5.2.4. Операция реляционной конъюнкции

Пусть sобозначает результат операцииr₁ <AND> r₂. Для обеспечения возможности выполнения операции требуется, чтобы если<A, T1>Hr₁и<A, T2>Hr₂, тоT1=T2. (Другими словами, если в двух отношениях-операндах имеются одноименные атрибуты, то они должны быть определены на одном и том же типе (домене).) Тогда:

• Hs = Hr₁ union Hr₂, т. е. заголовок результата получается путем объединения заголовков отношений-операндов, как в операцияхTIMESиJOINиз предыдущей лекции;

• Bs = { ts : exists tr₁ exists tr₂ ((tr₁Br₁ and tr₂Br₂) and ts = tr₁ union tr₂)}; обратите внимание на то, что кортеж результата определяется какобъединение кортежей операндов; поэтому:

  • если схемы отношений-операндов имеют непустое пересечение, то операция <AND>работает как естественное соединение;

  • если пересечение схем операндов пусто, то <AND>работает как расширенное декартово произведение;

  • если схемы отношений полностью совпадают, то результатом операции является пересечение двух отношений-операндов.

Операция <AND>является реляционной конъюнкцией, в некоторых случаях выдающей в результате отношениеrs, ранее называвшееся естественным соединением двух заданных отношенийr₁иr₂. Заголовокrsявляется объединением заголовковr₁иr₂. Телоsвключает каждый кортеж, соответствующий заголовкуsи являющийся надмножеством некоторого кортежа из телаr₁и некоторого кортежа из телаr₂.

Для иллюстрации воспользуемся примерными отношениями, показанными на рис. 5.3, которые мы уже использовали в примерах предыдущей лекции.

На рис. 5.4(a)у отношенийСЛУЖАЩИЕиПРОЕКТЫимеется общий атрибутПРО_НОМ. Поэтому операция<AND>работает как операция естественного соединения. Нарис. 5.4(b)пересечение заголовков отношенийСЛУЖАЩИЕ_В_ПРОЕКТЕ_1иПРОЕКТЫпусто, и поэтому в результате реляционной конъюнкции производится расширенное декартово произведение этих отношений. Наконец, нарис. 5.4(c)схемы отношенийСЛУЖАЩИЕ_В_ПРОЕКТЕ_1иСЛУЖАЩИЕ_В_ПРОЕКТЕ_2совпадают, и телом операции<AND>является пересечение тел отношений-операндов.

5.2.5. Операция реляционной дизъюнкции

Пусть sобозначает результат операцииr₁ <OR> r₂. Для обеспечения возможности выполнения операции требуется, чтобы если<A, T1>Hr₁и<A, T2>Hr₂, то должно бытьT1 = T2(одноименные атрибуты должны быть определены на одном и том же типе). Тогда:

• Hs = Hr₁ union Hr₂(из схемы результата удаляются атрибуты-дубликаты);

• Bs = { ts : exists tr₁ exists tr₂ ((tr₁Br₁ or tr₂Br₂) and ts = tr₁ union tr₂)}; очевидно, что при этом:

  • если у операндов нет общих атрибутов, то в тело результирующего отношения входят все такие кортежи ts, которые являются объединением кортежейtr₁иtr₂, соответствующих заголовкам отношений-операндов, и хотя бы один из этих кортежей принадлежит телу одного из операндов;

  • если у операндов имеются общие атрибуты, то в тело результирующего отношения входят все такие кортежи ts, которые являются объединением кортежейtr₁иtr₂, соответствующих заголовкам отношений-операндов, если хотя бы один из этих кортежей принадлежит телу одного из операндов, и значения общих атрибутовtr₁иtr₂совпадают;

  • если же схемы отношений-операндов совпадают, то тело отношения-результата является объединением тел операндов.

Операция <OR>является реляционной дизъюнкцией и обобщением того, что ранее называлось объединением. Заголовокsесть объединение заголовковr₁иr₂. Телоsсостоит из всех кортежей, соответствующих заголовкуsи являющихся надмножествомлибонекоторого кортежа из телаr₁,либонекоторого кортежа из телаr₂.

Рис. 5.3.Примерные отношения для иллюстрации операции<AND>

Предположим, у нас имеются отношения ПРОЕКТЫ_1 {ПРОЕКТ_НАЗВ, ПРОЕКТ_РУК}иНОМЕРА_ПРОЕКТОВ {ПРО_НОМ}(рис. 5.5). Предположим также, что домен атрибутаПРОЕКТ_НАЗВвключает значенияПРОЕКТ_1,ПРОЕКТ_2,ПРОЕКТ_3, домен атрибутаПРОЕКТ_РУКограничен значениямиИванов,Иваненко, а доменом атрибутаПРО_НОМявляется множество{1, 2, 3}. Результат операцииПРОЕКТЫ <OR> НОМЕРА_ПРОЕКТОВпоказан нарис. 5.5.

Как показано на рис. 5.5, операция<OR>при наличии операндов с несовпадающими схемами производит результат, гораздо более мощный, чем результат операции взятия расширенного декартова произведения из лекции 4, и еще менее осмысленный с практической точки зрения.

Для иллюстрации операции <OR>над операндами, схемы которых имеют непустое пересечение, воспользуемся отношениемПРОЕКТЫ_2 {ПРО_НОМ, ПРОЕКТ_РУК}(рис. 5.6) и унарным отношениемНОМЕРА_ПРОЕКТОВ, схема и тело которого показаны нарис. 5.5. Будем предполагать, что множества значений доменов атрибутов такие же, как в предыдущем примере. Результат операцииПРОЕКТЫ_2 <OR> НОМЕРА_ПРОЕКТОВпоказан нарис. 5.6.

Рис. 5.4.Иллюстрации операции реляционной конъюнкции

Как уже отмечалось, при совпадении схем отношений-операндов результатом выполнения над ними операции<OR>является объединение отношений. Это непосредственно следует из спецификации операции. Если этот факт кажется неочевидным, еще раз внимательно посмотрите на спецификацию. Иллюстрирующий пример мы приводить не будем.

Рис. 5.5.Результат операции<OR>над операндами без общих атрибутов

Рис. 5.6.Результат операции<OR>над операндами, схемы которых частично пересекаются