view

7.18.Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является нормально распределенной случайной величиной. Если стандартная длина равна m = 40 см и среднеквадратическое отклонение равно σ = 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

7.19.Независимые испытания аппаратуры повторяются до тех пор, пока не произойдет отказ. Вероятность отказа от испытания к испытанию не меняется и равна р. Найти математическое ожидание и дисперсию числа безотказных испытаний.

7.20.Случайная величина Х может принимать целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Выбрать первый член и знаменатель прогрессии так, чтобы математическое ожидание величины Х было равно 10; вычислить при этом условии вероятность P(X ≤10).

7.21.Автоматическая линия при качественной настройке может выпускать бракованное изделие с вероятностью р. Переналадка линии производится после первого же бракованного изделия. Найти среднее число всех изделий, изготовленных между двумя переналадками линии.

7.22.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 0 и дисперсией D(X ) =1. Какое из двух собы-

тий { X ≤ 0,7} или { X ≥ 0,7} имеет большую вероятность?

7.23.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами: a = 0 и σ =1. Что больше P(−0,5 ≤ X ≤ −0,1) или P(1≤ X ≤ 2)?

7.24.Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания в интервал (20;25) равна 0,1. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (55;60)?

7.25.Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превысит 10 мм. Слу-

81

чайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ = 5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

7.26.Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (12;14).

7.27.Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 40 мм.

7.28.Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 10 г.

7.29.Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а = 375 г, σ = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет не более 450 г.

7.30.При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному распределению с параметром σ = 100 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.

Примеры решения задачи

Пример 1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [1;8]. Записать плотность распределения f (x) этой случайной величины.

82

Решение. По определению равномерно распределенной случайной величины ее функция плотности постоянна на данном отрезке и равна нулю

C при 1≤ x ≤ 8, вне этого отрезка: f (x) =

0 при x <1 или x > 8.

Поскольку для функции плотности непрерывной случайной величины

	+∞	8	8
	выполняется условие ∫	f (x)dx =1, то ∫Cdx =1 Cx
			1
	−∞	1

=1 7C =1 C = 17.

			1	при 1	≤ x ≤ 8,
	Следовательно, функция плотности
			7
		f (x) =
		0 при x <1 x > 8.

Пример 2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке

[α; β]. Найти вероятность попадания ее значений в интервал (a; b), при-

надлежащий отрезку [α; β].

Решение. Искомая в

задаче вероятность определяется по формуле

b

P(a < X < b) = ∫ f (x)dx.

a

Сначала запишем функцию плотности равномерно распределенной

0,

если x < α или x > β,

1

случайной величины f (x) =

,

если α ≤ x ≤ β.

β − α

b

1

1

b

b − a

Тогда P(a < X < b) = ∫

dx =

x

=

.

a

β − α

β − α

a

β − α

Пример 3. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке

[–3;2]. Найти функцию распределения

F(x)

этой случайной величины и

построить ее график.

Решение. Функция распределения

F(x) = P(X < x) находится для за-

данной случайной величины

Х в

зависимости от функции плотности

83

0, если x < −3 x > 2,

1

1

.

Следовательно,

f (x) =

=

, если − 3 ≤ x

≤ 2.

− (−3)

5

2

x

1) при x ≤ −3: F(x) = ∫

f (t)dt = 0,

−∞

−3

x

x

1

1

x

1

2) при −3 < x ≤ 2: F(x) = ∫

f (t)dt + ∫ f (t)dt = ∫

dt =

=

(x + 3).

t

5

5

5

−∞

−3

−3

−3

−3

2

+∞

1

2

3) при x > 2: F(x) = ∫

f (t)dt + ∫ f (t)dt + ∫

f (t)dt = 0 +

t

+ 0 =1.

5

−∞

−3

2

−3

Теперь запишем функцию распределения:

0, если x ≤ −3,

x + 3
F(x) =			,	если − 3<x ≤ 2,
	5
				если x > 2
		1,

и построим ее график (рис. 3.4):

Рис. 3.4

Пример 4. Автобусы идут с интервалом 10 минут. Считая, что случайная величина Х – время ожидания автобуса – распределена равномерно на указанном временном интервале, найти: 1) функцию плотности и построить ее график; 2) среднее время ожидания; 3) дисперсию времени ожидания.

Решение. 1) Функция плотности для равномерного распределения име-

			0,		если x < a x > b,
ет вид		1
	f (x) =			,	если a ≤ x ≤ b.
	b − a

84

Для данной в условии задачи случайной величины Х запишем функ-

			0,		если	x < 0 x >10,
цию плотности
	f (x) = 1			,	если	0 ≤ x ≤10.
	10

и построим ее график (рис. 3.5):

10

Рис. 3.5

2) среднее время ожидания равно математическому ожиданию случай-

10		1		x	2			10	10	2
ной величины M (X ) = ∫x			dx =					=			= 5. Следовательно, среднее
	10								20
0			20					0

время ожидания равно 5 минутам.

3) Дисперсия случайной величины

10		1				1		x	3			10		1000			100 − 75		25.
D(X ) = ∫ x2			dx − 52	=									− 52 =		− 52	=		=
	10				10			3						10 3			3
0												0							3

Математическое ожидание и дисперсию для равномерного распределения можно рассчитать иначе:

	M (X ) =		a + b	; D(X ) =			(b − a)			2		.
			2			12
Следовательно, в условиях данной задачи
M (X ) =	10 + 0	= 5;		D(X ) =	(10	− 0)2			=	102			=	25	.
	2				12						12			3

Пример 5. Записать плотность распределения вероятностей и функцию распределения нормальной случайной величины Х, если M (X ) = 3;

D(X ) = 4.

85

Решение. Из условия задачи следует, что a = M (X ) = 3;

σ(X ) = D(X ) = 4 = 2. Зная формулу плотности вероятности для нормальной величины и подставляя a = 3 и σ = 2, находим

		1			−(x−2)2		1			−(x−2)2
f (x) =					e 2 22	=				e 8 .
2			2π				2 2π

Найдем функцию распределения F(x), учитывая, что															lim Ф(x) =			1.
															x→+∞			2
	x	1			−(t−a)2			1	x − a				1	x − 3
						2
F(x) =					e 2σ		dt =		+ Ф			=		+ Ф			.
	−∞∫ σ 2π							2		σ			2		2

Пример 6. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a =10. Найти P(0 < X <10), если известно,

что P(10 < X < 20) = 0,3.

Решение. Дано P(10 < X < 20) = 0,3.

	20 − a			10 − a		=
С другой стороны P(10 < X < 20) = Ф	σ		− Ф	σ

10

−

Ф(0) = Ф

10

10

= Ф

σ

σ

Ф

σ

= 0,3.

Так как искомая вероятность P(0 < X <10) =

10 − a

0 − a

10

−10

0

−10

−

10

=

= Ф

σ

− Ф

σ

= Ф

σ

− Ф

σ

= Ф(0) − Ф

σ

= 0 +

10

10

, то P(0 < X <10) = 0,3.

Ф

σ

= Ф

σ

Пример 7. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина Х распределена нормально с параметром σ = 0,4 мм2?

Решение. Исходя из условия задачи при σ = 0,4 можно записать:

86

P(		X − a		< 0,77)= 2Ф		0,77		= 2Ф(1,93) = 2 0,4732 = 0,9464 ≈ 0,95.	Бу-
						σ

дем считать, что вероятность годного подшипника равна p = 0,95. Тогда q = 0,05; n =100, значит, зная формулу для наивероятнейшего числа

m0 : np − q ≤ m0 ≤ np + р, получим:

100 0,95 − 0,05 ≤ m0 ≤100 0,95 + 0,95 m0 = 95.

Пример 8. Известно, что в среднем за месяц (30 суток) в районной сети водоснабжения возникает 90 ситуаций, требующих оперативного вмешательства аварийной службы. На сколько вызовов в сутки должна быть рассчитана эта служба, чтобы с вероятностью p0 = 0,9 она могла удовлетворить все поступающие за сутки заявки?

Решение. В задаче задан процесс, протекающий во времени, следовательно, для вероятности того, что событие произойдет m раз пользуемся формулой Пуассона, предварительно пересчитав среднее значение

a = 9030 = 3. В формуле P(m ≤ k) ≥ 0,9 с помощью табл.П.В.2 прил. В при

a = 3 подбираем k = 5. Следовательно, аварийная служба должна быть рассчитана на 5 заявок в сутки.

87

Глава 4

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ВАРИАНТА ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Задача 1. Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в трех вагонах?

Решение. Можно рассмотреть эту задачу как пример о числе распределения среди восьми пассажиров любых восьми вагонов, которые выбраны с повторениями из имеющихся трех. Тогда по формуле размещения с по-

вторениями: А38(n) = 38 = 6561.

Задача 2. В секцию магазина поступило 10 велосипедов, из которых четыре с дефектами. Наудачу взяты 3. Найти вероятность того, что среди взятых будут все одинакового качества.

Решение. Вероятность события по классической формуле определяется

так: P(A) = m , n

где n – число всех равновозможных исходов, т – число исходов, благоприятствующих наступлению события А.

Число всех велосипедов 10, из них наудачу выбирают 3. Пусть А – три выбранные велосипеда одинакового качества. Тогда элементарным исходом является любой набор трех велосипедов из 10 (любые два исхода отличаются хотя бы одним велосипедом), т. е. элементарный исход является сочетанием. Следовательно, число всех элементарных исходов равно числу

	сочетаний из 10 по 3, т. е. n = C3	=	10!		=	8 9 10	=120.
			7! 3!			2 3
	10
	Если все три велосипеда одного качества, то						m = m1 + m2,

где m1 – число элементарных исходов, когда все велосипеды с дефектами; m2 – число элементарных исходов, когда все велосипеды без дефектов.

Найдем значения этих чисел: m = C

3

=

4!

= 4;

m = C3

=

6!

= 20.

1! 3!

3! 3!

1

4

2

6

88

Тогда m = 4 + 20 = 24. Следовательно, вероятность интересующего нас со-

бытия А есть P(A) = 12024 = 15.

Задача 3. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К, 30 % с заболеванием L, 20 % с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, для болезней L и М соответственно 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

Решение. Если до опыта вероятности гипотез были P(H1) и P(H2), а в результате опыта наступило событие А, то «новые» (уточненные) вероятности при условии, что событие А произошло, определяются по формуле Байеса.

Пусть А – больной, поступивший в больницу, выписан здоровым. Н1 – предположение состоящее в том, что это был больной с заболеванием К, Н2 – с заболеванием L, Н3 – с заболеванием М. Тогда из условия задачи следует, что P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,3; P(H3) = 0,2.

P(A H1) = 0,7; P(A H2 ) = 0,8; P(A H3) = 0,9. Значит, полная вероятность

P(A) = P(H1) P(A H1) + P(H2 ) P(A H2 ) + P(H3) P(A H3) будет равна

P(A) = 105 107 + 103 108 + 102 109 = 10035 + 10024 + 10018 = 10077 .

Уточненная вероятность первой гипотезы, то есть вероятность того, что больной с заболеванием К выписан здоровым, вычислим по формуле Байеса:

			P(H1) P(A		H1)	5					7			100
P(H		A) =				=	10			10			= 35		= 35	=	5	.
1			P(A)					77				77		100	77	11
						100

Задача 4. Вероятность попадания в десятку у данного стрелка при од-

89

ном выстреле равна 0,2. Определить вероятность попадания в десятку не менее двух раз при десяти выстрелах.

Решение. Вероятность попадания стрелка в десятку не менее двух раз при десяти выстрелах в сумме с вероятностью попадания менее двух раз дает единицу, поэтому:

P(m ≥ 2) =1− P(m < 2) =1− (P(m = 0) + P(m =1)).

Вероятности P(m = 0) и P(m =1) найдем по формуле Бернулли:

	P	(m = 0) = C0		0,20 0,810 = 0,1074;
	n=10		10
P	(m =1) = C1		0,21 0,89 =10 0,2 0,1342 = 0,2684.
n=10		10

Окончательно:

P(m ≥ 2) =1− P(m < 2) =1− (P(m = 0) + P(m =1)) =1− (0,1074 + 0,2684) = 0,6242.

Задача 5. Прибор состоит из четырех узлов. Надежность каждого узла равна 0,3. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Для случайной величины X – число вышедших из строя узлов – требуется:

1)составить закон распределения, функцию распределения F(x) и построить ее график;

2)найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение;

3)определить P(1≤ X ≤ 3); M (У) и D(У), если У = 4X +1;

4)вычислить асимметрию А(Х) и эксцесс Эх.

Решение. 1) Закон распределения представим в виде таблицы значений случайной величины X и соответствующих вероятностей. Заметим, что возможные значения дискретной случайной величины Х равны 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие этим значениям вероятности определим по формуле

Бернулли, считая, что А – прибор вышел из строя; A – прибор работает.

Тогда p = p(A) = 0,7; q = p(A) =1− p =1− 0,7 = 0,3;

P4 (0) = C40 p0 q4 = 0!4!4! 1 0,34 = 0,34 = 0,0081;

90