- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
Упражнения 4
1.Вычислить: а). (3-7i) + (-2+i) + (-1+5i); б). (3-7i)(3+7i);
в). i∙Re(;г). Найти значение функции w = приz = (- 1- i). д). (2+3i)(4-5i) + (2-3i)(4+5i).
2. Найти x, y из уравнения, считая их вещественными:
(1+2i)x + (3 - 5i)y = 1 - 3i.
3. Решить систему считая x, y, z, t вещественными:
4. Решить системы: а) ;
б).;в)
7. Выполнить действия: а);б);;в). ;
г). ; д);е). .
8. Постройте на комплексной плоскости множества, заданные следующими условиями:
a). |z + 2| = 2; | б). z - 3i - 2| = 4; в) |z + 2| + |z - 2| = 5;
г) |z + 2| + |z - 2| >3; д). |z – 3 + i 4; е). |z + 2 - 3i| > |z – 5 + i|;
ж) |z -| = |z -з) Re(5z) < 1; и) -1 < Im(z - i) < 5.
9. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:
; б).; в)..г).;д); е).;ж).
10. .
Глава 5. Разложение рациональных дробей
Определение 1. Полиномом степени n от x называется функция P(x) вида (x) = +…+ +, гдеx – переменная и …,– коэффициенты, являющиеся некоторыми числами (вообще говоря, вещественными или комплексными, но в конкретных задачах можно рассматривать только рациональные или целые числа).
Число называетсякорнем (x), если верно равенство ) = 0.
Операции сложения, вычитания и умножения полиномов определяются обычным широко известным способом. Поэтому в этом разделе основное внимание уделяется операции деления полиномов и разложению рациональных дробей.
Пусть выполняется операция деления полинома (x) степени n на полином (x) степени m, где n > m. Ясно, что всегда существуют некоторые полиномы K(x) и R(x) такие, что выполняется равенство:
(1)
(x) = (x)∙K(x) + R(x).
Следующий пример показывает, как выполняется операция деления полиномов.
Пример 1. Выполнить деление P(x) = 2x33x2+4x5 на Q(x) = x23x+1.
Решение. 2x3 3x2 + 4x 5 x23x+1
(2x3 6x2 + 2x) 2x +3
3x2 +2x5
(3x2 9x+3)
11x8
Здесь(x)= 2x3 3x2 + 4x 5 называется делимое, (x) = x23x+1 делитель, K(x) = 2x +3- частное и R(x) = 11x8 называется остатком.
Легко понять, что степень остатка R(x) меньше, чем степень делителя. Тогда из (1) следует, что степень (x) равна сумме степеней полиномов (x) и K(x).
Из равенства (1) следует, что если делитель (x) = (x ), то остаток от деления полинома (x) на двучлен (x ) является полиномом нулевой степени он и равен (). Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема Безу. Остаток от деления полинома (x) на полином вида
(x ) равен значению этого полинома в точке .
Следствие 1. Если – корень полинома(x), то этот полином делится на (x ) без остатка.
Пример 2. Выполнить деление P(x) = x33x2x1 на Q(x) = 2x+1.
Решение. x3 3x2 x 1 2x + 1
(x3 x2 +
x2 x 1
(x2 x)
В примере 2 делитель можно представить в виде Q(x) = 2x + 1 = 2(x +). Множитель 2 является числом и потому он не влияет на остаток. Тогда по теореме Безу, остаток при деленииP(x) = x33x2x1 на (x +) и на 2x + 1 должен равняться значению полинома P(x) при x= -0,5. Действительно P(-0,5)=.
Пример 3. Разложить на множители P(x) = 3 105.
Решение. Дискриминант многочлена равен 1296, тогда его корни равны =7,=5. Согласно следствию 1, полином 3 105 делится на (x 7) без остатка:
3 105 x 7
(33x+15
15x 105
(15x 105) Получилось: 3 105 = ( x 7)( 3x+15).
Определение 2. Дробно-рациональной функцией от x называется функция, которая эквивалентными преобразованиями можно привести к виду дроби =
где – некоторые полиномы отx степени m и n. Если m < n, то эта дробь называется правильной, в противном случае такая дробь неправильная.
При этом если коэффициенты полиномов являются вещественными числами, то такая дробь называетсявещественной.
Теорема 1. Любую дробно-рациональную вещественную функцию от x можно представить в виде суммы вещественного полинома от x и правильной вещественной дроби от x.
Доказательство. Сначала исходная функция с помощью известных эквивалентных преобразований дробей, приводится к отношению двух вещественных полиномов . Упомянутые преобразования – это сложение, умножение или деление дробей, и очевидно, что если эти дроби были вещественными, то получаемые дроби будут также вещественными. Если в результате этих преобразований полученная дробь не является правильной, то производится деление. Теорема доказана.
Определение 3. Простейшими вещественными дробями от x называются рациональные дроби вида:
и
,
где a, b,c,d,p,q – вещественные числа.
Теорема 2. Любая правильная рациональная вещественная дробь от x представима в виде суммы простейших вещественных рациональных дробей.