Линейная, векторная алгебра. Аналитическая геометрия Конспект лекций Часть 1 Николаева

ТЕОРЕМА 2. Пусть a ,b , c – некомпланарные векторы. Тогда любой

вектор d может быть представлен в виде

d xa yb zc , x,y,z R , (2.2)

причем единственным образом.

Представление вектора d в виде (2.2) называется разложением его по трем некомпланарным.

Доказать самостоятельно.

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Осью называется направленная прямая.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом оси l называется единичный вектор l0 , направление которого совпадает с направлением оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортогональной проекцией точки М на ось l называ-

ется основание М1 перпендикуляра, опущенного из М на l.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортогональной проекцией вектора AB на ось l назы-

вается длина отрезка А1В1 этой оси, заключенного между ортогональными проекциями его начала и конца, взятая со знаком «+», если направление вектора AB1 1 совпадает с направлением оси, и со знаком «–», если эти направления противоположны (рис. 8).

	B	C
		F
A		D
			E
A1	B1	C1(D1) F1	l
			E1
		Рис. 8

прl AB A1B1 , прlCD 0, прl EF E1F1 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между вектором и осью называется угол, на который нужно повернуть в положительном направлении ось до совпадения ее направления с направлением вектора (положительным считается поворот против часовой стрелки).

		3
AB,l ,	CD,l		, EF	,l	(рис. 8).
		2

31

3

пр AB

AB

AB

cos 0, таккак

острый угол;

пр CD

CD

cos

0;

l

1 1

l

2

cos

прl EF

E1F1

EF

EF

cos 0, так тупой угол (рис.8).

Очевидно, проекцию вектора на ось можно найти по формуле

прl

AB

AB

cos ,

AB,l

.

Можно показать, что проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации их проекций:

		, R.
прe a+ b прe	a+ прe b,

В частности, проекция суммы векторов равна сумме их проекций:

прe a+b прe	a+прe b .

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат ХОY. Обозначим i – орт оси ОХ, j – орт оси OY. Выберем точку A, и пусть x,y – проекции ее на ОХ и OY,то есть координаты этой точки (рис. 9).

	Y				OA – радиус-вектор точки A и
					OA OA1 OA2 , но
		y
	A2		A		OA i,	i	1 OA1 xi.
	j	i	A1		Аналогично OA2 y j OA xi y j
	О			X
			x		– разложение			OA по ортам коорди-
					натных осей			i, j (разложение единст-
			Рис. 9		венно по теореме 1).
	Аналогично в пространственной системе OXYZ (i, j,k – орты коорди-
	натных осей) (рис. 10):
	OA OB OA3		OA1 OA2	OA3, OA1 xi, OA2 y j, OA3				zk OA xi y j zk

– разложение OA по ортам координатных осей (единственно по теореме 2).

32

Z

A3 z

A

k

O j A2 Y

i	y
A1
x	B

X

Рис. 10

Таким образом, если задана прямоугольная декартова система координат (пдск), то со всяким пространственным вектором OA можно связать три числа x,y,z (или два числа x,y, если вектор плоский), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по ортам координатных осей, а также являются проекциями этого вектора на координатные оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Координатами вектора OA в любой пдск называются коэффициенты в разложении этого вектора по ортам координатных осей.

Таким образом, можно дать еще одно определение вектора.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется упорядоченная тройка чисел (упорядоченная пара, если вектор плоский).

	ПРИМЕР. Если OA 2i 3j 4k ,	то	OA =(2,3,4) и наоборот, если
OB (4,3,2) , то OB 4i 3j 2k.
	Так как, с одной стороны, вектор – объект, имеющий длину и направле-
ние,	а с другой, – упорядоченная тройка	чисел, то, зная длину и направле-
ние,	можно определить его координаты	и	наоборот. Направление вектора

в заданной системе координат характеризуется его направляющими косину-

сами (рис. 11):

.

cos cos a,OX

, cos cos a,OY

, cos cos a,OZ

Пусть a x,y,z

x

y

z

a

x2

y2 z2 , cos

, cos

, cos

.

a

a

a

33

	Из этих формул очевидно следует ос-
Z	новное свойство направляющих коси-
a	нусов:
	cos2 cos2 cos2 1.
O	Если известны длина		a		и направ-
	Y
X	ляющие косинусы вектора, то его ко-
Рис. 11	ординаты вычисляются по формулам:

x a cos , y a cos , z a cos .

	Z		Пусть AB – произвольный вектор в сис-
	A xa,ya,za		теме OXYZ, OA,OB – радиус-векторы
	B xb,yb,zb		его начала и конца,
				A xA,yA,zA , B xB,yB,zB , (рис.12).
	O	Y
			Тогда
X
	Рис. 12			AB OB OA, OB xBi yB j zB k,
OA xAi yA j zAk		OB OA xB xA i yB yA j zB zA k				(см. свой-
ства	линейных	операций	над	векторами).	Таким	образом,

AB xB xA,yB yA,zB zA , то есть для определения координат вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (рис. 13).

	e2	Если e1,e2,e3 – базис, то e2,e1,e3 –
		другой базис, так как изменился поря-
	e1	док следования векторов.
		ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базис называ-
	e3
		ется прямоугольным декартовым, если
		базисные векторы взаимно перпенди-
	Рис. 13	кулярны и длина каждого равна 1.
	Такой базис принято обозначать	i, j,k .

Из теоремы 2 следует, что всякий вектор a может быть разложен по базису e1,e2,e3 , то есть представлен в виде: a x e1 y e2 z e3. Числа x, y, z

называются координатами a в базисе e1,e2,e3 .

34

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом на плоскости называется любая упорядочен-

ная пара неколлинеарных векторов.
Если e1,e2 – базис, то представление вектора в виде a x e1							y e2	на-
зывается разложением a	по базису e1,e2 и x, y – координаты a						в этом ба-
зисе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом на прямой называется любой ненулевой век-
тор этой прямой.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
Рассмотрим задачу: дан отрезок AB. Найти точку D , которая делит								AB
в заданном отношении k :		AD				k (рис. 14).
		DB

Z

A D

О

X

Рис. 14

Так как AD DB

Введем прямоугольную декартову систему координат (пдск) OXYZ, то-

гда A xA,yA,zA , B xB,yB,zB .

B Обозначим

Y	OA a, OB b, OD d

AD d a, DB b d.

(лежат на одной прямой) и AD k DB , то

AD kDB d a k b d						1 k d a kb d				a kb	. Переходя от это-
										1 k

го векторного равенства к равенству соответствующих координат, получим:

x

D

xA kxB

, y

D

yA kyB

, z

D

zA kzB

.

(2.3)

1 k

1 k

1 k

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если D – середина отрезка AB, то k 1, поэтому

x	xA xB	, y	ср		yA yB	, z	ср		zA zB	(2.4)
ср	2			2				2

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если k 0, k 1, то точка D лежит за пределами AB: так как AD kDB, то при k 0 AD DB.

35

В этом случае

AD

k

.

D

DB

Пусть

B

AD

A

k 2

2

AD

2

DB

AD 2DB (рис. 15).

DB

Рис. 15

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Скалярным произведением векторов a и b называет-

ся скаляр (число), равный

a

b

cos , a,b .

Скалярное произведение обозначается так: a,b

a

b

cos

или

b

cos .

a b

a

a

Так как

a

cos пр a (рис. 16) или

b

cos пр b ,

b

a

то a,b

b

b

прb a

a

прab .

Рис. 16

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1.a,b b,a – очевидно из определения.

2.a b,c a,c b,c .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

a b,c c прc a b c прca прcb c прca c прcb a,c b,c .

3. a,b a,b , R.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
а) 0 – очевидно.

б) 0. a a a,b a,b ; a,b abcos a,b .

36

в) 0. В этом случае

								a
a
					2
4. a,a			a					a

a a a,b ;

b

a,b

a

b

cos

a

b

cos a,b .

a,a .

Отсюда следует, что a, a 0 a O, a, a 0 a O.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

5.a b a,b 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

а) пусть a b cos 0 a,b 0.

б) пусть a,b 0

a

0

или

b

0, или cos 0.

В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что a b. В третьем слу-

чае		или	3	, то есть a b.
2		2

Используя свойства 4 и 5, составим таблицу вычисления скалярного произведе-

ния базисных векторов i, j,k :
	Скалярное	i	j	k
	произведение
	i	1	0	0
	j	0	1	0
	k	0	0	1

Пусть в некоторой пдск a xai ya

j za k,

b xbi yb

j zbk. Найдем скалярное

произведение этих векторов:

xaxb

2

a,b

xai ya j za k

xbi yb j zbk

i

xa yb

i, j

xazb i,k

yaxb j,i

ya yb

2

2

xaxb ya yb zazb.

j

yazb j,k

zaxb k,i

za yb k, j zazb

k

37

Таким образом, a,b xaxb ya yb zazb (2.5)

ПРИМЕР. Найти, при каком значении x векторы a x,0,2 , b 2,5,3

перпендикулярны.

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (свойство 5), поэтому найдем скалярное произведе-

ние по формуле (2.5): a,b 2x 0 6 0															x 3.
ПРИМЕР. Найти угол между биссектрисой																			AD и медианой AM ABC ,
если A 0, 1,0 ,B 2,1, 4 ,C 1, 3, 1 .
Так как		a,b				a					b				cos ,
		cos				a,b
то																.					(2.6)
							a						b
Найдем координаты векторов AD и AM . Точка M – середина BC, по-
1			5														1			5
этому по формулам (2.4) M		, 1,											AM						,0,		.
			2																	2
2																	2

По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника

CD

AC

k .

Чтобы найти k , вычислим длины AC и AB:

DB

AB

AC 1, 2, 1 , AB 2,2, 4

AC

1 4 1 6,

AB

4 4 16 2 6

1

DB

k

AB 2AC DB 2CD

2.

2

CD

Разделим отрезок CB в данном отношении по формулам (2.3):

xD		xB 2xC	0, yD				yB 2yC			5	,		zD						zB 2zC								2,
										3
	3							3														3
					5										2
отсюда			D	0,		, 2			AD			0,					, 2 .
					3										3
Заметим, что									Это замечание позволит нам не
	AM,AD 2AM,3AD .
иметь дело с дробями, так как
													0 0 30										3		5
2AM 1,0, 5 , 3AD 0, 2, 6 cos																														.
												26					40							13
																						2

38

	ПРИМЕР. Найти	a 2b	, если	a	1,	b	2,	a,b		.
									3

Воспользуемся свойствами 1–4 скалярного произведения:

						2				2					2					2	1
		a 2b				a 2b							a		4	a,b 4		b		1 4 2		4 4 13.
																					2
Отсюда	a 2b						13.

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как работа силы F по перемещению материальной точки вдоль вектора s вычисляется по формуле A Fs cos , то A F,s .

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тройка некомпланарных векторов a,b,c , имеющих

общее начало, называется правой (левой), если с конца третьего вектора c вращение первого вектора a ко второму вектору b по кратчайшему пути наблюдается против (по) часовой стрелки (рис. 17).

c

a,b,c – левая тройка,

a

b,a,c – правая тройка,

b

c,a,b – левая тройка.

	Рис. 17
	k
	i, j,k – правая тройка (рис. 18).
i	j
	Рис. 18

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением вектора a на вектор b на-

зывается вектор c, удовлетворяющий условиям:

1.	c a, c b (c перпендикулярен плоскости векторов a и b).
2.	Направление c таково, что тройка a,b,c – правая.

39

3.	c		a		b
						sin , a,b .

Векторное произведение обозначается так: c a b или c a, b .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Sпар ма a b .

Это следует из того, что площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон на синус угла между ними.

Заметим, что

			2					2				2	sin2				2				2	1 cos2				2				2					2				2	cos2				2				2		2
a b						a				b					a				b					a				b					a				b					a				b			a,b	.

Таким образом, длину вектора векторного произведения можно вычислить с помощью скалярного произведения по формуле

							2				2		2	(2.7)
a b					a				b			a,b	.

ПРИМЕР. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a 1,2,4 , b 0, 1,1 .

a		21;		2	2;		2.
	2		b			a, b

По формуле (2.7): S a b 21 2 4 38.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Направление вектора c можно также (кроме п.2) определить по правилу винта: направление вектора c совпадает с направлением поступательного движения винта в правой резьбой при вращении его в сторону поворота первого вектора a ко второму вектору b по кратчайшему пути (рис. 19).

a	c a b
	b
	b

a

c a b

Рис. 19

40