Линейная, векторная алгебра. Аналитическая геометрия Конспект лекций Часть 1 Николаева

	ПРИМЕР. Показать, что уравнение																						x2 y2 5x 0								задает окружность
(то есть найти ее центр и радиус).
Приведем			данное					уравнение								к		виду (3.9), выделив								полный квадрат по пере-
менной x:
x2 5x y2 x2 2								5		x		25	y2					25		0 x				5	2 y2			5		2 O			5		,0			, R	5	.
							2				4						4															1						2
																								2				2					2
	ПРИМЕР. Написать уравнение линии центров окружностей
x2 y2 5x 0 и x2 2x y2 y 1.
	Найдем центр второй окружности:
	2				2		x 1							2			1				2	1	1 x 1				2					1	2			9
x		2x	y			y										y					1										y
																						4										2				4
																	2
				1			5
O2 1,						, O1					,0
				2
							2

Уравнение прямой (3.4), проходящей через две точки:

x 2,5		y		x 2,5		y	2x 14y 5 0.
1 2,5		0,5
			7		1

Эллипс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипс – совокупность точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Чтобы вывести уравнение эллипса, выберем пдск следующим образом: ось абс-

цисс проведем через фокусы F1

и F2 , а ось ординат – посередине отрезка F1F2

перпендикулярно

оси абсцисс.

Обозначим расстояние

между фокусами

F1 F2

2c, тогда

F1 c,0 ,F2 c,0 . Пусть M x,y

– произвольная точка, ле-

жащая на эллипсе, а 2a – сумма расстояний от точек на эллипсе до F1 и

F2 ,

У

2a 2c по определению эллипса.

M x,y

FM x c,y ,F M x c,y (рис. 27).

1

2

Запишем в виде уравнения свойство то-

чек, принадлежащих эллипсу, сформули-

рованное в определении:

F( c,0) О

F (c,0)

Х

x c

2

y2

x c

2

y2 2a

(3.11)

1

2

Рис. 27

51

(3.11) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к более простому (каноническому) виду. Для этого умножим (3.11) на сопряженное выражение:

x c 2 y2 x c 2 y2 2a

x c 2 y2

x c 2 y2

4cx 2a x c 2 y2 x c 2 y2

x c 2 y2

x c 2 y2

2cx

.

(3.12)

a

Сложим (3.11) и (3.12) и результат возведем в квадрат:

cx

c2x2

2 x c

2

2

2

2

2

2

y

2

a

x

2cx

c

y

2cx a

a

2

a

x2

a2 c2

y2 a2 c2

(3.13)

a2

Так как по определению a c, то есть

a2 c2

0, то обозначим a2

c2 b2 .

Тогда из (3.13) получим:

x2

y2

1

(3.14)

a2

b2

(3.14) – каноническое уравнение эллипса.

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению. Найдем точки пересечения с осями координат:

У

y 0 x a, x 0 y b.

B2

b

Из (3.14) следует, что

A1

F1

F2

A2

Х

x2

y2

x

a

y

b

a2

1,

b2

1

,

.

-a -c О c

a

Значит, эллипс расположен в прямо-

-b B1

угольнике со сторонами x a, y b.

Кроме того, из уравнения следует, что

он симметричен относительно OX и

OY . O 0,0

– точка пересечения осей

Рис. 28

симметрии – центр симметрии эллипса.

Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами.

52

OF1

OF2

c – полуфокусное расстояние,

OB1

OB2

b – малая полуось,

OA1 OA2 a – большая полуось эллипса и a2 b2 c2 (рис. 28).

Отношение полуфокусного расстояния к длине большой полуоси c a

называется эсцентриситетом эллипса. Он характеризует форму эллипса. Так как c a, то 0 1, и чем меньше , тем больше эллипс похож на окружность. Для окружности 0.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнение эллипса, центр которого O1 x0,y0 , а оси симметрии параллельны координатным осям, имеет вид:

x x	2		y y	0	2
0						1.	(3.15)
a2			b2

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка эллиптического типа отно-

сятся также мнимый эллипс

У

5

F2

-4 О 4 F1

-5

Рис. 29

	x2		y2	1 и точка	x2		y2	0.
	a2		b2		a2		b2

ПРИМЕР. Найти эксцентриситет

эллипса x2 y2 1 (рис. 29). 16 25

ХТак как b2 a2 , то фокусы лежат на

оси OY и поэтому b2 a2 c2 .

c2 25 16 9 c 3. b 5

ГИПЕРБОЛА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гипербола – совокупность точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы F1 и F2 , а ось ординат – посередине отрез-

ка FF перпендикулярно оси абсцисс. Тогда		F	c,0 ,F	c,0 – фокусы ги-
1	2	1	2

перболы (рис. 30). Пусть M x,y – произвольная точка, лежащая на гиперболе.

53

У

M x,y

F1 c,0		О	F2 c,0
		Рис. 30

F1F2 2c – расстояние между фокусами,

2a – модуль разности расстояний от точек на гиперболе до F1 и F2 , 0 2a 2c,

FM1 x c,y ,F2M x c,y (рис. 30).

ХЗапишем свойство точек, принадлежащих гиперболе, сформулированное в определении:

x c 2 y2

x c 2 y2

2a,

(3.16)

(3.16) – уравнение гиперболы в выбранной системе координат ( «+» – если разность расстояний положительна, и «–» – если отрицательна). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, умножим (3.16) на сопряженное выражение и выполним такие же действия, как при упрощении уравнения эллипса, после чего получим:

x	2 a2		c2	y	2	a	2	c	2	.	(3.17)
			a2

По определению a c a2 c2 0. Обозначим a2 c2 b2 , тогда (3.17) перепишется в виде:

	x2		y2	1,	(3.18)
	a2		b2

(3.18) – каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.

Из (3.18) следует, что гипербола симметрична относительно осей коорди-

	нат. Если x 0,		y2	1 , значит, точек пересечения с OY нет; если	y 0 , то
			b2

x a. Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гипер-

x2

болы. Кроме того, из (3.18) следует, что a2 1 x a . Точка пересечения

осей симметрии называется центром гиперболы. Ось симметрии, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. При этом фокальная ось также называется действительной (с ней гипербола пересекается), а ось симметрии, с которой гипербола не пересекается, называется ее мнимой осью.

c – полуфокусное расстояние, a – действительная полуось, b – мнимая полу-

ось. Отношение полуфокусного расстояния к длине действительной полуоси

называется эксцентриситетом гиперболы: c . Так как по определению a

c a, то 1.

54

				b
	Считая, что y 0,	x 0, из (3.18) получим, что	y			x2 a2 – уравне-
				a

ние части гиперболы, расположенной в первой четверти. Заметим, что при не-

ограниченном возрастании x x разность	x2 a2 x2	y	b	x, то
			a

есть при достаточно больших x гипербола приближается к прямой y b x, a

причем ординаты точек на ней меньше соответствующих ординат точек на этой

b

b

x. Прямая

y

b

x называется асимптотой гиперболы.

прямой:

x2 a2

a

a

a

У

Из симметрии гиперболы следует, что

то же самое происходит во второй,

b

третьей и четвертой четвертях. Поэто-

-c

-a О

a

c

Х

му y

b

x – также асимптота.

a

-b Итак, прямые y b x – асимптоты a

Рис. 31

гиперболы (3.18), а гипербола – кривая, состоящая из двух ветвей (рис. 31).

Если фокусы гиперболы лежат на OY , то ее уравнение имеет вид:

		x2		y2	1	(3.19)
		a2		b2

Гиперболы (3.18) и (3.19) называются сопряженными (рис. 31). Уравнения асимптот (3.19) такие же, как и для (3.18), но действительной является ось OY .

Если a b, то гипербола называется равносторонней: x2 y2 a2, y x

– уравнения ее асимптот (рис. 32 ).

Очевидно, в этом случае асимптоты

Уперпендикулярны. После поворота

осей координат на 45 против часовой стрелки, получим гиперболу, за-

y

a2

даваемую уравнением

.

2x

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если центр гипер-

-a

О

a

болы в точке O1 x0,y0 , а оси сим-

X

метрии параллельны координатным

осям, то уравнение гиперболы имеет

вид

x x

2

y y

0

2

0

1.

(3.20)

a2

b2

Рис. 32

55

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка гиперболического типа от-

x2 y2

носится также пара пересекающихся прямых: a2 b2 0.

ПРИМЕР. Найти координаты центра и написать уравнения асимптот ги-

перболы 9x2 16y2 90x 32y 367 0.

Приведем данное уравнение к виду (3.20):

9 x2 2 5x 25 25 16 y2 2y 1 1 367 0

9 x 5 2 16 y 1 2 225 16 367 0

9 x 5 2 16 y 1 2 576 x 5 2 y 1 2 1.

				64	36
Таким образом, O	5,1 – центр, а	y 1	6	x 5 y 1		3	x 5 – урав-
1		8			4

нения асимптот данной гиперболы.

ПАРАБОЛА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Парабола – совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, и фиксированной прямой, не проходящей через эту точку, называемой директрисой.

Чтобы вывести уравнение параболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ординат посередине между фокусом и директрисой (рис. 33).

Пусть расстояние между фокусом F и директрисой DK равно p. Тогда

	p						p				M x,y – произвольная точка на параболе, то по оп-
	F		,0		, D			,0		. Если
		2					2

ределению

Y

p

p

FM

KM

, K

,y

KM

x

,0

,

2

2

K

M

p

FM

x

,y

2

D О F

X

p 2

2

p 2

x

y

x

.

(3.21)

2

2

Рис. 33 (3.21) – уравнение параболы в выбранной системе координат.

56

Упростим его:

x2 px	p2	y2 x2 px	p2
4		4
	y2 2px,			(3.22)

(3.22) – каноническое уравнение параболы; p называется ее параметром.

Из уравнения следует, что парабола симметрична относительно OX и проходит через начало координат. Кроме того, если p 0, то x 0, поэтому кривая

лежит в правой полуплоскости и с ростом величины x y также растет. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной (рис. 34).

Y	Y
y2 2px	y2 2px

О		F	X	F		О	X

			Рис. 34
Если фокус параболы на оси ОУ (рис. 35), то ее каноническое уравнение
имеет вид x2 2py.
		Y				Y
			x2 2py
F
				О					X
О			X
						F
									x2 2py
			Рис. 35
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если вершина параболы в точке							O1 x0,y0 и ось сим-
метрии параллельна OX , то ее уравнение имеет вид				y y			0	2	2p x x	.
									0

57

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка параболического типа отно-

сятся также y y0 2 0 y y0 – пара совпадающих прямых;

y2 c2 y c – пара параллельных прямых; y2 c2 – пара мнимых параллельных прямых.

ПРИМЕР. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой x y 1 0 и точки F 3, 2 .

По определению множество точек, равноудаленных от данных точки и прямой,

является параболой. Пусть

M(x,y) – произвольная точка искомой параболы,

тогда

x 3 2

y 2 2 . Расстояние от точки M до прямой x y 1 0

FM

вычисляется по формуле (3.8): d

x y 1

. Из условия следует, что

2

2

x

2

2xy

y

2

2x 2y 1

FM

d2 x2 6x 9 y2 4y 4

2

x2 2xy y2

14x 10y 25 0 – уравнение искомого геометрического места

точек.

Если

оси

координат

системы

Y

X

У

XOY

повернуть на угол так,

чтобы одна из них стала парал-

лельна директрисе, а затем пере-

X

нести

начало координат в точку

-3 O

F

O – вершину параболы, то в но-

-2

x y 1 0

уравнение

вой системе XOY

параболы

будет

каноническим

y

2

(рис. 36).

2px

Рис. 36

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что, кроме окружности, эллипса, гиперболы, параболы и вырожденных случаев, указанных в замечаниях, других кривых второго порядка не существует.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

1. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ.

Пусть на плоскости задана пдск ХОУ. Будем называть ее “старой”. “Новая” система координат X OY получена из “старой” параллельным переносом осей в точку 0 a, b . Выясним, как связаны координаты (x,y) и (x ,y ) од-

ной и той же точки М в этих системах координат.

58

Так как

или

Y

M

Пусть i,

j – орты коорди-

Y

натных осей системы ХОУ,

j

.

j

X

а i ,

– системы X OY

Тогда

OM xi y j,

О

i

j

O

i

OO a i

b j, OM

X

x

i

y

j

y

j,

x i

так как i i,

j j

по опре-

Рис. 37

делению

равенства

векто-

ров (рис. 37).

OM OO OM , то

x x a

xiy j a x i b y j

y y b

x x a

(3.23)

y y b.

(3.23)– формулы параллельного переноса осей пдск.

Y	Y	2. ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ
	М	ОСЕЙ НА УГОЛ .
	X					полу-
		Пусть “новая” пдск X OY
N		чена из “старой” системы коорди-
	P	нат XOY	поворотом осей ОХ и
		ОУ на угол	(рис. 38) и М(х, у) –
О	X	произвольная точка в		системе

XOY . Выясним, какими станут ее координаты в “новой” пдск.

Рис. 38

Из рис. 38 очевидно, что

XOY

X OY

M x,y

M x ,y

sin

OP x cos ,x

OP x

,0

ON 0,y

ON

y cos

,y sin

или

2

2

ON y sin , y cos

59

Так как OM OP ON , то
				cos j
xi y j x	cos i x	sin j y	sin i y
	x x cos y sin			(3.24)
	y x sin y cos

(3.24) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие старые координаты точки через новые.

	cos	sin		,	x	, X		x		, то (3.24) мож-
Если обозначить T		cos			X
	sin				y			y

			1		cos	sin	и
но переписать: X TX		. Так как T 1,	то существует T		sin
						cos

		1
X			X	x x cos y sin	(3.25)
		T
				y x sin y cos

(3.25) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие новые координаты точки через старые.

ПРИМЕР. Каким будет уравнение пря-

Y

мой x y 1 0 после поворота коорди-

Y

X

натных осей на угол

?

45

4

X

2

x

2

y

x

О

(3.24):

2

2

x y 1 0

2

x

2

y

–

y

2

2

					2
x y 1 2x			1 0 x

	Рис. 39	2
		новое уравнение прямой (рис. 39).

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим систему линейных уравнений:

x 11x 12 y

(3.26)

y 21x 22 y

Каждой точке плоскости M x,y по формулам (3.26) можно поставить в соот-

		той же плоскости. При этом точка	N
ветствие единственную точку N x,y

называется образом точки M , а точка M – прообразом точки N . Кроме того,

60