Линейная, векторная алгебра. Аналитическая геометрия Конспект лекций Часть 1 Николаева

Решение этой системы будет наименее трудоемким, если перейти к параметрическим уравнениям прямой (3.44):

x x0 mt					nt C z		pt D 0
y y	0	nt A x mt B y		0		0
		0
		pt
z z0
		Ax0 B y0 Cz0	D Am Bn C p t 0					(3.47)

1) Пусть Am Bn Cp 0. Это значит, что прямая не параллельна плоскости, а потому они имеют одну общую точку. Из (3.47) найдем

t Ax0 By0 Cz0 D

									Am Bn Cp
и по формулам (3.44) M x,y,z									– их точку пересечения.
Ax By					Cz			D 0
2) Пусть		0		0			0		. Это означает, что в (3.47) решений нет:
Am Bn Cp 0
выполнено условие			параллельности прямой и плоскости, при этом точка
A x0,y0,z0 ,	но не лежит в плоскости , значит, прямая и плоскость общих
точек не имеют.
3) Пусть	Ax By					Cz			D 0
			0		0			0	. Тогда любое t R – решение (3.47) и
	Am Bn Cp 0

система имеет бесконечно много решений: выполнено условие параллельности прямой и плоскости и точка A x0,y0,z0 , лежащая на прямой, лежит в плоско-

сти. Это значит, что прямая лежит в плоскости, то есть имеет с ней бесконечное множество общих точек.

ПРИМЕР. Найти		проекцию точки	M 3, 1, 4 на плоскость
2x 3y 4z 4 0	(рис. 53).
Пусть прямая		проходит через точку	М перпендикулярно плоскости

. Точка ее пересечения с плоскостью и будет искомой проекцией. В качестве

направляющего вектора s можно взять нормаль к плоскости	n	2, 3, 4 .
Напишем канонические уравнения прямой (3.45):

81

		M
n		s
		P
Рис. 53

x 3 y 1 z 4 . 2 3 4

Перепишем их в параметрическом виде (3.44), чтобы найти точку Р пересечения прямой МР и плоскости .

x 3 2t

y 1 3t . Подставим x,y,z в уравнение плоскости:

z 4 4t

2(3 2t) 3( 1 3t) 4(4 4t) 4 0 29t 29 t 1

x 1

y 2, то есть P 1,2,0 – искомая проекция.

z 0

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Уравнение F x,y,z 0 задает в пространстве некоторую поверхность.

Пусть уравнение содержит только две переменные, например, F x,y 0. Рас-

смотренное в плоскости XOY , оно задает некоторую кривую. Но ему будут удовлетворять и все точки пространства, которые проецируются в точки этой кривой, так как в уравнении отсутствует z, то есть все точки M x,y,z , у кото-

рых х и у связаны соотношением	F x,y 0, а z R – произвольно.
Z	ПРИМЕР. Построить поверх-
	ность x2 y2 1.
	На плоскости это уравнение задает
	окружность с центром О(0, 0) и R 1.
	В пространстве ему удовлетворяют
	координаты всех точек, проекция ко-
	торых на плоскость ХОУ лежит на

О1 Y этой окружности. Очевидно, что эта

	поверхность – круговой	цилиндр
X	(рис. 54).
	Цилиндрические поверхности бывают

не только круговыми.

Рис. 54

82

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической называется поверхность, полученная движением прямой, параллельной некоторому вектору, и пересекающей при движении некоторую кривую. При этом движущаяся прямая называется образующей, а кривая, которую она пересекает, называется направляющей цилинд-

рической поверхности.

Для поверхности x2 y2 1 образующая параллельна оси OZ (так как в уравнении z отсутствует), а направляющей является окружность в плоскости XOY .

ВЫВОД. Если уравнение поверхности содержит только две переменные, то оно задает цилиндрическую поверхность.

У поверхности F y,z 0 образующая параллельна OX , а направляющая ле-

жит в плоскости YOZ . Для поверхности F x,z 0	образующая параллельна
OY , направляющая в плоскости XOZ .
ПРИМЕР. Построить и назвать поверхности а)	z 1 y2	б) z sinx.

Эти уравнения задают цилиндрические поверхности. В первом случае направляющей является парабола в плоскости YOZ , а образующая параллельна OX (рис. 55). Во втором – образующая синусоида в плоскости XOZ , образующая параллельна OY (рис. 56).

Z

y 1 y2

ОY

X

Рис. 55

Z

			z sin x
				X
		О		Y
			Рис. 56

83

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поверхностью вращения называется поверхность, полученная в результате вращения плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости.

Из определения следует, что сечением такой поверхности любой плоскостью, перпендикулярной оси вращения, является окружность.

Пусть в плоскости YOZ задана кривая F y, z 0. y, z – координаты

точки в плоской системе координат YOZ . Эта кривая вращается вокруг оси OZ . Выведем уравнение поверхности вращения.

X

Но

	Z
	F y,z 0
О1	N y,z

M

ОY

Рис. 57

OM1 x2 y2 , O1N

Пусть M x,			y,z – произволь-
ная	точка		на поверхности,
O1 0,0,z		– центр окружности
сечения,		проходящего						через
точку	M , а		N		,		–	точка,
				y		z
лежащая		на кривой и одновре-
менно в		рассматриваемом се-
чении (рис. 57).
Тогда	OM O N – радиусы
	1		1

сечения.

y , z z.

Таким образом, уравнение поверхности вращения получим, если в урав-

нении

кривой y заменим

на

x2 y2 ,

а

z

– на z. Тогда получим:

F

,z 0 – уравнение поверхности вращения (OZ – ось вращения).

x2 y2

Очевидно, что если кривая

F y,z 0 вращается

вокруг OY , то уравнение

F y,

0.

поверхности вращения имеет вид:

x2

z2

Уравнение кривой

Ось вращения

Уравнение поверхности

F x,y 0

OX

F x,

0

y2 z2

F x,y 0

OY

F

,y 0

x2 z2

F x,z 0

OX

F x,

0

y2 z2

84

F x,z 0	OZ	F			,z 0
			x2 y2
F y,z 0	OZ	F			,z 0
			x2 y2
F y,z 0	OY	F y,				0
				x2 z2

НЕКОТОРЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Пусть эллипс

x

2

y2

1 вращается вокруг оси OY .

a

2

b2

Полученная поверхность является

Z

поверхностью

второго

порядка,

x2

z2

y2

a

так ее уравнение

1 –

a

2

b

2

второй степени относительно пе-

ременных x,y,z. Она называется

О

b

Y

эллипсоидом вращения (рис. 58).

a

Поверхность, задаваемая уравне-

x2

y2

z2

X

нием

1, называется

a2

b2

c2

Рис. 58

трехосным эллипсоидом.

2. Если гипербола

z2

y

2

1 вращается вокруг оси OZ , то уравнение

a2

b2

Z

поверхности вращения имеет вид

z

2

x2 y2

1

или

a

2

b2

x2

y2

z2

1.

b О b

Y

b2

b2

a2

X

Такая поверхность называется од-

нополостным гиперболоидом

вращения (рис. 59).

Рис. 59

85

3. Если гипербола

z2

y

2

1 вращается вокруг оси OY , то уравнение

a2

b2

поверхности имеет вид

x2

z2

y2

1 или

x2

y2

z2

1. Такая поверх-

a2

b2

a2

b2

a2

ность называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 60). Z

-b
О b	Y

X

Z

Рис. 60

4. Если пара пересекающихся

прямых

x2

y2

0

вращается

a2

b2

вокруг оси OY , то получается

конус вращения с уравнением

О

Y

x2 z2

y2

0

a2

b2

X

или

x2

y2

z2

0 (рис. 61).

Рис. 61

a2

b2

a2

Z

5. При вращении параболы

y2 2pz вокруг оси OZ получа-

ется поверхность x2 y2 2pz, которая называется эллиптиче-

О Y ским параболоидом вращения

(рис. 62).

X

Рис. 62

86

Библиографический список

1.Ефимов, Н.В. Квадратичные формы и матрицы / Н.В.Ефимов. – М.:

Наука, 1972. – 160 с.

2.Киркинский, А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие / А.С.Киркинский. – М.: Академический Проект, 2006. – 256 с.

3.Шипачев, В.С. Основы высшей математики / В.С. Шипачев. – М.:

Высш. шк., 1998. – 200 с.

4.Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики / В.Е.Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов. – М.: Высш. шк. 1978. – Т.2.

.

87

Редактор Компьютерная верстка

ИД 06039 от 12.10.01

Подписано в печать		Формат 60х84 1/16
Бумага офсетная. Отпечатано на дуплекаторе.
Усл.печ.л.		Уч.-изд.л.
Тираж	экз.	Заказ

Издательство ОмГТУ. 644050, Омск, пр-т Мира, 11 Типография ОмГТУ

88