

a2n называется основной матрицей систе-

amn

	a11	a12	a1n		b1
	a21	a22	a2n		b2	– расширенной матрицей системы (1.14).
A
		am2	amn
	am1				bm

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений у нее более одного.

ПРИМЕР.

								3
x y 2	1	1				x
			, A 2					2				единственное решение системы,
	A
x y 1	1	1						1
						y
								2
x y 2	1	1			1 1	2
	A	,		A		3		, rA 1, r						2	решений нет,
													A
2x 2y 3	2	2			2 2

x y 2

2x 2y 4

1		1				1		1	2
A	2	2		,	A		2	2	4		, rA	1, r		1 решений бeсконечно много:
													A

y 2 x,x R.

22

ТЕОРЕМА. (Кронекера-Капелли, критерий совместности системы линейных уравнений) Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной (без доказательства).

ТЕОРЕМА (о числе решений). Пусть выполнены условия совместности системы линейных уравнений. Тогда, если rA n, где n – число неизвестных, то система имеет единственное решение. Если rA n, то система имеет бесконечное множество решений, при этом (n r ) переменных задаются свободно, тогда оставшиеся r переменных определятся единственным образом (без доказательства).

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система линейных уравнений вида

a11x1 a12x2 a1nxn 0

		a22x2	a2nxn		0
a21x1
					(1.15)

am1x1 am2x2 amnxn 0

называется однородной.

Однородная система всегда совместна, так как xi 0, i 1,2,...,n – ее ре-

шение. Такое решение называется нулевым или тривиальным.

ТЕОРЕМА. Для того чтобы система линейных однородных уравнений (1.15) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы r был меньше числа неизвестных n .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1) Достаточность: r n (1.15) имеет нетривиальное решение.

По теореме о числе решений система в этом случае имеет бесконечное множество решений, среди которых содержатся и нетривиальные.

2) Необходимость: (1.15) имеет нетривиальное решение r n .

Пусть r n , тогда по теореме о числе решений система (1.15) имеет единственное решение. Это решение тривиальное, что противоречит условию. Поэтому сделанное предположение неверно и r n .

23

СЛЕДСТВИЕ. Для того чтобы однородная система n уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее основной определитель был равен нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1) Достаточность: 0 система имеет нетривиальное решение.

Так как единственный минор n -го порядка равен нулю, то r n , значит, нетривиальное решение существует.

2) Необходимость: система имеет нетривиальное решение 0 . Если 0 , то не равен нулю минор n -го порядка основной матрицы, значит, r n и решение единственно, что противоречит условию.

МЕТОД ГАУССА

Этим методом можно решить любую систему линейных уравнений (1.14) или доказать, что она несовместна. Он состоит в последовательном исключении неизвестных системы (1.14) по следующей схеме: выписывается расширенная матрица системы A и приводится к наиболее простому виду – треугольному или виду трапеции – с помощью следующих преобразований над ее

строками:

1)перемена местами двух строк (уравнений);

2)умножение любой строки (уравнения) на число 0;

3)отбрасывание одной из двух равных или пропорциональных строк (уравнений) ;

4)прибавление к любой строке (уравнению) другой строки (уравнения), умноженной на число .

После выполнения преобразований возможны три случая:

а) A				0						. В этом случае A	эквивалентна треугольной матрице и
				0	0

r n, значит, решение системы единственно. Последовательно вычисляя неизвестные снизу вверх, находим решение системы.

24

б) A 0

				. В этом случае A	эквивалентна трапециевидной мат-

рице, значит, r n и система имеет бесконечное множество решений: (n r ) переменных перенесем вправо и будем считать их свободными (известными), тогда оставшиеся r переменных определятся единственным образом как функции свободных.

в) A				0					. В этом случае	rA r		, и система несовместна.
											A
				0		0	b 0
												2x1 x2 x3 3x4 2
														x3 7x4				3
												4x1							.
ПРИМЕР. Решить систему линейных уравнений:													2x 3x			x		1
																	4
													1	3
												2x 3x			2	4x 2x 3
													1					3	4

Выпишем расширенную матрицу и системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований над строками:

								( 2) ( 1)
			2 1		1	3	2							2 1			1	3			2
				4 0	1 7		3								0	2	3 1				1						2	1 1	3		2
				0 2	3	1	1								0	2	3		1	1							0	2 3	1		1
				2 3	4	2	3								0	2	3		1	1
Очевидно, что A 2								1		1			3				r 2,		r			r					2	по теореме
								2		3			1
						0

Кронекера-Капелли система совместна.

r 2, n 4, n r, значит, по теореме о числе решений система неопределенная, то есть имеет бесконечное множество решений и n r 2 – число свободных переменных.

25

Выпишем систему, соответствующую матрице и эквивалентную исходной:

2x x x 3x 2				.
	1	2 3	4
		2x2 3x3 x4 1

Перенесем в правую часть				переменные				x2 ,x3 , считая их свободными
(x1, x4 – зависимые переменные):
			2x 3x			2 x x
				1	4		2	3
				x4 1 2x2 3x3 .
			x	,x R
			2	3
Теперь подставим x4 в первое уравнение и выразим x1 через свободные
переменные:
2x1 2 x2 x3			3(1 2x2 3x3) 5 7x2				10x3.
x1		2,5 3,5x2	5x3
		R
x2								– общее решение системы.
x R
3
x	4	1 2x 3x
		2	3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением системы (1.14) называется реше-

ние, содержащее информацию обо всех неизвестных, в котором зависимые пе-

ременные выражаются как функции свободных.

Решение, полученное из общего при конкретных значениях свободных переменных, называется частным решением.

Например, частными решениями этой системы являются:

x1 19			x1 3
	1			3
x2		,	x2
				.
x3 4			x3 1
x	11		x	2
4			4

Сделаем проверку частного решения (для всех уравнений исходной системы!):

x1 3		6 3 1 6 2		верно
	3			верно
x2		12 1 14 3
x	1		6 3 2 1	верно .
3
x	2	6 9 4 4 3		верно
4

26

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ВЕКТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный отрезок (рис. 1).

B

A	А – начало, В – конец вектора AB.

Рис. 1

Так как вектор определяется его началом и концом, то можно сформулировать эквивалентное данному определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется упорядоченная пара точек.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Длина вектора AB – расстояние между его началом

и концом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаково направлены. При этом одинаково направленными называются векторы, лежащие на параллельных прямых и имеющие одинаковые направления.

Из этого определения следует, что точка приложения вектора значения не имеет, то есть вектор не изменяется, если его перемещать параллельно самому себе, сохраняя длину. Такие векторы называются свободными.

Если начало и конец вектора совпадают, он называется нулевым:

O – нулевой вектор: его направление не определено, а длина O 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых: a b .

Так как направление нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому другому.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.

27

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Линейными называются операции сложения векторов и умножения на число.

1. СЛОЖЕНИЕ

а) Правило параллелограмма (рис.2): начала a и b совмещаются в одной точке, и a b – диагональ параллелограмма, построенного на a и b .

a a+b

b

b

б) Правило треугольника (рис. 3): начало b совмещается с концом a, и a b направлен от начала a к концу b .

a b

a + b

b

Рис. 2

Рис. 3

в) Правило сложения нескольких векторов (рис. 4).

				a2
		a1
					a3
					a4
	a	a	a	a
	1	2	3	4

Рис. 4

Вектор an 1 a1 an замыкает ломаную линию, построенную таким образом: конец предыдущего вектора совмещается с началом после-

дующего и an 1 направлен от начала a1 к концу an .

2. УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением вектора a на число R называется вектор b a, удовлетворяющий условиям:

а) b a ;

б) b a;

28

в) b a, если 0 , b a , если 0 и b 0, если 0.

Произведение 1 a a называется вектором, противоположным

вектору a. Очевидно, a ( a) 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью a b называется сумма вектора a и

вектора, противоположного b: a b a ( b) (рис. 5).

a

a b

b

b

Рис. 5

и a b направлен от конца

Начала a и

b совмещаются в одной точке,

b к

концу a.

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ

1. a b b a

2. (a b) c a (b c)

3. (a b) a b

4. ( )a a a

5. ( )a ( a) ( a)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Результат конечного числа линейных операций над

векторами называется их линейной комбинацией:b

a

2

a ...

n

a , b

1 1

2

n

– линейная

комбинация

векторов

a1,...,an

с коэффициентами

i R,

i 1,..., n.

О

ПРИМЕР. Пусть М – точка пе-

ресечения медиан треугольника АВС,

а О – произвольная точка пространст-

ва. Представить OM как линейную

А

С

комбинацию

OA a , OB b ,OC c

(рис. 6).

М

В

Рис. 6

29

AB b a,	AC c a.			Так как точка пересечения медиан треугольника
делит их в отношении 2:1, считая от вершины, то																	из правила параллелограмма
						1
следует, что	AM	1	AB AC				b c 2a										.
						3
	3
								1							1				1
По правилу треугольника OM a AM											a						b			c, то есть OM – линей-
															3				3
								3
ная комбинация	a ,b ,c		с коэффициентами							1		,	1	,		1		.
													3
								3							3

ТЕОРЕМА 1. Пусть a и b – неколлинеарные векторы. Тогда любой компланарный с ними вектор c может быть представлен в виде

	c xa yb , x,y R ,		(2.1)
где коэффициенты (2.1) определяются единственным образом.
Представление вектора	c в виде (2.1) называется разложением		его по двум
неколлинеарным векторам.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1. Пусть среди a, b, c	есть два коллинеарных, например: c b	c yb ,
y R c 0 a yb.
2. Пусть среди a ,b ,c	коллинеарных нет, тогда совместим начала всех трех

векторов в одной точке. Построим параллелограмм, диагональ которого совпа-

дает с

c , а стороны параллельны пря-

мым, на которых лежат

a

и b (рис. 7).

b

c

В

Тогда

c OA OB,

но

a

А

О

OB b OB yb,

y R; OA a

Поэтому

Рис. 7

OA xa, x R.

c xa yb .

Докажем единственность разложения. Предположим, что

c

x1a

y1b

и c

xa yb.

Тогда,

вычитая

одно

равенство

из

другого,

полу-

a (x x) b (y y) . Если x

y y

чим:0

x 0 , то a b

1

a

b , что про-

1

1

1

x1 x

тиворечит условию. Теорема доказана.

30