3.4.3. Непрерывно действующие источники

Рассмотрим интегральный переход второго типа. Непрерывное действие источника имитируем серией мгновенных тепловых импульсов, следующих друг за другом. Предположим, что первый из этих импульсов произошел в момент времени θ = 0, принятый за начало отсчета. Второй, третий, i-тый импульсы происходили соответственно в моменты времени θ₁, θ₂,…θ_i. Нас интересует результат действия всех этих импульсов к моменту времени , который будем называть моментом наблюдения. Порция теплоты, внесенная за период времени –θ_i вызывает повышение температуры:

, (4.13)

где q – количество теплоты, выделяемой источником в единицу времени, Вт.

Все мгновенные точечные источники, следовавшие друг за другом с интервалом времени dθ_i вызовут в точке М(x,y,z) к моменту наблюдения  повышение температуры:

, (4.14)

учитывая значение функции F (R, t), запишем:

. (4.15)

Положив:

,

тогда:

, (4.16)

получим:

. (4.17)

Это выражение представляет собой решение тепловой задачи, код которой . Если процесс нагревания тела непрерывно действующим источником теплоты установился, то:

. (4.18)

Эти выражения позволяют составлять формулы для расчета температурных полей в неограниченном теле, возникающих под действием одно-, двух и трехмерных источников с различными законами теплообразования.

3.4.4. Интегральный переход третьего типа

Для того, чтобы получить формулу, описывающую процесс распространения теплоты от движущегося источника, необходимо выполнить третий интегральный переход. По сути, он является разновидностью второго. Следует лишь учесть, что расстояние R для движущегося источника является переменной величиной. Например, если источник движется вдоль оси Х со скоростью v , то:

, (4.19)

. (4.20)

Рассмотрим одномерный источник J₁cравномерно распределенной мощностью тепловыделенияq₁, Вт/м (рис. 4.3), движущийся из т.О₁по направлению стрелки со скоростьюv, м/с. Источник попадает последовательно в положения1, 2, .., i, .., каждый раз внося в тело элементарную порцию теплотыdQ₁на единице длины. Каждый из таких импульсов, например,i-й, можем рассматривать как мгновенный одномерный источник вспыхнувший и погасший на расстоянииR_iот точкиМ(х, у). Этот импульс в соответствии с формулой(4.11)вызовет в точке М элементарное повышение температуры:

, (4.21)

так как у_u = 0(источник лежит в плоскостиXOZ). Свяжем систему координат с движущимся источником. Пусть в момент наблюдения система с источником находится в точкеО.Тогда время распространения теплоты импульсаθ_iравно - θ_i, а абсцисса этого импульсаx_u = v ( -θ_i).

Рис. 4.3. Движущийся одномерный J₁ и двумерный (полосовой) J₂ источники теплоты

Далее заметим, что dQ₁ = q₁dθ_iи:

(4.22)

Все импульсы, которыми имитируется движение источника, дадут в точке М(x, y) общее повышение температуры:

(4.23)

Эта формула описывает температурное поле в тепловой задаче . Интеграл в этом выражении приводится к изученным функциям только при  , т. е. для задачи, код которой .