- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
Доказательство (см. [1. с. 163]).
x + 2y + z = 8,
Пример 18. Решить методом Крамера систему 3x + 2y + z = 10,
4x + 3y 2z = 4.
Решение. Сначала находят определитель = 14.
Так как А 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам (6). Для этого находят вспомогательные определители:
Тогда х = 14:14 = 1; у = 28:14 = 2; z = 42:14 = 3. Ответ: х = 1; у = 2; z = 3.
Второй метод решения систем называется методом Гаусса. Он применяется к любым системам вида (3) и использует так называемые эквивалентные преобразования систем, которые, по определению, не изменяют множество решений системы. Такими преобразованиями являются:
а) перестановка уравнений;
б) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
в) сложение уравнений.
С помощью этих преобразований система (3) приводится к так называемому виду трапеции:
а11*х1 + а12*х2 + ... + а1k*хk+ ... + а1n*хn = b1*,
а22*х2 + ... + а2k*хk+ ... + а2n*хn = b2*,
….......................................... (7)
аmk*хk + ... + аmn*хn = bm*.
Здесь bi*, aij*- уже другие числа, полученные в результате указанных преобразований, но эта система равносильна исходной системе (3).
Если в полученной системе (7) число уравнений равно числу неизвестных, то она называется треугольным видом. В ходе преобразований уравнений системы могут возникать равенства следующих видов:
1) 0=0, (такое равенство отбрасывается, при этом число уравнений уменьшается);
2) 0 = b, гдеb0, (в этом случае говорят, чтополучено противоречиеи потому система не имеет решений).
Теорема Гаусса.Пусть система (3) эквивалентными преобразованиями приведена к виду (7). Тогда:
1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
Доказательство (см. [1. с. 169]).
Метод Гаусса наиболее важен для практики и по сравнению с другими методами имеет следующие достоинства:
1) он менее трудоемкий, позволяет легко установить, является ли данная система совместной или несовместной;
2) в случае совместности системы он позволяет легко определить, является ли данная система определенной или неопределенной;
3) в случае определенной системы, ее единственное решение вычисляется с помощью несложной процедуры, (см. пример 18);
4) в случае неопределенной системы он позволяет легко построить так называемые базисные решения, с помощью которых описывается множество всех решений данной системы.
3x + 2y + z = 10,
Пример 19. Решить методом Гаусса систему x + 2y + z = 8,
x + 3y 2z = 4.
Решение. 1-й шаг. На первое место переставляют уравнение, в котором коэффициент при первой неизвестной х равен 1, поэтому меняются местами 1-е и 2-е уравнения:
x + 2y + z = 8,
3x + 2y + z = 10,
x + 3y 2z = 4.
2-й шаг. 1-е уравнение умножаеют на 3 и прибавляют ко 2-му уравнению, затем опять 1-е уравнение умножают на и прибавляют к 3-му уравнению, получают равносильную систему:
хyz
yz
yz.
3-й шаг. 2-е уравнение умножают на 5, 3-е уравнение умножают на 4, и получаеют равносильную систему:
хy z
yz
yz.
4-й шаг. К 3-му уравнению прибавляют 2-е уравнение и получают систему в треугольном виде:
хy z
yz
z.
5-й шаг. Полученная система не содержит противоречий, и в ней число уравнений равно числу неизвестных. Следовательно, исходная система имеет единственное решение, которое находится следующим образом. Из 3-го уравнения находят значение для z: z = 42:(14) = 3. Это значение подставляют во 2-е уравнение и находят значение для у: у = ( 103):20 = 2. Далее, найденные значения подставляют в 1-е уравнение, и находят значение х: х = 8 22 3 = 1. Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.
Другие из указанных выше достоинств этого метода будут рассмотрены в следующем параграфе.
Замечание 3. Иногда метод Гаусса применяют с использованием матричной записи (4) данной системы. При этом вместо уравнений производят преобразование так называемой расширенной матрицы:
А* = (8)
Допускаются следующие три преобразования А*: а) перестановка строк, б) умножение строки на число, отличное от нуля, в) сложение строк. С помощью этих преобразований матрица А* приводится к виду трапеции:
(9)
По этой матрице восстанавливается система (7) и производятся указанные выше действия.
Третий метод решеня систем линейных уравнений называется матричный, он применяется к квадратным системам вида (5), использует их матричную форму записи (4) и основан на следующих рассуждениях. Пусть АХ = В – матричная форма системы (5), при этом матрица А имеет обратную матрицу А1. При умножении слева обеих частей данного матричного равенства на обратную матрицу получают равенство: А1(АХ) =А1В. Отсюда, согласно матричным свойствам 7, 8 и соотношению (1), последовательно получают равенства:
(А1А)Х = А1В, ЕnХ = А1В, Х = А1В
Последнее равенство Х = А1В есть матричная записьрешения системы.
x + 2y + z = 8,
Пример 20. Решить систему уравнений 3x + 2y + z = 10,
x + 3y 2z = 4,
с помощью обратной матрицы.
Решение. Сначала вводят следующие обозначения:
С помощью этих обозначений систем записывают в матричном виде: АХ = В, ее решение имеет вид Х = А1В. Тогда сначала находят обратную матрицу А1. Определитель А=14 был найден в примере 18, тогда находят соответствующие алгебраические дополнения и применяют формулу (2).
Получилось:
Тогда
Ответ: x = 1, y = 2, z = 3.