- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
Определение 11. Декартова система координат в пространстве это три занумерованные взаимно перпендикулярные числовые оси, с общим началом отсчета О. Первая ось обозначается ОХ и называется осью абсцисс, вторая ось ОY называется осью ординат, третья ось ОZ называется осью апликат. Декартовыми координатами точки М в пространстве называются координаты проекций этой точки на оси ОХ, ОY, ОZ. Обозначение: М(x; y; z).
Теорема 12. 1). Расстояние между двумя точками М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2) находят по формуле:
2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
Пусть рассматривают какой-то процесс и в нем наблюдают некоторые величины, которые могут подразделять на два вида: скалярные и векторные.
Определение 12. Скалярной величиной называется величина, которая измеряются одним числом. Например: длина, площадь, объем, вес, температура, работа, энергия, доход – скалярные величины.
Определение 13. Векторные величины измеряются числом и направлением. Например: сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля – векторные величины. Такие величины удобно задавать направленными отрезками, которые имеют длину и направление и изображаются стрелками. Эти направленные отрезки называются векторами. Они обозначаются буквами ,b, ,d c черточкой сверху или через , где первая буква обозначает начало вектора и вторая буква обозначает конец вектора. Длина вектораa или обозначается и называется такжемодулем вектора.
Два вектора ,называютсяравными, если они имеют одинаковые длины, параллельны и направлены в одну сторону, обозначение: =. В данном определении не участвуют точки приложения векторови, это означает, что вектор не зависит от своей точки приложения и его можно перемещать параллельно самому себе. В этом смысле рассматриваемые векторы называютсясвободными векторами. Вектор, длина которого равна 0, называется нуль-вектором и обозначается через 0, его направление произвольное.
Определение 14. Произведением вектора н число k называется вектор k , длина которого равна |k||| и, еслиk > 0, то его направление совпадает с направлением , а если k < 0, то его направление противоположно направлению , (см. рис. 8). Вектор (1) называется противоположным вектору и обозначается -. На рис.8 изображены: ,,.
D A B C
Рис.8.
Определение 15. Сложение двух и более векторов осуществляется по правилу многоугольника: первый вектор фиксируется, второй вектор параллельно самому себе перемещается в конец первого вектора, затем таким же образом третий вектор перемещается в конец второго вектора и т. д. После размещения всех векторов их суммой является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора и конец совпадает с концом последнего вектора (см. рис.9).
a2
a3
a1
a4
a1 +a2+a3+a4
Рис.9.
Операция сложения определяется также по правилу параллелограмма:
Пусть =,=- стороны параллелограммаABCD, тогда
+ =, при этом = .
B C
A
D
Рис.10.
Пример 16. На трех векторах(=, (=(,= построен параллелепипед. Указать те его векторы-диагонали, которые соответственно равны
+ –,–+(см. рис.11).
Решение. Для первой комбинации выбирают вершину А1, в ней помещают вектор, , который равен. В вершинеB1 пристраивают вектор , который в данном построении равен . Теперь, в вершине C1 пристраивают вектор – , который равен. По правилу многоугольника, получилось, что+– = – искомый вектор-диагональ. Аналогично показывается, что комбинация - +равна=
D1 N C1
A1
B1
D C
K M
A B
Рис.11.
Пример 17. Пусть в примере 16 токи K, M, N являются серединами ребер ,BC,. Выразить векторы AN, NM, K через векторы ,,.
Решение. По рис.11 вектор равен сумме++=++;
= ++= ; =++= .
Геометрической проекцией точки А на числовую ось ОХ является основание А1 перпендикуляра, опущенного из А на эту ось (обозначение: ОХ А = А1 . Точка А1 имеет на оси ОХ некоторую координату х, эта координата называется алгебраической проекцией точки А на числовую ось ОХ, обозначение:
ПрОХ А = х.
Геометрической проекцией вектора на числовую ось ОХ является вектор , гдеА1 = ОХ А и В1 = ОХ В, обозначение: ОХ= .
Алгебраической проекцией вектора на числовую ось ОХ называется число (х2 – х1), где х1 = ПрОХ А и х2 = ПрОХ В, обозначение: ПрОХ = (х2 – х1).
Ортом оси ОХ называется вектор , имеющий длину 1 и направление, одинаковое с осьюОХ.
Лемма 1. Геометрическая проекция вектора на ОХ равна произведению орта оси ОХ на алгебраическую проекцию этого вектора на ОХ:
ОХ = ПрОХ
Доказательство.Рассматривается случай, изображенный на рис.12.
y A
O B x
Рис. 12.
По определению геометрической проекции, ОХ =. По определению, алгебраической проекции,ПрОХ = ПрОХ A - ПрОХ O = ПрОХ B - ПрОХ O = ПрОX . С другой стороны, по предыдущим определениям, ПрОХ ∙=.Следовательно, ОХ == ПрОХ ∙= ПрОХ , что и требовалось доказать. Остальные случаи рассматриваются аналогично (см.[1. с.113]). С помощью этой леммы легко доказываются следующие свойства проекций векторов.
1). Геометрическая проекция суммы векторов равна сумме геометрических проекций векторов, входящих в эту сумму:
ОХ(+ … +) = ОХ + … + ОХ .
2). Алгебраическая проекция суммы векторов равна сумме алгебраических проекций векторов, входящих в эту сумму:
ПрОХ(+ … +) = ПрОХ +… + ПрОХ .
3). Геометрическая проекция произведения вектора на число k равна произведению геометрической проекции этого вектора на число k :
ОХ(k ) = k∙ОХ .
4). Алгебраическая проекция произведения вектора на число k равна произведению алгебраической проекции этого вектора на число k :
ПрОХ(k) = kПрОХ .
Определение 16. Пусть ОХYZ – декартова система координат в пространстве и – вектор.Координатами называются алгебраические проекции этого вектора на оси координат.
Используются следующие обозначения для координат вектора и самого вектора через его координаты:
ах= ПрОХ ,ау= ПрОY ,аz= ПрОZ , ={ах; аy; аz}.
Из определения алгебраической проекции следует, что если известны декартовы координаты начала А(х1; у1; z1) и конца В(х2; у2; z2) вектора =, то координаты этого вектора находятся по формулам:
ах= х2 – х1, ау= у2 – у1, аz= z2 – z1, (18)
т. е. от координат конца вычитаются координаты начала.
Если М(х, у, z) точка пространства, то вектор называется радиусом-вектором этой точки. Согласно предыдущим формулам, координаты совпадают с координатами точкиМ : = {х; у; z}. Кроме того, в силу формулы (17), длина вектора ={ах; аy; аz} равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
Из указанных выше свойств легко выводятся следующие правила вычисления линейных операций через координаты векторов.
1). При умножении вектора на число k его координаты умножаются на k:
k ={kах; kay; kaz}.
2). При сложении векторов их координаты складываются:
+={ах + bx; аy + by; аz + bz}.
Орты координатных осей OX, OY, OZ обозначаются через ,,,cоответственно. Эти векторы имеют следующие координаты:
i = {1; 0; 0}, j= {0; 1; 0},k= {0; 0; 1}.
Тогда, по лемме 1, произвольный вектор а ={ах; аy; аz} выражается линейно через i, j, k следующим образом:
. (20)
Пример 18. Даны точки А(3; 2; 1) и В(6; 4; 3). Найти координаты и длину вектора и выразить его линейно через орты.
Решение. Применяют формулы (17) (19).