13. Сопряжённые операторы, их свойства.

Линейный оператор A^* называется сопряженным по отношению к оператору А в том и только в том случае, если для любых двух векторов x,y из R выполняется равенство (Ax,y)=(x,A^*y).

Из определения сопряженного оператора вытекают следующие его свойства:

1. (A^*)^*=A, 2. (A+B)^*=A^*+B^*, 3. (αA)^*= αA^* (α- скаляр), 4.(AB)^*=B^*A^* . Линейный оператор А из L(V, V) называется самосопряженным, если справедливо равенство А* =А. Унитарный оператор - ограниченныйлинейныйоператорU : H→H на гильбертовом пространствеH, который удовлетворяет соотношению U^*U=UU^*=I

где U^∗— эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим: U сохраняет скалярное произведение〈 , 〉гильбертового пространства, то есть, для всех векторов x и y в гильбертовом пространстве,〈U_x,U_y〉=〈x,y〉

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

U сохраняет скалярное произведение, и образU - плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Тот факт, что образ U - плотное множество. Очевидно, чтоU⁻¹ = U^∗. Спектр самосопряженного оператора лежит на вещественной оси. Спектр самосопряженного оператора представляет собой ограниченное замкнутое множество, лежащее на вещественной оси. Квадратичная форма ( Ах, х), отвечающая самосопряженному оператору, принимает лишь вещественные значения. Спектр самосопряженного оператора замкнут. Комплексные числа не принадлежат спектру самосопряженного оператора А.

15. Дифференциальное уравнение Лежандра

Уравнением Лежандра называется уравнение вида

(1)

где α некоторый параметр; оно имеет особые точки x=-1 и x=x+1

Рассмотрим следующую граничную задачу: найти значения параметра X, при которых в промежутке [—1, 1] существует нетривиальное решение уравнения(1), ограниченное в особых точках х = ± 1.

Будем искать решение уравнения Лежандра в виде степенного ряда(2)

Подставляя (2) в (1), получим

Отсюда следует, что

Или(3)

Коэффициенты а0и а1, остаются произвольными. При а0≠0, а1=0 получим частное решение уравнения (1), содержащее только четные степени х, при а₀ = О, я, а1≠0 — частное решение, содержа­щее только нечетные степени х. При λ = n(n+1) уравнение (1) имеет решение в виде много­члена степени п, которое ограничено в особых точках х=±1. Найдем теперь соответствующие решения уравненияимеющие форму многочленов степени п.

(4)

Рассмотрим многочлен степени 2п:

z = (х² — 1 )^п.

Нетрудно видеть, что этот многочлен удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

Продифференцируем обе части этого уравнения п раз по х, тогда получим

Если мы продифференцируем это уравнение еще раз по х, то найдем, что z^{п)удовлетворяет уравнению (4).

Итак, уравнение (4) имеет решение

Где С- постоянная

Получим (5)

Это и есть полиномы Лежандра, которые являются решениями уравнения (1) при λ = n(n+1)

Таким образом, полиномы Лежандра являются собственными функциями рассматриваемой задачи, соответствующими собственным числам