-
Укажите достоинства и недостатки двух оконных функций – прямоугольного окна и окна Хэмминга.
Прямоугольный импульс в разложении по базису Фурье представляет собой функцию sinc(f) (т.е. sin(x)/x). Работая с дискретными функциями мы всегда работаем с тем или иным конечным интервалом отсчетов. Потому в FFT, например, разлагая функцию на составляющие по комплексным частотам мы раскладываем не на комплексные синусоиды, а на произведение комплексной функции на прямоугольную (вида -бесконечность... 0,0,0,0,...1,1,1,1,1... 0,0,0,0 ...+бесконечность). Эта вторая функция в практических расчетах есть всегда - это и есть наш интервал рассмотрения - окно. Такое разложение Фурье это уже будет немного отличаться от идиллистических случаев континуальных функций тем, что теперь каждая частота которая в преобразовании Фурье должна была существовать в одной точке - размывается. Становится функцией sinc(f). Даже очень дальние частотные отсчеты начинают влиять на другие. Что нарушает саму идею этого разложения, становится трудно учесть все влияния при реализации систем ЦОС или численных методов использующих Фурье в том или ином виде.
В итоге нужно сделать функцию окна более гладкой(они имеют более узкий и быстрее спадающий спектр). Таким образом ослабляется влияние одних частот на другие.
Но принудительно наложенная функция окна отличная от прямоугольной это уже модуляция(изменение) - и теперь прямая параллельная оси 0x (например функция постоянного напряжения) имеющая одну спектральную составляющую на 0-й частоте превращается в пульсирующую функцию с совершенно не искомым нами спектром. Возникает вопрос что важнее - частота или локализация. Приходится жертвовать тем или иным. Кстати эту же (математическую) природу носит так называемый корпускулярно-волновой дуализм.
Сами же окна "хемминга" - просто одни из реализаций гладкой функции окна отличающиеся степенью той самой гладкости и общим изменением мощности после их наложения. Поэтому нужно решить что важнее в конкретном случае частота-или временнАя локализация.
Отличие прямоугольных окон от окон Хемминга состоит в следующем: в окнах Хемминга боковые лепестки имеют большую мощность, в некоторых случаях это удобно. Когерентность прямоугольных окно стремится к 1, в то время как у Хемминга ближе к 0.54. Спектр у Хемминга шире чем у прямоугольных окон. Мощность сигнала выше у окон Хемминга, но при возникновении проблем с передачей и худшем случаем проблем с обработкой ситуация лучше у прямоугольных окон, виной этому чересчур большие боковые лепестки, которые так пагубно влияют на спектр при разложении в целом.
-
Из каких соображений выбирают длительность функции времени при оценке её спектра?
Спектры сигналов при импульсной модуляции. Найдем спектр одиночного прямоугольного импульса длительностью τ и амплитудой A при помощи интеграла Фурье:
При
изменении положения импульса во времени
его амплитудный спектр 
не
изменится, изменится лишь его фазовый
спектр. Пусть сигнал состоит
из последовательности таких прямоугольных
импульсов с периодом повторения T.
Тогда разложим его в ряд Фурье
Амплитудный спектр такого сигнала показан на рис.4.15.
Спектр последовательности импульсов имеет дискретный характер, а его огибающая соответствует спектру одиночного импульса (4.5.2). Дискретные значения частоты кратны частоте повторения
спектра последовательности импульсов определяется длительностью импульса и может быть расширена при ее уменьшении.