view

произвольным образом «брошена» точка. Определить вероятность того, что точка окажется на отрезке [0; 3].

Решение. Согласно геометрическому определению вероятность будет равна отношению длин отрезков, соответствующих благоприятствующим исходам и равновозможным исходам, то есть

		[	]	3	1
P(A) =	длина отрезка		0; 3	= 6	= 2.
	длина отрезка	[−1; 5]

Задача 3 . Формула полной вероятности . Формула Байеса

3.1.В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

3.2.Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это легковая машина.

3.3.В специализированную больницу поступают в среднем 40 % больных с заболеванием К, 35 % с заболеванием L, 25 % с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, для болезней L и М соответственно 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

3.4.Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во второй – три белых и пять черных. Из первой и второй урн, не глядя, берут

51

по одному шару и кладут их в пустую третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и берут из нее наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

3.5.Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартна.

3.6.На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60 % изготовлено на первом заводе и 40% - на втором. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных на первом заводе, 90 соответствуют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных на втором заводе, соответствуют стандарту 80. Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка будет соответствовать стандарту.

3.7.Известно, что 96 % выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

3.8.Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,5, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведен вторым стрелком.

3.9.С первого автомата на сборку поступает 40 %, со второго – 35 %,

стретьего – 25 % деталей. Среди деталей первого автомата 0,2 % бракованных, второго – 0,3 %, третьего – 0,5 %. Найти вероятность того, что:

1) поступившая на сборку деталь – бракованная;

2) деталь, оказавшаяся бракованной, изготовлена на втором автомате.

52

3.10.В группе из 20 стрелков пять отличных, девять хороших и шесть посредственных. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, хороший – с вероятностью 0,8 и посредственный

–с вероятностью 0,6. Наугад выбранный стрелок выстрелил дважды; отмечено одно попадание и один промах. Каким, вероятнее всего, был этот стрелок: отличным, хорошим или посредственным?

3.11.Для контроля продукции из трех партий деталей взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 1/3 деталей бракованные, а в двух других – все доброкачественные?

3.12.В коробке находятся две неотличимые по внешнему виду и по весу игральные кости: одна правильная, с одинаковыми вероятностями выпадения всех цифр при случайном подбрасывании; другая неправильная, с неравномерным распределением массы по объему. При случайном подбрасывании неправильной кости шестерка появляется с вероятностью 1/3, единица – с вероятностью 1/9, остальные цифры выпадают с одинаковой вероятностью. Наудачу извлеченная из коробки игральная кость была подброшена, и в результате выпало 6 очков. Найти вероятность того, что была подброшена правильная игральная кость.

3.13.На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 – только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха

–то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

3.14.В стройотряде 70 % первокурсников и 30 % студентов второго курса. Среди первокурсников 10 % девушек, а среди студентов второго курса – 5 % девушек. Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти

53

вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне дежурит первокурсница.

3.15.В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0,9 и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0,95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.

3.16.Среди шести винтовок пристрелянными оказываются только две. Вероятность попадания из пристрелянной винтовки равна 0,9, а из не пристрелянной – 0,2. Выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Определить вероятность того, что взята пристрелянная или не пристрелянная винтовка.

3.17.При переливании крови нужно учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7 % имеют первую, 37,5 % – вторую, 20,9 % – третью и 7,9 % – четвертую группу крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

3.18.Имеется пять урн. В первой, второй и третьей урнах находится по 2 белых и 3 черных шара; в четвертой и пятой урнах – по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?

3.19.В ящике содержится 12 деталей первого завода, 20 деталей второго и 18 деталей третьего. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества, равна 0,9, для второго – 0,6, для третьего – 0,9.Какова вероятность, что наудачу извлеченная деталь будет отличного качества?

54

3.20.В каждой из трех урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что извлеченный после этого из третьей урны шар окажется белым.

3.21.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов, причем первый проверяет изделий вдвое больше, чем второй. Вероятность того, что стандартное изделие пройдет проверку у первого товароведа, равна 0,7, у второго – 0,9. Стандартное изделие выдержало проверку. Что вероятнее: было оно проверено первым или вторым товароведом?

3.22.У рыбака есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в первом месте, равна 1/3, во втором – 1/2, в третьем – 1/4. Известно, что рыбак забросил удочку три раза и вытащил только одну рыбу. Какова вероятность, что он рыбачил в первом из его любимых мест?

3.23.Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,6, второго – 0,8. Найти вероятность того, что деталь, взятая из наудачу выбранного набора, окажется стандартной.

3.24.В одной коробке содержится 20 радиоламп, из которых 18 стандартных, во второй – 10ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую коробку. Найти вероятность того, что лампа, взятая после этого наудачу из первой коробки, будет стандартной.

3.25.В группе спортсменов 30 лыжников, 10 велосипедистов и 5 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму равна для лыжника 0,8, для велосипедиста – 0,7, для бегуна – 0,9. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норму.

3.26.Студент пришел на экзамен, зная m билетов из n. Когда вероятность взять известный билет больше: в начале или в конце экзамена? Почему?

55

3.27. Турист выходит из некоторого пункта В и на разветвлении дорог выбирает наугад один из возможных путей. Схема дорог дана на рис. 3.1. Какова вероятность того, что турист попадет в пункт С?

Рис. 3.1

3.28.Бросается игральная кость. Если выпадет «1», то мы вынимаем шар из урны № 1, содержащей 1 белый и 4 черных шара; если выпадает любое другое число очков, то шар вынимается из урны № 2, содержащей 4 белых и 1 черный шар. Мы не видели, какой стороной упала кость, но знаем, что вышел черный шар. Что вероятнее: был он вынут из первой урны или из второй?

3.29.Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень, после чего в ней оказалась одна пробоина. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,3. Какова вероятность, что пробоина принадлежит первому стрелку?

3.30.Из пяти стрелков два попадают в цель с вероятностью 0,6, а три –

свероятностью 0,5.

а) Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет? б) Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принад-

лежал он к двум первым или к трем последним?

Примеры решения задачи

Пример 1. Имеются две партии одинаковых изделий по 10 и 12 штук, причем в каждой из них по три изделия бракованных. Наудачу взятое из-

56

делие из первой партии переложено во вторую, после чего из второй партии наудачу выбирается изделие. Какова вероятность того, что это изделие бракованное?

Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что из второй партии извлечено бракованное изделие после того, как в нее переложили взятое наугад изделие из первой партии. Строим предположения (гипотезы):

Н1 – из первой партии во вторую переложили небракованное изделие;

Н2 – из первой партии во вторую переложили бракованное изделие.

Исходя из условия задачи:	Р(Н	) =	7	;	Р(Н		) =	3	. После того, как во
						2
	1	10					10

вторую партию переложили одно изделие, то в ней стало 13 изделий всего, в том числе либо 10 не бракованных и 3 бракованных при условии Н1 , либо 9 не бракованных и 4 бракованных при условии Н2 . Следовательно, вероятность выбора бракованной детали зависит от выполнения предполо-

жения Н1 : Р(А Н1) = 133 или от выполнения предположения

Н2 : Р(А Н2 ) = 134 . Поскольку Н1 и Н2 образуют полную группу событий

и событие А происходит одновременно с одной из гипотез, то имеет место формула полной вероятности: Р(А) = Р(Н1) Р(А Н1) + Р(Н2 ) Р(А Н2 ). Подставляя найденные значения в эту формулу, получим:

Р(А) = 0,7 133 + 0,3 134 = 0,254.

Пример 2. В магазин поступает радиоаппаратура от двух производителей. При этом первый производитель поставляет 60% , второй – 40% от общего числа единиц поступившей радиоаппаратуры. Вероятность неисправности радиоаппаратуры для первого поставщика равна 0,2, для второго – 0,1. Взятая наудачу радиоаппаратура оказалась исправной. Какова вероятность, что она поступила от второго производителя?

57

Решение. Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н 1) и Р(Н 2 ), а в результате опыта наступило событие А, то «новые» (уточненные)

вероятности при условии, что событие А произошло, определяются по формуле Байеса.

Пусть А – наудачу взятая аппаратура исправна, Н1 – предположение состоящее в том, что аппаратура изготовлена первым производителем, Н2

– вторым производителем. Тогда Р(Н 1) = 0,6; Р(Н 2 ) = 0,4. Из условия задачи следует, что Р(А Н1) = 0,8; Р(А Н2 ) = 0,9. Значит полная вероятность

Р(А) = Р(Н1) Р(А Н1) + Р(Н2 ) Р(А Н2 ) в условиях задачи будет равна Р(А) = 0,6 0,8 + 0,4 0,9 = 0,84. Уточненная вероятность второй гипотезы,

то есть вероятность того, что после выбора исправной аппаратуры она оказыжется изготовленной вторым производителем, вычисляется так:

Р(Н	2		А) =	Р(Н2 ) Р(А		Н2 )	= 0,4 0,9 = 36	= 3	= 0,429.
				Р(А)			0,84 84	7

Задача 4 . Независимые повторные испытания . Формула Бернулли . Асимптотические фор - мулы: формула Пуассона, локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

4.1.Вероятность попасть в десятку у данного стрелка при одном выстреле равна 0,3. Определить вероятность попадания в десятку не менее 3 раз при 6 выстрелах.

4.2.Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретая 4 облигации, выиграет хотя бы по одной из них?

4.3.Страховая компания располагает статистическими сведениями: человеку, достигшему 65-ти лет, вероятность умереть на 66-ом году жизни равна 0,09. Какова вероятность того, что из четверых застрахованных в возрасте 65-ти лет двое будут живы через год?

58

4.4.На факультете учатся 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днем рождения не менее трех студентов.

4.5.Вероятность попасть в десятку у данного стрелка при одном выстреле равна 0,2. Определить вероятность попадания в десятку не менее двух раз при десяти выстрелах.

4.6.При массовом производстве элементов электроники вероятность появления брака равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из 600 элементов бракованными будут ровно три элемента.

4.7.Батарея произвела 8 выстрелов по военному объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы двух попаданий.

4.8.На сборы приглашены 120 спортсменов. Вероятность того, что случайно выбранный спортсмен выполнит норматив, равна 0,7. Определить вероятность того, что выполнят норматив: ровно 80 спортсменов; не менее 80.

4.9.В камере Вильсона фиксируется 36 столкновений частиц в час. Найти вероятность того, что в течение одной минуты не произойдет ни одного столкновения; произойдет более двух.

4.10.Игрок набрасывает кольца на колышек, вероятность удачи при этом равна 0,1. Найти вероятность того, что из шести колец на колышек попадут хотя бы два.

4.11.К пульту охранной системы предприятия подключено 2000 датчиков, причем вероятность появления тревожного сигнала на каждом из них равна 0,0005. Определить вероятность тревоги (для чего достаточно хотя бы одного сигнала).

4.12.Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0,515, найти вероятность того, что из 12300 родившихся в течение года детей, мальчиков будет меньше, чем девочек.

4.13.На диспетчерский пункт в среднем поступает 3 заказа в минуту на

59

такси. Определить вероятность того, что за две минуты поступит не менее 4 вызовов; равно 4.

4.14.В магазин вошли 8 покупателей. Найти вероятность того, что трое из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого равна 0,4.

4.15.Телефонный кабель состоит из 400 жил. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к телефонной сети 395 абонентов, если для подключения каждого абонента нужна одна жила, а вероятность того, что она повреждена, равна 0,0125?

4.16.К магистральному водопроводу подключены 160 предприятий, каждое из которых с вероятностью 0,7 в данный момент времени осуществляет забор воды. Найти вероятность того, что в этот момент забор воды производят не менее 80 и не более 120 предприятий.

4.17.Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова; более двух.

4.18.При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,01. Определить вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит ровно три искажения.

4.19.Корректура книги объемом в 600 страниц имеет 120 опечаток. Определить вероятность того, что на случайно выбранной странице окажется: не более трех; ни одной опечатки.

4.20.В жилом доме имеется 6000 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между 2800 и 3200.

4.21.На один кубический метр грунта в среднем приходится два крупных камня. Найти вероятность того, что в ковш экскаватора ёмкостью 3 кубических метра попадет: не более пяти камней; ровно два.

4.22.Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину

60