Текст задания:

Решить неравенства:

1. sin2x < cosx.

2. cosx + cos2x + cos3x ≥ 0.

3. 6sin²x - 5sinx + 1 > 0.

4. 

5. 

6. 2sin²x + 9cosx - 6 ≥ 0.

7. 

8. 

9. cos2x + sinx ≥ 0.

Самостоятельная работа № 9

Тема: Решение тригонометрических неравенств (тангенс, котангенс).

Цель: закрепить знания и умения студентов по освоению методов решения тригонометрических неравенств.

Теоритическое обоснование:

Утверждение 1. Множество решений неравенства

tgx > a, есть

Утверждение 2. Множество решений неравенства

tgx < a, есть

Утверждение 3. Множество решений неравенства

ctgx > a, есть (pk; arcctga + pk).

Утверждение 4. Множество решений неравенства

ctgx < a, есть (arcctga + pk; p(k + 1))

Замечания. 1. Если знак неравенства нестрогий, то во множестве решений неравенства включается также и множество решений соответствующего уравнения.

Текст задания:

Решить неравенства:

1. -2 ≤ tgx < 1;

2. 

3. ctg²x - ctgx - 2 ≤ 0;

4. tg³x + tg²x - tgx - 1 > 0.

5. tgx + ctgx ≤ 2.

6. 

Раздел 4. Начала математического анализа

Самостоятельная работа № 10

Тема: Первый и второй замечательный предел

Цель: закрепить знания и умения студентов по вычислению пределов используя первый и второй замечательные пределы.

Теоритическое обоснование:

Первый замечательный предел:

Следствия из первого замечательного предела:

1°   

2°   

3°   

4°   

Второй замечательный предел:

Следствия из второго замечательного предела:

1°   

2°   

3°   

4°   

5°   

6°   

Текст задания:

Вычислить пределы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. 

7. 

8. 

9. 

10.  

11. 

12. 

13.  

14.  - не определен.

Самостоятельная работа № 11

Тема: Применение производной в прикладных задачах

Цель: закрепить знания и умения студентов по освоению темы, формировать навыки прикладного использования аппарата производной.

Теоритическое обоснование:

Текст задания:

1. Исследуйте функцию y = 1/3x³- 3x² + 8x и постройте ее график.

2. Исследовать и построить график функции: y = 3x⁴- 4x³ - 12x² + 10.

3. Найти ускорение тела, движущегося по закону s (t) = 2t³ + 5t² + 4t (s — путь в метрах, t — время в минутах), в момент времени:    a) t = 40 сек;      б) t = 1 ч.

4. Найти ускорение тела, движущегося по закону s = √t (s — путь   в метрах, t — время в минутах), в произвольный момент времени t.

5. Для данных функций найти производные всех порядков:

1.  у = (х + 2)³.          2. у = х² — х— 1.             3. у = cos х.

4.  у = (2х — 1)³.       5. у = х⁵+ 4х³ — 7х²         6. у = (1 + х)¹⁰⁰.

6. Доказать,  что для функции у = a sin x + b cos х справедливо соотношение y^IV= у.

7.  Сколько раз нужно продифференцировать функцию  у = (х² + 1)¹⁰⁰, чтобы в результате получился многочлен 50-й степени?

Самостоятельная работа № 12

Тема: Нахождение скорости для процесса, заданного формулой

Цель: закрепить знания и умения студентов по освоению темы, формировать навыки прикладного использования аппарата производной.

Теоритическое обоснование:

Задача№1.

Движение точки описывается уравнением S = 4t⁴+ 2t²+ 7. Найти скорость и ускорение точки в момент времени t = 2c и среднюю скорость за первые 2с движения?

(Студенты берут производные от функции s'= 16t³+ 4t, s" = 48t²+ 4 и вычисляют их значения при указанном значении  величины t)

Ответ: 136; 196; 39,5.

Задача№2

На рисунке показана зависимость пройденного пути от времени в начале движения автомобиля

а) С помощью графика движения автомобиля определи интервал времени,  на протяжении которого автомобиль движется с постоянной скоростью:

Рисунок 1

Варианты ответов: 

1. 0-5с 2. 5-10с; 3. 10-15с 4. 15-20с

б) С помощью графика движения (рисунок 1) определи, в какой момент времени автомобиль достигает максимальной скорости.