Для всех участков (1-2, 2-3, 4-5 и 5-6) используются данные таблицы с рис. 9.8, :

z

=

3E2−1 J2−1

=

3 E J

=

0,75

EJ

M5,2−1

b2ag 2

;

l22−1

a 2

z

=

3E2

−1 J2−1

=

3

E J

=

0,375

EJ

Q5,2−1

b2ag 3

;

l23−1

a3

z

=

3E

3−2 J3−2

=

3 E 2J

= 15,

EJ

M5,3−2

b2ag 2

;

l32−2

a 2

z

=

3E3−2 J3−2

=

3

E 2J

= 0,75

EJ

Q5,3−2

b2ag 3

;

l33−2

a

3

z

3E

4−5 J4−5

3 E 2J

EJ

M5, 4−5

=

=

b2ag

2

= 15, a 2

;

l 42−5

z

3E4−5 J4−5

3

E 2J

EJ

Q5, 4−5

=

=

b2ag

3

= 0,75 a 3

;

l 43−5

z

3E

6−5 J6−5

3 E J

EJ

M5,6−5

=

=

b2ag

2

= 0,75 a 2

;

l62−5

z

3E6−5 J6−5

3

E J

EJ

Q5,6−5

=

=

b2ag 3

= 0,375 a 3 .

l62−5

Обратите внимание, что нагружение перемещением совершается в условиях, когда наложенная связь снята с ОСМП (иначе невозможно совершить соответствующее перемещение).

Итак, завершено построение эпюр в ОСМП от всех видов нагрузок, сопутствующих применению метода перемещений.

9.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Для удовлетворения условий эквивалентности ЗРС и ОСМП требуется восстановить равновесие узлов с дополнительными связями, поскольку, запретив перемещения по направлениям, указанным на рис. 4, мы не даем возможности ЗРС деформироваться так, чтобы достичь равновесия под действием приложенной системы сил. Именно из условия равновесия узлов по направлению реакций дополнительных связей и определяются коэффициенты и свободные члены КСУ метода перемещений.

Направления моментов при вырезании узлов определяется тем, что эпюры изгибающего момента в таблице метода перемещений построены на растянутых волокнах.

229

Направления поперечных сил определяются правилом поворота оси участка к касательной на эпюре моментов, как это осуществляется при построении эпюры поперечных усилий способом графического дифференцирования.

Направления реакций в дополнительных связях при их определении из условия равновесия узла рекомендуется принимать положительными.

При определении знаков слагаемых, определяющих реакции в дополнительных связях следует придерживаться следующего правила: если усилие в сечении узла уравновешивает (по направлению) реакцию связи, то соответствующее слагаемое входит в выражение реакции со знаком плюс.

Следует обратить особое внимание на то, что каждая эпюра на рис. 9.10-9.14 определяет столбец коэффициентов при неизвестных в КСУ метода перемещений, а эпюра на рис. 9.9 – столбец ее свободных членов. Причем, несмотря на наличие теоремы о взаимности реакций (r i j = r j i), настоятельно рекомендуется пользоваться этим свойством коэффициентов не для их вычисления, а для проверки правильности

вычислений этих коэффициентов из условий равновесия узлов.

Сами же вычисления следует проводить в полном объеме для каждой из эпюр. Т.е., например, по эпюре рис. 9.10 должны быть определе-

ны коэффициенты r 11, r 21, r 31, r 41 è r 51.

На рис. 9.15 приведены рисунки вырезанных узлов, из условия равновесия которых определяются коэффициенты первого столбца матрицы коэффициентов при неизвестных в КСУ метода перемещений. Данные взяты с рис. 9.10.

r11 2	6,0	EJ
		a		4
		r21	3		r
	EJ				31
1,5
	a

r11 = b+6,0 +15,g EJa ;	r21 = b0,0g EJa ;	r31 = b0,0g EJa ;
à	á	â

3

4 r41

2

5

r51

0,75		EJ
		a2
r41 = b0,0g aEJ2 ;
	r51 = b+0,75g aEJ2 .
ã	ä
Ðèñ. 9.15

230

На рис. 9.16 приведены рисунки вырезанных узлов, из условия равновесия которых определяются коэффициенты второго столбца матрицы коэффициентов при неизвестных в КСУ метода перемещений. Дан-

ные взяты с рис. 9.11.

EJ

6,0

r12 2

r22 3

a

4 r32

3,0

EJ

3,0

EJ

a

r12 = b0,0g EJa ;

a

r2 2 = b+6,0 + 3,0g EJa ;

r3 2 = b+3,0g EJa ;

à

á

â

3

4 r42

1,5

EJ

a2

5

r52

2

1,5

EJ

a2

= b−15,g EJ2 .

r4 2

= b+15,g EJ2 ;

r5 2

ã

a

a

ä

Ðèñ. 9.16

На рис. 9.17 приведены рисунки вырезанных узлов, из условия равновесия которых определяются коэффициенты третьего столбца матрицы коэффициентов при неизвестных в КСУ метода перемещений. Данные взяты с рис. 9.12.

								6,0 EJ
r13 2				r23	3	EJ			a 4	r33
					3,0					EJ
						a			3,0
										a
r13	= b0,0g EJ	;		r2 3	= b+3,0g EJ		;	r3 3 = b+6,0 + 3,0g EJ			;
	a					a				a
	à				á				â
	3			r				1,5	EJ
				4 43					a2
							2	5	r
				EJ					53
			1,5
				a2
	r43		= b+15,g aEJ2 ;				r5 3	= b−15,g aEJ2 .
			ã					ä
					Ðèñ. 9.17

231

На рис. 9.18 приведены рисунки вырезанных узлов, из условия равновесия которых определяются коэффициенты четвертого столбца матрицы коэффициентов при неизвестных в КСУ метода перемещений. Данные взяты с рис. 9.13.

r14 2

r24

3

4

r34

EJ

EJ

1,5

1,5

a2

a2

r14 = b0,0g aEJ2 ;

r2 4 = b+15,g aEJ2 ;

r3 4 = b+15,g EJa2 ;

à

á

â

3

4

r44

0,75

EJ

0,75

EJ

a3

a3

r

54

0,75

EJ

0,75

EJ

2

5

a3

a3

r4 4 = b+0,75 + 0,75g aEJ3 ;

r5 4 = b−0,75 − 0,75g aEJ3 .

ã

ä

Ðèñ. 9.18

На рис. 9.19 приведены рисунки вырезанных узлов, из условия равновесия которых определяются коэффициенты пятого столбца матрицы коэффициентов при неизвестных в КСУ метода перемещений. Данные взяты с рис. 9.14.

r15

2

r25

3

4

r35

EJ

EJ

EJ

1,5

1,5

0,75

a2

a2

a2

= b−15,g aEJ2 ;

r3 5 = b−15,g EJa2 ;

r15 = b+0,75g aEJ2 ;

r2 5

à

á

â

4 r45

0,75

EJ

0,75

EJ

3

a3

a3

r55

2

5

0,75

EJ

0,75

EJ

a3

0,375

EJ

0,375

EJ

a3

= b−0,75 − 0,75g aEJ3 ;

a3

a3

r4 5

r5 5

= b+0,75 + 0,75 + 0,375 + 0,375g aEJ3 .

ã

ä

Ðèñ. 9.19

232

Анализ данных рис 9.15-9.19 показывает, что теорема о взаимности реакций для проведенных вычислений полностью подтверждается, что говорит о правильности решения задачи на данном этапе.

На рис. 9.20 приведены рисунки вырезанных узлов, из условия равновесия которых определяются свободные члены КСУ метода перемещений. Данные взяты с рис. 9.9.

	R1P 2	R2p	0,333qa2	4 R
			3
	0,125qa2			3p
				0,333qa2

R1p = −0125,qa 2 ;

R2p = +0,333qa 2 ;

R 3p

= −0,333qa 2 ;

à

á

â

3

4 R4p

2

5

R5p

0,312qa

=

b

g

4p

5p

= +0,312qa .

R

0,0 qa;

R

ã

ä

Ðèñ. 9.20

Обсудим вопрос о других способах контроля, которые применяются для проверки правильности вычислений элементов КСУ. В учебной литературе описан способ получения значений коэффициентов и свободных членов, основанный на матричной форме их вычисления (по формулам, аналогичным формулам Мора, применяемым в методе сил), который требует также построения «грузовой» эпюры в основной системе метода сил. Однако, как и в методе сил, при отсутствии ошибок в арифметических вычислениях этот прием не может обнаружить ошибки в построении эпюр в основной системе метода. Поэтому практически на этой стадии решения задачи пользуются приемом, описанным выше (независимое вычисление коэффициентов при неизвестных с последующей проверкой теоремы о взаимности реакций).

9.8. ФОРМИРОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

И ПРИВЕДЕНИЕ ЕЕ К ВИДУ, УДОБНОМУ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Запишем матричную форму КСУ метода перемещений с учетом полученных значений коэффициентов при неизвестных и свободных членов:

233

L

EJ

EJ

EJ

EJ

EJO

M

7,5

0

0

0

2

0,75

2 P

M

a

a

a

a

−15,

a

P

R−0125,qa

2

U

M

0 EJ

9

EJ

3

EJ

15,

EJ

EJP R Z1 U

M

a

a

a

a

2

a

2 P

|Z

2

|

|

0,333qa 2

|

M

0

EJ

3

EJ

9

EJ

15,

EJ

−15,

EJP

|

|

|

2

|

M

2

2 P SZ

3 V

+ S−0,333qa

V

M

a

a

a

a

a

P

|Z

4

|

|

0,000qa

|

M

EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

|

|

|

|

0 a 2

15, a 2

15, a 2

15, a 3

−15, a 3 P

|Z

5

|

|

0,312qa

|

M

EJ

EJ

EJ

EJ

P T

W

T

W

M

EJP

M0,75

a

2

−15,

a

2

−15,

a

2

−15,

a

3

2,25

a

3 P

N

Q

L

7,5

0

0

1

1O

M

0 a

0,75 aP

M

1

1P RZ1 U

R−0125,qa 2 U

M

0

9

3

15,

a

−15,

P

|

Z

2

|

|

0,333qa

2

|

M

aP

|

|

|

|

EJ M

1

1P

2

a M

0

3

9

15,

a

−15,

aP S

Z

3

V

+

S

−0,333qa

V

M

1

1

1

1

1

P

|Z

4

|

|

0,000qa

|

M

0

15,

15,

15,

−15,

P

|

|

|

|

2

2

M

P T

Z

W

T

W

a

a

a

a

a

|

5 |

|

0,312qa

|

M

a

a

a

1

1

P

M0,75 1

−15, 1

−15,

1

−15,

2,25

P

a

N

2

a

2

Q

L

O

R

U

R−0125,qa 2 U

M

7,5

0

0

0

0,75

Z1

P

M

0

9

3

15,

−15,P

|

Z

|

|

2

|

EJ M

0

3

9

15,

−15,P

|

2

|

|

0,333qa

2

|

M

0

1

15,

1

15,

1

15,

1

−15,

1P

S

Z3

V

+ S−0,333qa

V

a M

a

a

a

a

P |

|

|

0,000qa

|

M

aP

|Z 4 / a|

|

|

M0,75

1

−15,

1

−15,

1

−15,

1

2,25

1P

|Z5 / a|

|

0,312qa

|

N

a

a

a

a

aQ

T

W

T

W

L

7,5

0

0

0

0,75O

R

Z1

U

R−0125,qa 2

U

M

P

|

|

|

2

|

EJ M

0

9

3

15,

−15,P

|

Z2

|

|

0,333qa 2

|

M

0

3

9

15,

−15,P

S

Z3

V + S−0,333qa

V

a M

0

15,

15,

15,

P

|

|

|

|

M

−15,P

|Z

4 / a|

|

0,000qa a|

N

Q

T

W

T

W

M0,75

−15,

−15,

−15,

2,25P

|

Z

5

/ a

|

|

0,312qa a|

R0U

| |

|0|

= S0V

| |

|0| |T0|W

R0U

| |

|0|

= S0V

| |

|0| |T0|W

(9.6)

R0U

| |

|0|

= S0V

| |

|0| |T0|W

R0U

| |

|0|

= S0V

| |

|0| |T0|W

L	7,5
M
M	0
M	0
M
M	0

MN0,75

0	0	0	0,75O R			Z1		U
9	3	15,	P	|		Z2		|
			−15,P	|				|
3	9	15,	−15,P S			Z3		V
15,	15,	15,	P	|		4		|
			−1,5P	|Z			/ a|
				|		5		|
−15,	−15,	−15,	Q T		Z		/ a	W
			2,25P

R

2

a

U

|−0125,qa

|

|

EJ

|

0

|

EJ

|

|0|

|

0,333qa 2

a

|

R

U

S

V

S

a

V

+

|−0,333qa 2

|

=

|0| .

|

|

EJ

|

|

|

0,000qa a

a

|

|0|

|

EJ|

|0|

T

W

|

a |

|

0,312qa a

|

T

EJW

234

~
RZ1 U
| ~		|
|Z~	2	|
SZ3 V
| ~		|
|Z~	4	|

|TZ5 |W

R			EJ		U
|Z1					|
				3
|			qa		|
|			EJ		|
|Z	2		qa 3		|
|			EJ		|
= SZ	3				V
			qa	3
|					|
|			EJ		|
|Z	4				|
				4
|			qa		|
|Z			EJ		|
T	5		qa 4		W
|					|

L 7,5		0	0	0	~
					0,75O RZ1 U
M					P | ~		|
M	0	9	3	15,	−15,P |Z~	2	|
M	0	3	9	15,	−15,P SZ3 V
M	0	15,	15,	15,	P | ~	4	|
M					−15,P |Z~		|
N					Q T		W
M0,75		−15,	−15,	−15,	2,25P |Z5		|

R	−0125,	U	R	U
|		|	|	|
|	0,333|		|0|
+ S−0,333V			= S0V .		(9.7)
|		|	|	|
|	0,000|		|0|
T		W	T	W
|	0,312|		|0|

Выше были проделаны преобразования КСУ, смысл которых сводится к тому, чтобы заменой переменных избавиться от размерных множителей задачи и получить, таким образом, математическую задачу о решении неоднородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в классическом виде.

Вопрос о методах решения СЛАУ с числом неизвестных, больше трех, решается студентами достаточно тяжело, поскольку они реально не владеют таким эффективным способом, как метод Гаусса. Хотя последний является обязательным для изучения в таких дисциплинах как «Информатика» и «Численные методы». Поэтому процедура решения полученной СЛАУ не приводится, а ниже даны только ее результаты.

Можно также обсудить вопрос о решении сформированной СЛАУ на ЭВМ, поскольку для строительной механики более важно научиться формировать КСУ метода перемещений, нежели изучать способы ее решения. Однако этот вопрос также не входит в задачу изучения метода перемещений, так что выбор способа определения неизвестных КСУ метода перемещений остается за исполнителем.

Итак, решение КСУ дает следующие значения неизвестных, вычисленные с точностью до 4-х значащих цифр (три из которых – верные):

RZ1 U
~	|
| ~
|Z~	2 |
|SZ~	3 |V
|Z~	4 |
|Z	5 |
T	W

R 0,06474U

| |

|−0,05550|

= S 0,05550V

| |

|−0,4807 | |T−0,4807 |W

RZ1 U
|	|
|Z2	|
SZ3 V
|	|
|Z 4	|

|TZ5 |W

		R	0,06474U
		|	|
=	qa 3	|−0,05550|		(9.8)
		S	0,05550V .
	EJ	|	|
		|−0,4807a|
		T	W
		|−0,4807a|

235