16. Суть бпф?

Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) – это алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем , требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющего сложность .

Дискретное преобразование Фурье для вектора , состоящего из N элементов, имеет вид:

элементы матрицы  имеют вид: .

Пусть N четно, тогда ДПФ можно переписать следующим образом:

Коэффициенты  и  можно переписать следующим образом (M=N/2):

В результате получаем:

То есть дискретное преобразование Фурье от вектора, состоящего из N отсчетов, свелось к линейной композиции двух ДПФ от  отсчетов, и если для первоначальной задачи требовалось  операций, то для полученной композиции — . Если M является степенью двух, то это разделение можно продолжать рекурсивно до тех пор, пока не дойдем до двухточечного преобразования Фурье, которое вычисляется по следующим формулам:

17. Как изменится дискретный спектр сигнала при дополнении сигнала нулями дискретное преобразование Фурье?

Рассмотрим процедуру вычисления спектра периодического дискретного сигнала. Так как сигнал периодический, будем раскладывать его в ряд Фурье. Коэффициенты этого ряда равны

В выражении (1.2) реальный масштаб времени фигурирует только в множителе 1/T перед оператором суммирования. При рассмотрении дискретных последовательностей обычно оперируют номерами отсчетов и спектральных гармоник без привязки к действительному масштабу времени и частоты. Поэтому множитель 1/T (1.2) удаляют, то есть считают частоту дискретизации равной единице. Удаляют обычно и множитель 1/N. Получившееся выражение называется дискретным преобразованием Фурье.

При дополнении спектра сигнала нулями меняется период сигнала на количество нулей. При этом выражение для вычисления спектра остается без изменений, но по ней рассчитывается в 2 раза больше количество гармоник с уменьшением в 2 раза частоты первой гармоники и шага =2/T. Увеличение интервала Т не влияет на результаты вычисления т к интервал продления заполнен нулевыми значениями сигнала.

Рис Повышение спектрального разрешения ДПФ при дополнении сигнала нулями: сверху - исходный сигнал и модуль его ДПФ, снизу - сигнал, дополненный 18 нулями, и модуль его ДПФ.

18. При получении дискретного спектра сигнал часто добавляют нулями. В каких случаях и зачем?

1 вариант ответа

С помощью процесса, называемого дополнением нулями, дискретно-временной ряд Фурье может быть изменен для интерполяции между N значениями исходного преобразования.

Дополнение нулями – методика, часто используемая для того, чтобы делать вход­ную последовательность равной числу по основанию два. В этой методике добавля­ются нули до конца входной последовательности так, чтобы общее количество вы­борок было равно следующему большему числу с основанием два. Добавление нулей к исходной вы­борке для обеспечения числа отсчетов с основанием два не улучшает основ­ную разрешающую способность по час­тоте, связанную с сигналом в области времени. Единственный способ улуч­шить разрешающую способность по ча­стоте для сигнала в области времени со­стоит в том, чтобы увеличить время получения исходной выборки или обес­печить более длинные отрезки времени между отсчетами. Дополнительно к приведению общего числа выборок к числу по основанию два так, чтобы стало возможным более быстрое вычисление на основе примене­ния БПФ к выборке с дополнением нулями, можно интерполировать результат применения БПФ, что может обеспечить более высокую разрешающую способ­ность по частоте на графике.

2 вариант ответа

Чтобы говорить о временном и частотном масштабах, необходимо знать, с какой частотой брались отсчеты анализируемого сигнала:

• Чтобы расширить полосу анализа, нужно увеличить частоту дискретизации Fs то есть брать отсчеты чаще.

• Чтобы улучшить частотное разрешение без изменения полосы анализа, нужно увеличить N, то есть анализировать более длинный фрагмент сигнала. При этом следует различать два возможных случая:

• длина сигнала увеличивается за счет дополнения нулями. В этом случае мы получаем тот же спектр, интерполированный к более частой сетке частот. Поскольку новых данных не добавляется, характерные параметры спектра, такие как ширина спектральных пиков, не меняются. Слова «улучшение разрешения» означают при этом только расчет спектра для большего количества частот.

• длина сигнала увеличивается за счет добавления новых данных, то есть мы действительно анализируем более длинный фрагмент сигнала. В этом случае получится новый спектр, а слова «улучшение разрешения» обретают реальный смысл — спектральные пики, соответствующие

содержащимся в сигнале гармоническим составляющим, станут более узкими.