view

ким образом, что каждый извлеченный шар возвращается на место. Найти вероятность того, что при 50 извлечениях белый шар попадает 40 раз.

8.Телефонная станция обслуживает 1000 абонементов. В некотором интервале времени любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,005. Найти вероятность того, что в этом интервале времени сделано не более семи вызовов.

9.Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Найти вероятность того, что из 800 готовых колец число непригодных заключено между 225 и 255.

10.Производится 21 выстрел по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,25. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.

31

Глава 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

1.Случайная величина Х задана рядом распределения:

	Х	1		2	3		4	5	6
	Р	0,1		0,15	0,25		0,25	0,15	0,1
Найти P{X < 2},			P{X > 5},		P{2 ≤ X ≤ 5}.

Отв.: 0,1; 0,1; 0,8. 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения ве-

роятностей:

Х	– 1	0	3
Р	0,1	0,3	0,6

Каково математическое ожидание случайной величины Y = 2Х?

Отв.: 3, 4. 3. Дискретная случайная величина задана законом распределения веро-

ятностей:

Х	– 1	2	4
Р	0,1	а	b

Ее математическое ожидание равно 3,3. Каковы числовые значения величин а и b? Отв.: а = 0,1; b = 0,8.

4. Случайная величина Х задана рядом распределения:

Хi	– 10	1	3	7
Рi	0,3	0,1	0,3	0,3

Каково М(3Х + 1)?

Отв.: 1, 3.

32

5. Случайная величина Х задана рядом распределения:

	Хi	2	3	5
	Рi	0,3	0,4	0,3
Найти D(Х).					Отв.: 2, 41.
6. Случайная величина Х задана рядом распределения:
	Хi	–5	2	3
	Рi	0,2	0,3	0,5
Найти D(2Х – 3).					Отв.: 37, 96.

7. Случайная величина Х равна числу, выпавшему на игральной кости. Считая, что все грани кости выпадают с равной вероятностью, найти М(Х).

Отв.: 3, 5. 8. Известны дисперсии двух независимых случайных величин D(X ) = 2,

	D(У) = 3. Найти дисперсию D(Х + 3У).																					Отв.: 29.
		9. Даны две случайные величины Х и У:
		Х			–2			0		1				У		0		1			2			4
		Р			0,2			0,3		0,5				Р		0,1		0,4			0,3			0,2
		Найти М(Х + 2У).																			Отв.: 3, 7.
		10. Даны две случайные величины Х и У:
					–1		0			1		2				У		0		1			2
		Х
		Р		0,2			0,3			0,1		0,4				Р		0,3		0,3			0,4
		Найти D(Х + У).																			Отв.: 2, 1.
		11. Пусть Х – случайная величина, число появлений герба при одном
бросании монеты. Сравнить M (X ) и σ(X ) .
																		Отв.: M (X ) = σ(X ) .
		12. Найти M (Z) и D(Z)										для случайной величины Z, если Z = 3X − 4У
и M (X ) = 2, D(X ) = 3, M (У) = 6, D(У) = 5.
																			Отв.: – 18, 107.

33

13. Случайная величина Х принимает два значения С и –С, каждое с вероятностью 0,5. Вычислить среднее квадратичесвое отклонение этой величины. Отв.: С.

14. Случайная величина Х задана функцией распределения:

	0,	если	x < 0,
		если	0 ≤ x ≤1,
F(x) = Ax2,
	1,	если	x >1.

Найти неопределенный коэффициент А и вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значения, принадлежащие

промежутку 1;	2	.			Отв.: A =1; p =	5	.
3	3					36
15. Случайная величина Х имеет функцию распределения:
			0,	если	x <1,
				если	1≤ x ≤ e,
		F(x) = ln x,
			1,	если	x > e.
Найти M (X ).					Отв.: е –1.
16. Случайная величина Х задана функцией распределения:

0, если x ≤ −1;

	1		1
		x +		,	если	−1< x ≤ 2;
F(x) =	3		3
						x > 2.
			1,		если

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значе-

ние, заключенное в интервале (0; 1)		Отв.:		1		.
			3
17. Случайная величина Х задана плотностью распределения:
2x,	если	0 < x ≤1,
f (x) =	если	x ≤ 0, x >1.
0,
Найти М(Х).		Отв.:	2		.
			3

34

18. График плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (–1; 4), имеет вид (рис. 2.1):

f(x)

а

	●	●
–1	0	4	х
		Рис. 2.1
Найти значение а.			Отв.: 0, 2.

19. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения F(Х):

	0,	если	x ≤ −1;
						1
		если	−1< x ≤				;
F(x) = Ax + B,						3
	1,	если	x >	1	.
				3

Найти значения неопределенных коэффициентов А и В. Отв.: 0,75; 0,75. 20. Найти М(Х) случайной величины Х, заданной функцией распреде-

ления:

	0,			если	x ≤ 0,
	x
	F(x) =		,	если	0<x ≤ 4,	Отв.: 2.
		4
					x > 4.
	1,			если

21. Функция плотности непрерывной случайной величины Х имеет следующий график (рис. 2.2):

35

f(x)

0,75

●

–1	0	1		х
		3
	Рис. 2.2
Найти вероятность того, что Х окажется в промежутке					0;	1	.
						3

Отв.: 0,25. 22. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина Х – время ожидания – распределена равномерно на указанном вре-

менном интервале, найти среднее время ожидания. Отв.: 2,5 мин. 23. Случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на

отрезке [0; 2]. Найти вероятность того, что значения случайной величины Х находятся в промежутке (0; 0,5). Отв.: 0,25.

24. Вероятность производства нестандартного изделия равна 0,1. Из партии контролер берет изделие и проверяет его на качество. Если оно оказывается нестандартным, то дальнейшая проверка прекращается, а партия задерживается. Если же деталь оказывается стандартной, то контролер проверяет следующее изделие. Но всего контролер проверяет не более пяти изделий. Найти математическое ожидание числа проверенных изделий.

Отв.: 3, 7. 25. Вычислить дисперсию дискретной случайной величины Х – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, ес-

ли вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9. Отв.: 0,9. 26. Из сосуда, содержащего m белых и n черных шаров извлекаются

36

шары до тех пор, пока не появится белый шар. Найти математическое ожидание числа вынутых черных шаров и дисперсию, если каждый шар

после извлечения возвращался.

Отв.:

m + n

;

m(m + n)

.

n

n2

27. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выпадений пя-

25

5

терки при 50 подбрасываниях игральной кости.

Отв.:

;

2,5 .

3

3

28. Для нормальной величины Х известны параметры: а = 4; σ = 3.

Найти М(2Х + 3) и D(2Х + 3).

Отв.: 11 и 36.

29. Указать интервал значений нормальной случайной величины Х с параметрами а = 0 и σ = 1, который покрывает значения этой величины с вероятностью 0,9973. Отв.: (– 3; 3).

30.Указать интервал значений нормальной случайной величины Х

спараметрами а = 2 и σ = 0,5, который с вероятностью 0,9544 покрывает

значения этой случайной величины. Отв.: (1; 3). 31. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шарика равен 5 мм. Вследствии неточности изготовления шарика его диаметр – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 0,1 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального не менее чем на

0,05 мм. Какой процент шариков в среднем будет отбраковываться?

		Отв.: 61,7 %.
32.	Какова размерность функции распределения случайной
величины Х ?		Отв.: безразмерная.
33.	Какова размерность математического ожидания случайной
величины Х ?		Отв.: равна размерности Х.

37

2. ЗАДАЧИ

Задача 1. На пути движения 4 светофора, каждый из которых с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомобилю дальнейшее движение. Составить закон распределения вероятностей числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Построить функцию распределения полученной случайной величины и найти ее математическое ожидание.

Решение. Число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки, очевидно представляет собой случайную величину Х. Тогда, в соответствии с условиями задачи, Х принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 и, следовательно, является дискретной случайной величиной с конечным числом значений. Найдем вероятности принятия каждого из этих значений. Обозначим через Ai событие, заключающееся в том, что i-й по порядку светофор разрешает автомобилю дальнейшее движение, i = 1, 2, 3, 4. По условию P(Ai ) = 0,5; P(Ai ) = 0,5. Тогда P(X = 0) = P(A) = 0,5.

P(X =1) = P(A1 A2 ) = P(A1) P(A2 ) = 0,5 0,5 = 0,25;

P(X = 2) = P(A1 A2 A3) = P(A1) P(A2 ) P(A3) = 0,5 0,5 0,5 = 0,125; P(X = 3) = P(A1 A2 A3 A4) = (0,5)4 = 0,0625;

P(X = 4) = P(A1 A2 A3 A4 ) = (0,5)4 = 0,0625.

4

Контроль: ∑P(X = i) = 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 + 0,0625 =1.

i=0

Ряд распределения случайной величины Х запишем в виде таблицы:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0625

Функция распределения F(x) случайной величины Х определяется ра-

венством F(x) = P(X < x). Поэтому F(x) = 0, при x ≤ 0.

38

Если 0 < x ≤1, то P(X < x) = P(X = 0) = 0,5.

Значит, F(x) = 0,5 при 0 < x ≤1.

Если же 1< x ≤ 2, то P(X < x) = P(X = 0) + P(X =1) = 0,5 + 0,25 = 0,75.

Имеем F(x) = 0,75, при 1< x ≤ 2.

Далее, рассуждая аналогично, получаем при 2 < x ≤ 3:

F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) = 0,875.

При 3 < x ≤ 4 получим:

F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,9375.

И наконец, при x > 4:

F(x) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) =1.

		0,	при	x ≤ 0;
		0,5,	при	0<x ≤1;
Итак,		0,75,	при	1<x ≤ 2;
	F(x) =	0,875,	при	2<x ≤ 3;
	0,9375,		при	3<x ≤ 4;
		1,	при	x > 4.

Далее, построим график F(x) (рис. 2.3).

F(x) 1

0,9375

0,875

0,75

0,5

0

1

2

3

4

х

Рис. 2.3

39

Математическое ожидание M (X ) дискретной случайной величины

n

определяется соотношением M (X ) = ∑xi pi. В данном примере

i=1

M (X ) = 0 0,5 +1 0,25 + 2 0,125 + 3 0,0625 + 4 0,0625 = 0,9375.

Задача 2. Длина Х некоторой детали, изготовленной на станке, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону и имеет среднее значение 20 мм и среднее квадратическое отклонение, равное 0,2 мм. Требуется:

1)записать выражение плотности распределения Х;

2)найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 мм;

3)найти симметричный относительно среднего интервал, в котором будет находиться Х с вероятностью 0,9973.

Решение. 1) Плотность вероятности случайной величины Х, распреде-

			1			L−	(x−a)2
ленной по нормальному закону, имеет вид :	f (x) =						2σ2 ,
		σ		2π

где а – математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Х, σ – среднее квадратическое отклонение.

В данном случае а = 20, σ = 0,2.

		1			−	(x−20)2
						0,08 .
Тогда получим:	f (x) =				L
		0,2
			2π

2)Для нормально распределенной случайной величины с параметрами

аи σ вероятность попасть в интервал (х1, х2) определяется равенством:

x2

x

− a

x

− a

P(x1 < X < x2) = ∫

2

f (x)dx = Φ

− Φ

1

,

σ

σ

x1

1

x

−

t2

где Φ(x) =

∫L

2 dt – интеграл Лапласа.

2π 0

40