22. Уравнение Эйлера-Лагранжа

Для того, чтобы функционал ,определенный на множестве функций из G∈C1[a,b] и удовлетворяющих граничным условиям , достигал на данной функции y(x) экстремума, необходимо чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера-Лагранжа:

Решения уравнений Эйлера-Лагранжа называются экстремалями функционала

В вариационном исчислении функцию называют вариационной производной функционала J и пишутВариационная задача может и не иметь решений или иметь бесконечное множество решений.

Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера-Лагранжа:

F не зависит явно от y.

Пусть F = F(x, y′). Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид

Мы получили ДУ первого порядка, не содержащее явно y(x). Если его возможно разрешить относительно y′, то далее получаем

F не зависит явно от x.

Пусть F = F(y, y′). Тогда ДУ примет вид

Поэтому

Окончательно получаем - первый интеграл уравнения.

Далее, если это уравнение удается явно разрешить относительно производнойто получаем экстремали в виде

Случай полной производной.

Тогда интеграл не зависит от выбора функции y

и уравнение Эйлера-Лагранжа будет выполняться тождественно и любая функция из C1[a,b] будет экстремалью. Вариационная задача теряет свой

смысл.

F не зависит от y′.

Пусть F = F(x, y). Тогда имеемЭто алгебраическое уравнение. Его решение не содержит произвольных констант, и, следовательно, удовлетворяет граничным условиям только в исключительных случаях.

F зависит только от y′.

Пусть F = F(y′). Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид

21.Основные задачи вариационного исчисления

Задача о брахистохроне.

Даны две точки А и В в вертикальной плоскости. Найти для движущейся частицы М путь АМВ, спускаясь вдоль которого под действием силы тяжести, она может в кратчайшее время достичь из точки А точку В

Задача о геодезических

На заданной поверхности Ф требуется найти линию, соединяющую две фиксированные точки поверхности, имеющую наименьшую длину. Такие кривые называются геодезическими

Задача о наименьшей поверхности

Изопериметрическая задача

Отличие этих задач от простейших вариационных заключается в наличие дополнительных условий

Задача навигации.

Если каждому элементу множества G из некоторого функционального пространства Х поставлено в соответствие определенное число J, то говорят, что на множестве G ⊂X задан функционал J(y)≡J[y].

Вариацией δy аргумента y(x) функционала J[y] называется

разность между двумя функциями y(x) и y₀(x), принадлежащими выбранному классу G функций: δy= y(x)- y₀(x)

(необходимое условие экстремума функционала)

Для того чтобы дифференцируемый функционал J[y(x)] достигал в точке y₀(x) экстремума, необходимо, чтобы его дифференциал в этой точке равнялся нулю при всех вариациях δy: δJ[y₀(x)]=0

11.Операторы

Пусть V и W два линейных пространства. Тогда всякое отображение A, сопоставляющее каждому элементу f из подмножества D ⊂V единственный элемент g= Af∈ W, называется оператором, действующим из D в W.

Оператор А называется линейным, если для любых x,y, ∈V и λϵR(C) справедливы равенства 1) A(x+y)=Ax+Ay(аддитивность) 2) A(λx)= λAx (однородность)

Оператор А называется ограниченным, если существует такое число K, что ||Ax||≤K||x|| для любого xϵV

Нормой линейного оператора А называется наименьшее из чисел K, при котором выполняется неравенство, или эквивалентно

14. Оператор Штурма-Лиувилля

23.