view

P4 (1) = C41 p1 q3 = 1!4!3! 0,7 0,33 = 4 0,7 0,027 = 0,0756;

P4 (2) = C42 p2 q2 = 2!4!2! 0,72 0,32 = 0,0441 6 = 0,2646;

P4 (3) = C43 p3 q1 = 3!4!1! 0,73 0,3 = 4 0,1029 = 0,4116;

P4 (4) = C44 p4 q0 = 4!4!0! 0,74 1= 0,74 = 0,2401.

5

Контроль: ∑ pi = 0,0081+ 0,0756 + 0,2646 + 0,4116 + 0,2401=1.

i=1

Теперь можно записать таблицу распределения:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,0081	0,0756	0,2646	0,4116	0,2401

Найдем функцию распределения вероятностей F(x) = P(X < x):

1)если x ≤ 0, то F(x) = 0;

2)если 0 < x ≤1, то F(x) = P(X = 0) = 0,0081;

3)если 1< x ≤ 2, то F(x) = P(X = 0 X =1) = 0,0081+ 0,0756 = 0,0837;

4)если 2 < x ≤ 3, то

F(x) = P(X = 0 X =1 X = 2) = 0,0081+ 0,0756 + 0,2646 = 0,3483;

5) если 3 < x ≤ 4, то F(x) = P(X = 0 X =1 X = 2 X = 3) = = 0,0081+ 0,0756 + 0,2646 + 0,4116 = 0,7599;

6) если x > 4, F(x) = P(X = 0 X =1 X = 2 X = 3 X = 4) = = 0,0081+ 0,0756 + 0,2646 + 0,4116 + 0,2401=1.

Построим график этой функции (рис. 4.1):

91

F(x) 1

0,7599

0,3483

0,0837

0,0081

0

1

2

3

4

х

Рис. 4.1

2) Определим числовые характеристики заданной случайной величины, исходя из соответствующих формул.

n

• M (X ) = ∑xi pi

i=1

M (X ) = 0 0,0081+1 0,0756 + 2 0,2646 + 3 0,4116 + 4 0,2401= 2,8;

• D(X ) = M (X 2) − M 2(X )

D(X ) = 02 0,0081+12 0,0756 + 22 0,2646 + 32 0,4116 + 42 0,2401−

−2,82 = 0,0756 +1,0584 + 3,7044 + 3,8416 − 7,84 = 8,68 − 7,84 = 0,84;

• σ(X ) = D(X ) = 0,84 = 0,916. 3) Далее, найдем

P(1≤ X ≤ 3) = P(X =1 X = 2 X = 3) = 0,0756 + 0,2646 + 0,4116 = 0,7518.

Затем определим M (У) и D(У). По условию задачи У = 4Х + 1. Следова-

тельно, исходя из свойств математического ожидания и дисперсии, получим:

92

M (У) = M (4X +1) = M (4X ) + M (1) = 4M (X ) +1= 4 2,8 +1=12,2;

D(У) = D(4X +1) = 42 D(X ) + D(1) =16D(X ) =16 0,84 =13,44.

4) Чтобы найти асимметрию и эксцесс, удобно составить следующую таблицу:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,0081	0,0756	0,2646	0,4116	0,2401
(X − a)3	(–2,8)3	(–1,8)3	(–0,8)3	0,23	1,23
(X − a)4	(–2,8)4	(–1,8)4	(–0,8)4	0,24	1,24

Используя данные таблицы, рассчитаем начальные моменты

n

νk = ∑xik pi : i=1

5

•ν1 = ∑xi pi = M (X ) = 2,8;

i=1

5

ν2 = ∑xi2 pi = 02 0,0081+12 0,0756 + 22 2646 + 32 0,4116 +

i=1

+42 0,2401= 8,68;

5

ν3 = ∑xi3 pi = 03 0,0081+13 0,0756 + 23 2646 + 33 0,4116 + 43 0,2401=

i=1

= 0,0756 + 2,1168 +11,1132 +15,3664 = 28,672;

5

ν4 = ∑xi4 pi = 04 0,0081+14 0,0756 + 24 2646 + 34 0,4116 + 44 0,2401=

i=1

=0,0756 + 4,2336 + 33,3396 + 61,4656 = 99,1144.

Далее, зная свойства начальных и центральных моментов, определим

центральные моменты:

• µ3 = ν3 − 3ν1 ν2 + 2ν13

µ3 = 28,672 − 3 2,8 8,68 + 2 2,83 = 28,672 − 72,912 + 43,904 = −0,336;

• µ4 = ν4 − 4ν1 ν3 + 6ν12 ν2 − 3ν14

93

µ4 = 99,1144 − 4 2,8 28,672 + 6 2,82 8,68 − 3 2,84 =

=99,1144 − 321,1264 + 408,3072 −184,3968 =1,8984;

Окончательно:

	A =	µ3	=	−0,336	= −0,437;	Э =	µ4	− 3 =	1,8984	− 3 = 2,696 − 3 = −0,304.
		σ3		0,9163			σ4		0,9162
	x					x

Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распре-

		0,	если	x ≤ −2,
			если − 2<x ≤ 2,
	деления F(x) = Ax3 + B,
		1,	если	x > 2.

Найти:

1)значения неопределенных коэффициентов А и В; плотность распределения f (x); построить графики F(x) и f (x);

2)вероятность того, что значения данной случайной величины находятся на интервале (0; 1);

3)математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

4)моду, медиану, асимметрию и эксцесс заданной случайной величины Х.

Решение. 1) для нахождения неопределенных коэффициентов А и В воспользуемся свойством непрерывности функции F(x) = P(X < x):

lim

F(x) = lim

F(x) = F(−2);

lim

F(x) = lim F(x) = F(2), причем

x→−2−0

x→−2+0

x→2−0

x→2+0

lim

F(x) = 0 и lim F(x) =1.

x→−2−0

x→2+0

В результате получаем: F(−2) = 0,

или −8 A + B = 0,

A =

1

;

B =

1

.

F(2) =1;

−8 A + B =1;

16

2

0,

если

x ≤ −2,

1

1

3

Итак,

F(x) =

x

+

,

если

− 2 < x ≤ 2,

16

2

x > 2.

1,

если

Функция плотности f (x) = F′(x), значит в нашем случае имеем:

94

		0,			если x ≤ −2 x > 2,
f (x) = 3		x	2	,	если − 2 < x ≤ 2.
16

Построим графики функций F(x) (рис. 4.2) и					f (x) (рис. 4.3):
F(x)					f(x)
1
1						3
2						4

•							•
–2	0			2													х						–2		0			2			х
Рис. 4.2																									Рис. 4.3
2) Вероятность				того,						что Х окажется													в		промежутке (0;			1),			равна
1		3					x3			1			1
P(0 < X <1) = ∫			x2dx =							=					= 0,0625.
	16											16
0				16						0
3) чтобы найти математическое ожидание и дисперсию, воспользуемся
						+∞
формулами:		M (X ) = ∫ xf (x)dx;																							D(X ) = M (X 2) − M 2(X ).
						−∞
								2				3								3 x4			2
Получаем:				M (X ) = ∫											x3dx =										= 0;
											16									16 4
										−2													−2
	2				3								3				x5		2	= 12;						12		12
M (X 2) = ∫ x2						x2dx =																			D(X ) =		− 02 =			.
												16																5
		−2		16											5				−2	5					5

4) Модой непрерывной случайной величины Х называется то ее значение, при котором плотность распределения максимальна. Однако функция

95

f (x) = 163 x2 не имеет максимума, т. к. f ′(x) = 83 x и f ′(x) меняет знак с «–» на «+» при переходе через точку х = 0, т. е. в точке х = 0 функция имеет минимум. Следовательно, заданное распределение моды не имеет.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется то ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, то есть P(X < Me) = P(X > Me) = 0,5. Исходя

из этого, решим уравнение:					1			Me3 +										1			= 0,5. Следовательно, медиана Ме = 0.
																		2
				16
Для определения асимметрии и эксцесса, находим:
• начальные моменты:
v1 = M (x) = 0;
	3			2			3						x5					2			12
v2 =				∫ x4dx =																	= 5	;
	16						16						5
				−2															−2
	3			2			3						x6			2
v3 =				∫ x5dx =																	= 0;
	16					16							6
				−2															−2
				2															2
	3						3						x7									24	48
v4 =				∫ x6dx =																	= 2	7 =	7 .
	16						16						7
				−2															−2

• центральные моменты:

µ3 = v3 − 3v1v2 + 2v13 = 0;

µ4 = v4 − 4v1v3 + 6v12v2 − 3v14 = v4 = 487 .

Отсюда:

A(X ) =

µ3

= 0;

Э =

µ4

− 3 =

µ4

− 3 =

25

− 3 = −

38

.

σ3

D2(x)

21

x

σ4

21

Задача 7. Автоматическая телефонная станция обслуживает 1000 телефонных точек. Вероятность того, что в течение 5 минут на АТС поступит вызов из телефонной точки равна 0,005. Найти закон распределения случайной величины Х – числа вызовов, поступивших на АТС в течение 5 ми-

96

нут, математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Данная случайная величина Х – число вызовов, поступивших на АТС в течение 5 минут, является дискретной и распределена по закону Пуассона. Значит, вероятность того, что случайная величина примет любое

значение, определяется по формуле Пуассона: Pn (m) = e−a am . m!

Закон распределения числа вызовов, поступивших на АТС в течение 5 минут, запишем в следующем виде:

Х

0

1

2

…

m

…

1000

Р

0,00674

0,03369

0,08422

…

e

−a am

…

e

−5 51000

m!

1000!

Замечание. Значения соответствующих вероятностей рассчитаны с помощью таблицы 1:

P

(m = 0) =

a = np =1000 0,005 = 5

= 0,00674;

100

m = 0

P

(m =1) =

a = np =1000 0,005 = 5

= 0,03369;

100

m =1

P

(m = 2) =

a = np =1000 0,005 = 5

= 0,08422.

100

m = 2

Далее, для распределения Пуассона математическое ожидание и дисперсию рассчитаем по формулам: M (x) = np = a = 5; D(x) = np = 5.

97

Глава 5 ТЕСТЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНАМ

	Вариант 1
Задача 1. Укажите правильную формулу для событий А и В
1) P(A + B) = P(A) + P(B);	2) P(A + B) < P(A) + P(B);
3) P(A + B) ≤ P(A) + P(B);	4) P(A + B) > P(A) + P(B);

5) нет правильного ответа.

Задача 2. У человека в кармане n ключей, из которых только один подходит к его двери. Ключи извлекаются без возвращения до тех пор, пока не появится нужный ключ. Какова вероятность того, что нужный ключ появится при втором извлечении?

	1)	1	;	2)	1		;	3)	C	2	;	4)	2	;	5) нет правильного ответа.
										n
		n			n!				n!				n

Задача 3. Для событий Н1, Н2, А в некотором случайном эксперименте известно: H1H2 = , p(H1) = 0,4, p(H2) = 0,6, p(A H1) = 0,3, p(A H2) = 0,5. Найти p(A).

	1) 0,42;	2) 0,75;	3)	5	;	4)	1	;	5) нет правильного ответа.
				6			3

Задача 4. Вероятность попадания в мишень равна 0,7. Производится 7 независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.

1) 0,7 0,36; 2) 1− 0,37; 3) 0,37; 4) 1− 0,77; 5) нет правильного ответа.

Задача 5. Различные элементы электрической цепи работают независимо друг от друга с вероятностями P(A1) = 0,6; P(A2 ) = 0,8; P(A3) = 0,7.

	А1
А2	А3

98

Найти вероятность безотказной работы системы:

1) 0,844; 2) 0,284; 3) 0,156; 4) 0,716; 5) нет правильного ответа. Задача 6. Вероятность того, что дом может сгореть в течение года, равна 0,01. Застраховано 500 домов. Какова вероятность того, что сгорит

не более 5 домов?
1) 0,616;		2) 0,384;		3) 0,192;		4) 0,308; 5) нет правильного ответа.
Задача 7. Случайная величина Х задана рядом распределения:
Х		4			5		8		10
Р		0,1			0,2		0,4		0,3
M (3X − 5) равно:
1) – 0,99;		2) 21,01;		3) 17,8;		4) 22,8; 5) нет правильного ответа
Задача 8.
	Х			– 1		0		1
	Р			0,2		1–2 р		р

Найти D(Z) для случайной величины Z = 3X 2 − 5.
1) 2,16;	2) – 2,84;	3) 3,6;	4) – 4,28; 5) нет правильного ответа.
Задача 9. Задана функция распределения F(x)								непрерывной случайной
величины Х. Найти неопределенные коэффициенты А и В.
			0,	если	x ≤ 0,
								1
				если	0 < x ≤				,
	F(x) = A − Bx3,							2
						1
			1,	если	x >		.
						2
1) A = 0; B =1;		2) A =1; B = 1 ;							3) A = 0; B = −	1	;
										8
				2
4) A = −1;	B = 1 ;	5) нет правильного ответа.
	2

99

Задача 10. Найти функцию плотности непрерывной случайной величины, если задана функция распределения:

							0,	если	x ≤ 0,
					1
						(1− cos x),		если	0 < x ≤ π,
			F(x) =		2
							1,	если	x > π.
		1	sin x,	если	0 ≤ x ≤ π,
1)
		2
	f (x) =
			0,	если	x < 0 x > π.
			0,	если	x < 0,
		1
2)			sin x,	если	0 ≤ x ≤ π,
	f (x) =	2
			1,	если	x > π.
				0,	если		x < 0,
		1
3)			(x − sin x),		если		0 ≤ x ≤ π,
	f (x) =	2
				1,	если		x > π.
				0,	если		x < 0,
		1
4)			(x − cos x),		если		0 ≤ x ≤ π,		5) нет правильного ответа.
	f (x) =	2
				0,	если		x > π.

Задача 11. Задана функция плотности вероятностей случайной величины Х:

										0,	если			x < 0 x >1,
							f (x) =
								Ax2 + x,			если			0 ≤ x ≤1.
Найти неопределенный коэффициент А и вероятность P																	1		< X <1	:
																2
1)	A =	5	; P =	1 ;				2) A =	2	; P =		1	;	3) A =	6	; P =		4	;
		6													5		5
				2				5			5
4)	A =	3	; P =		13		;	5) нет правильного ответа.
		2		16

100