7.Ортогональность в эвклидовых пространствах…

Евкли́дово простра́нство—, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.Ортогональное дополнение подпространства W векторного пространства V с билинейной формой B — это множество всех векторов V, ортогональных каждому вектору из W. Это множество является векторным подпространством V, которое обычно обозначается W. Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе a₁, a₂,…,a_k строится ортогональная система b₁, b₂,…,b_k такая, что каждый вектор bi линейно выражается через a₁,a₂,…,a_i, то есть матрица перехода от {ai} к {bi} ― верхнетреугольная матрица.

Свойства ортогональных с-м:

1. Нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства.

2. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.

3. Если сумма взаимно ортогональных векторов равна нулевому вектору, то каждое из слагаемых равно нулевому вектору.

4. Если вектор u ортогонален каждому вектору системы v₁,v₂,...v_k , то он также ортогонален и любой их линейной комбинации.

5. Если вектор u ортогонален подмножеству M евклидова пространства, то он ортогонален и линейной оболочке этого подмножества.

6. Если v₁,v₂,...v_k — ортогональная система векторов, то |v₁+v₂+...v_k|²=|v₁|²+| v₂|²+...|v_k|²

Это утверждение является обобщением теоремы Пифагора.

8.Гильбертово пространство — пространство, норма которого создана положительно определённым скалярным произведением., допускаюет бесконечную размерность.

Гильбертово пространство — линейное (векторное) пространство (над полем вещественных или комплексных чисел), в котором для любых двух элементов пространства x и y определено скалярное произведение (x,y), и которое является полным относительно порождённой этим скалярным произведением метрики

Примеры Простейшим примером гильбертова пространства является пространство l₂. Его точки бесконечныпоследовательности действительных чисел , для которых сходится ряд.Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

Система векторов гильбертова пространства является полной, если она порождает всё пространство, то есть если произвольный элемент пространства может быть сколь угодно точно приближен по норме линейными комбинациями элементов этой системы. Если в пространстве существует счётная полная система элементов – пространствосепарабельное — то есть имеется счётное всюду плотное множество, замыкание которого по метрике пространства совпадает со всем пространством.

Данная полная система является базисом, если каждый элемент пространства можно представить как линейную комбинацию элементов этой системы и притом однозначно. Необходимо отметить, что в общем случае банаховых пространств из полноты и линейной независимости элементов системы не следует, что это базис. В в случае сепарабельных гильбертовых пространств полная ортонормированная системаявляется базисом. Для того,чтобы ортонормированная система была полна в сепарабельном гильбертовом пространстве необходимо и достаточно, чтобы не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ортонормированной системы. Таким образом, для каждого элемента f пространства имеет место разложение по ортонормированному базису

Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда имеет счётную размерность.

Ортонормированная система – система, состоящая из n векторов и n-мерногопространства, которая образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Свойства:1)Теорема Риса — Фреше: для любой ортонормированной системы векторов:в гильбертовом пространстве H и числовой последовательности, такой чтов H существует такой элементu, что и.

2)Гильбертовы пространства порождают строго нормированные пространства.

Обобщенным рядом Фурье для некоторой функции называется ее разложение в ряд на основе системы ортогональных полиномов (многочленов). 4 вида ортогональных полиномов: полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра и Чебышева.

Любая непрерывная функция может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье: